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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 6: Teorema de Stokes (artigos)

Teorema de Stokes

Essa é a versão 3d do teorema de Green, relacionando a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície.

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, porém é de grande ajuda para uma compreensão mais profunda:

Definição formal de rotacional em três dimensões

Este artigo é para se ter uma noção física intuitiva

Se você quiser exemplos do uso do Teorema de Stokes para fazer cálculos, poderá encontrá-los no próximo artigo. Aqui, o objetivo é apresentar o teorema de uma forma que você possa ter uma noção intuitiva sobre o que ele realmente diz e por que ele é verdadeiro.

O que estamos construindo

O Teorema de Stokes é a versão 3D do Teorema de Green.

Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha desse mesmo campo vetorial em torno da fronteira da superfície:

$\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ é uma superfície em 3D}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{rotacional}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{Integral de superfície de} \\ \text{um rotacional de campo vetorial} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral de linha ao redor da} \\ \text{fronteira da superfície} }}$
[Separação dos termos]

Interpretação de uma integral de linha em 3D

Considere start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis um campo vetorial tridimensional.

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Pense nesse campo vetorial como sendo o vetor velocidade de um gás, movendo-se pelo espaço.

Agora, considere start color #bc2612, C, end color #bc2612 uma curva fechada dentro desse campo vetorial.

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Como você pode interpretar a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em torno de start color #bc2612, C, end color #bc2612?

\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Primeiramente, essa integral não faz sentido até que a curva esteja orientada. O vetor diferencial d, start bold text, r, end bold text representa um pequeno passo ao longo da curva, mas em qual direção? Em três dimensões, você não pode simplesmente dizer no "sentido horário" ou no "sentido anti-horário", já que isso dependerá de onde você estará no espaço quando olhar para a curva. Vou abordar como especificamos matematicamente a orientação abaixo, mas, por enquanto, é mais fácil apenas traçarmos uma orientação:

Imagine que você é um pássaro, voando pelo espaço ao longo da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612 enquanto o vento sopra de acordo com o campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99. (Para os efeitos dessa animação, você é um pássaro em forma esférica).

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Pense em cada passo (ou batida de asa?) do seu movimento ao longo de start color #bc2612, C, end color #bc2612 como sendo o pequeno vetor d, start bold text, r, end bold text. Considere o produto escalar entre d, start bold text, r, end bold text e o vetor velocidade do vento do campo start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 onde você está. Ele será positivo quando o vento estiver lhe ajudando, e negativo quando estiver batendo contra o seu rosto.

Agora, voltemos à integral de linha sobre a qual inicialmente perguntei:

\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Você pode pensar nisso como especificando o quanto o vento está lhe ajudando ou atrapalhando durante o voo. Ela mede a tendência do fluxo do fluido para circular por start color #bc2612, C, end color #bc2612. Se ela for positiva, o vento esteve geralmente ajudando, e você pode dizer que ela tende a circular por start color #bc2612, C, end color #bc2612 na direção que você especificou. Se for negativa, você pode dizer que ela tende a circular na outra direção.

Dividindo uma superfície

Aqueles que leram o artigo sobre o teorema de Green acharão o que vem a seguir muito familiar.

Considere uma superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 no espaço sendo delimitada pela curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, como se start color #bc2612, C, end color #bc2612 fosse um laço de arame que você acabou de mergulhar no sabão, e start color #bc2612, S, end color #bc2612 fosse o início de uma bolha de sabão emergindo do laço.

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Divida essa superfície ao meio, e nomeie as fronteiras das duas partes resultantes start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f e start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05. Se elas estiverem orientadas da mesma maneira que start color #bc2612, C, end color #bc2612, as integrais de linha (do mesmo campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99) ao redor de cada uma dessas curvas menores se anularão ao longo da divisão que você fez:

As porções de start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f e start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05 que permanecem compõem a fronteira original start color #bc2612, C, end color #bc2612. Então, a soma das integrais de linha em torno das partes menores é igual à integral de linha completa em torno de start color #bc2612, C, end color #bc2612:

$\displaystyle \underbrace{ \oint_{\greenE{C_1}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} + \oint_{\goldE{C_2}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Anule ao longo da divisão $\redE{S}$}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$ start underbrace, \oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, A, n, u, l, e, space, a, o, space, l, o, n, g, o, space, d, a, space, d, i, v, i, s, a, with, \~, on top, o, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

De forma mais geral, imagine-se dividindo start color #bc2612, S, end color #bc2612 em muitos, muitos pedacinhos; nomeando suas fronteiras como start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612; e orientando todas da mesma forma que start color #bc2612, C, end color #bc2612. É complicado desenhar isso em 3D, então vou simplesmente roubar uma imagem do artigo sobre o teorema de Green que mostra a versão 2D, já que ambas dão essencialmente a mesma ideia.

As integrais de linha em torno de todos esses pequenos laços se anularão ao longo das divisões dentro de start color #bc2612, C, end color #bc2612, deixando somente algo igual à integral de linha em torno do próprio start color #bc2612, C, end color #bc2612.

$\displaystyle \underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{anula-se ao longo de sua divisão por $\redE{S}$}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$ start underbrace, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, a, n, u, l, a, negative, s, e, space, a, o, space, l, o, n, g, o, space, d, e, space, s, u, a, space, d, i, v, i, s, a, with, \~, on top, o, space, p, o, r, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Rotacional sobre cada parte

Divide-se start color #bc2612, S, end color #bc2612 assim porque a integral de linha em torno de um laço bem pequeno pode ser aproximada usando o rotacional. Especificamente, ampliamos uma dessas partes. Se for suficientemente pequena, você pode pensar nela como sendo praticamente plana.

Dê o nome de `, `, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, " à fronteira dessa parte.
Escolha algum ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 na superfície, dentro desse pequeno laço.
Considere start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f um vetor normal unitário à superfície no ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05. "Apontando para onde? ", você pode perguntar. Rotacione os dedos de sua mão direita em torno do pequeno laço start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 para que se alinhem à sua orientação. Estique seu dedão, e esse será o sentido de start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f.
Considere start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 a área dessa pequena parte (preparando para a utilização de uma área infinitesimal para uma integral de superfície que será vista daqui a pouco).

Então, a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em torno de start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 pode ser aproximada da seguinte forma:

$\displaystyle \underbrace{ \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral ao longo da} \\ \text{fronteira da parte} }} \approx \overbrace{ \Big( ( \text{rot}\, \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} ) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \Big) }^{\text{Componente do rotacional perpendicular à parte}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \underbrace{ \,\redE{d\Sigma} }_{\text{Área da parte}}$

Se você se sentir incomodado com sua intuição sobre o que significa rotacional, ou sobre como um vetor pode representar uma rotação, considere fazer uma revisão deste artigo sobre rotacional.

Aqui temos uma vaga intuição do porquê essa aproximação funciona: start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 é um vetor que diz como o fluido que está se movimentando pelo campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 tende a girar perto do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05. Por exemplo, se você imaginar uma pequena bola de tênis flutuando no espaço, centrada no ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, o vetor start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 descreverá a forma como ela tenderá a girar devido ao vento que sopra ao seu redor. Isto é, o vetor é direcionado ao longo do eixo de rotação, e sua magnitude é proporcional à taxa de rotação.

Quando pegamos o produto escalar entre esse vetor rotacional e start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, o vetor normal unitário à superfície, ele extrai a componente do vetor rotacional perpendicular à superfície. Isso descreverá a taxa de rotação do fluido na superfície em si. Por outro lado, aquela pequena rotação do fluido também é descrita pela integral de linha em torno da fronteira da pequena parte: \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text.

Na verdade, aquela integral de linha produz um número bem pequeno (já que start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 é muito curto), mas o start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 produz um número que não se importa com o tamanho da parte que contém start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05. Por isso nós reduzimos a componente relevante do rotacional para a escala da área da parte pequena.

$\displaystyle \underbrace{ \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral ao longo da} \\ \text{fronteira da parte} }} \approx \overbrace{ \Big( ( \text{rot}\, \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} ) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \Big) }^{\text{Componente do rotacional perpendicular à parte}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \underbrace{ \,\redE{d\Sigma} }_{\text{Área da parte}}$

(Para um entendimento mais aprofundado dessa aproximação, veja a definição formal de rotacional em três dimensões.)

Integral de superfície de um rotacional

Ao combinarmos as ideias das duas últimas seções, obtemos:

$\begin{aligned} &\underbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral ao longo da fronteira}\\ \text{da superfície inteira} }} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Soma das integrais ao longo das partezinhas}} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} }_{\text{Aplica-se a aproximação do rotacional a cada parte}} \end{aligned}$

Conforme dividimos as coisas de maneira cada vez mais fina, essa última soma se aproxima da integral de superfície do left parenthesis, start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis sobre a superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612. (Se isso não faz sentido para você, considere rever o artigo sobre integrais de superfície).

$\begin{aligned} &\sum_{k = 1}^n \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \small{\gray{\text{Conforme $\redE{S}$ é dividida em partes cada vez mais finas}}} \\\\ &\iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

Ao juntarmos tudo isso, obtemos a maravilhosa equação a seguir, conhecida como teorema de Stokes:

$\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

[Espere aí, como você obteve tal equação de uma série de aproximações?]

Alinhando a orientação

Superfícies são orientadas pelo sentido escolhido para seus vetores normais unitários. Por exemplo, você verá com frequência uma superfície orientada usando o vetor normal unitário voltado para fora (embora nem todas as superfícies tenham uma noção de vetores normais unitários voltados para fora versus voltados para dentro).

As curvas são orientadas pelo sentido escolhido para seus vetores tangentes.

Para o teorema de Stokes funcionar, as orientações da superfície e de suas fronteiras devem "se equivaler" na direção certa. De outra forma, a equação estará errada por um fator de minus, 1. Confira aqui formas diferentes nas quais você ouvirá pessoas descreverem essa correspondência; todas estão descrevendo a mesma coisa:

Se você olhar para a superfície de forma que todos os vetores unitários normais estejam apontados para você, a curva deve estar orientada no sentido anti-horário.
A orientação da curva deverá seguir a regra da mão direita, de forma que se você esticar o polegar da sua mão direita na direção do vetor normal unitário perto da borda da superfície, e curvar seus dedos, a direção que eles apontam deve ser sua orientação.
Quando você andar ao longo da curva da fronteira com seu corpo apontado na direção do vetor normal unitário, você deverá estar andando de forma que a superfície esteja do seu lado esquerdo.

Soprando bolhas

Esta é uma coisa muito legal sobre o teorema de Stokes: a superfície em si não importa, o que importa é qual a sua fronteira.

Por exemplo, imagine um laço específico no espaço, e pense em todas as diferentes superfícies que poderiam ter esse laço como sua fronteira; todas as diferentes bolhas de sabão que poderiam emergir desse laço:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Para qualquer campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis dado, a integral de superfície \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 será a mesma para todas essas superfícies. Isso não é uma loucura?! Essas integrais de superfície envolvem a soma de valores completamente diferentes em pontos completamente diferentes no espaço, ainda que eles acabem por ser iguais simplesmente porque compartilham uma fronteira.

Isso diz simplesmente o quão especial os campos vetoriais rotacionais são, já que, com a maioria dos campos vetoriais, a integral de superfície depende absolutamente da superfície específica em mãos. Se você aprendeu sobre campos vetoriais conservativos, isso é análogo à independência de caminhos, e a como ela indica o quão especiais são campos vetoriais gradientes.

E se não houver fronteiras?

Se você tem uma superfície fechada, como uma esfera ou um toro, então não existem fronteiras. Isso significa que a "integral de linha sobre a fronteira" é igual a zero, e lê-se teorema de Stokes da seguinte maneira:

$\begin{aligned} \iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = 0 \end{aligned}$

Se você voltar ao pensamento que dividiu a superfície para obter várias integrais de linhas bem pequenas, isso basicamente diz que todas aquelas pequenas integrais de linha se anulam, sem resto.

Resumo

O Teorema de Stokes é a versão 3D do Teorema de Green.

$\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ é uma superfície em 3D}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{Integral de superfície de} \\ \text{um campo vetorial rotacional} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral de linha ao longo} \\ \text{da fronteira da superfície} }}$

A integral de linha integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text diz o quanto um fluido que flui ao longo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 tende a circular em torno da fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612 da superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612.
A integral de superfície do lado esquerdo pode ser vista como a soma de todas as pequenas partes da rotação do fluido na superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 em si. O vetor start text, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 descreve a rotação do fluido em cada ponto e, pontilhando-o com um vetor normal unitário à superfície, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, extrai a componente dessa rotação do fluido que acontece na superfície em si.

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