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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 6: Teorema de Stokes (artigos)

Exemplos do teorema de Stokes

Veja como o teorema de Stokes é usado na prática.

Conhecimentos prévios

A formula (revisão rápida)

O teorema de Stokes é uma ferramenta que transforma a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial em uma integral de linha em torno dos limites da superfície, ou vice-versa. Mais especificamente, eis o que ele diz:

$\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ é uma superfície em 3D}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{Integral de superfície de} \\ \text{um campo vetorial rotacional} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral de linha ao longo} \\ \text{da fronteira da superfície} }}$

Vamos analisar cada termo:

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, também escrito como del, times, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99. É o rotacional tridimensional de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, que é um campo vetorial.
start color #bc2612, S, end color #bc2612 é uma superfície em três dimensões.
start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f representa uma função que fornece vetores unitários normais a start color #bc2612, S, end color #bc2612.
start color #bc2612, C, end color #bc2612 é a fronteira de start color #bc2612, S, end color #bc2612
start color #bc2612, C, end color #bc2612 é orientada usando a regra da mão direita, o que significa que se você apontar o polegar da sua mão direita na direção do vetor normal unitário start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f próximo à borda de start color #bc2612, S, end color #bc2612 e curvar seus dedos, a direção que eles apontam indica a direção em que você deve integrar em torno de start color #bc2612, C, end color #bc2612.

Exemplo 1: da integral de superfície à integral de linha

Problema

Seja start color #bc2612, S, end color #bc2612 a metade de uma esfera unitária, centralizada na origem, que está acima do plano x, y, orientada com vetores unitários normais voltados para fora. Seja start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis o campo vetorial definido por:

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top

Calcule a seguinte integral de superfície:

\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, dot, d, \Sigma

[Que notação é essa?]

Solução

Lembre-se, o teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de uma função à integral de linha dessa função em torno dos limites da superfície. Isso significa que vamos fazer duas coisas:

Etapa 1: encontrar uma função cujo rotacional seja o campo vetorial y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top
Etapa 2: calcular a integral de linha dessa função em torno do círculo trigonométrico no plano x, y, já que esse circulo é o limite da nossa meia esfera.

Verificação de conceito: encontre um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis que satisfaça a seguinte propriedade:

del, times, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, equals, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top

Existem diversas maneiras de fazer isso, mas uma em particular irá tornar as nossas vidas mais fáceis. Na que eu estou pensando, as componentes start bold text, i, end bold text, with, hat, on top e start bold text, j, end bold text, with, hat, on top são 0, enquanto o componente start bold text, k, end bold text, with, hat, on top não é zero. Você pode encontrá-la?

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 0, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 0, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

[Como saber escolher essa função em particular?]

A superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 é definida como a porção da esfera acima do plano x, y. O limite dessa semiesfera é o círculo trigonométrico no plano x, y.

Verificação de Conceito: ambos os seguintes parametrizam o círculo trigonométrico no plano x, y, mas cada um com uma orientação diferente. Qual deles corresponde à orientação do hemisfério acima do plano x, y com os vetores unitários normais virados para fora? ("Corresponde" no sentido de que podemos aplicar o teorema de Stokes.)

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right]$ , em que 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi
(Escolha B)
$\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right]$ , em que 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi

[Resposta]

Verificação de conceito: seja start color #bc2612, C, end color #bc2612 a representação das fronteiras da superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612. Use a parametrização de start color #bc2612, C, end color #bc2612 que você escolheu, juntamente com a definição de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 que você encontrou na pergunta antes dessa, para resolver a seguinte integral de linha.

\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

[Como foi mesmo que F foi definido?]

[Resposta]

Exemplo 2: vento através de uma rede para borboletas

Problema

Suponha que você tenha uma rede para pegar borboletas de aro quadrado, e o vento está soprando através da rede. Pense sobre o aro quadrado posicionado no espaço sobre o plano y, z de forma que os quatro cantos da rede estejam nos quatro pontos a seguir:

$\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]$

Além disso, seja a rede alguma superfície emergindo do seu aro na direção positiva de x

Suponha que o campo vetorial da velocidade do vento é dado pela seguinte função:

$\\ \blueE{\textbf{F}} = \left[ \begin{array}{c} y^2 \\ z^2 \\ x^2 \end{array} \right]$

Supondo que o ar tem densidade uniforme de 1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed, quanto ar passa pela rede por unidade de tempo? Mais especificamente, suponha que o ar indo de dentro para fora da rede é contado positivamente para a soma, e o ar indo de fora para dentro é contado negativamente.

Etapa 1: dissecando a pergunta

Antes de mais nada, precisamos ordenar nossos pensamentos e entender como esse problema, que mais se parece com física, é uma pergunta sobre o teorema de Stokes.

Verificação de conceito: o que o problema realmente está perguntando?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
O fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 através da superfície da rede para pegar borboletas.
(Escolha B)
A integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor do quadrado especificado no plano y, z.

[Resposta]

Verificação de conceito: mais especificamente, qual das seguintes integrais representa a resposta à pergunta? Que start color #bc2612, S, end color #bc2612 denote a superfície da rede de borboletas, enquanto start color #bc2612, C, end color #bc2612 é a armação quadrada da rede localizada no plano y, z.

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, em que start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f representa vetores unitários normais apontando para fora.
(Escolha B)
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, em que start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f representa vetores unitários normais apontando para dentro.
(Escolha C)
integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, em que start color #bc2612, C, end color #bc2612 tem orientação anti-horária.
(Escolha D)
integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, em que start color #bc2612, C, end color #bc2612 tem orientação horária.

[Resposta]

Na verdade, isso é apenas uma forma de dar uma interpretação física para uma integral de superfície através de um campo vetorial.

Etapa 2: aplicação do teorema de Stokes

O que pode parecer estranho sobre esse problema, e o que sugere que você terá que usar o teorema de Stokes, é que a superfície da rede nunca é definida! Tudo que é dado é o limite da superfície: Um certo quadrado no plano y, z

Se nós encontrarmos uma forma de expressar start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis como o rotacional de algum outro campo vetorial, por exemplo start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, nós poderemos aplicar o teorema de Stokes para esse problema da seguinte forma:

$\displaystyle \underbrace{ \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \cdot \redE{d\Sigma} }_{\text{Integral de fluxo em questão}} = \underbrace{ \iint_\redE{S} (\nabla\times\textbf{G}) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = \int_{\redE{C}} \textbf{G} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Teorema de Stokes}}$ start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, e, space, f, l, u, x, o, space, e, m, space, q, u, e, s, t, a, with, \~, on top, o, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, del, times, start bold text, G, end bold text, right parenthesis, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, equals, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, T, e, o, r, e, m, a, space, d, e, space, S, t, o, k, e, s, end text, end subscript

Isso é análogo a calcular a integral integral, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x no cálculo de uma variável, em que você deve encontrar uma nova função com a propriedade g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis que lhe permita calcular a integral com base nos valores de fronteira. Nesse caso, estamos procurando pelo "anti-rotacional" de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, por assim dizer, que nos permitirá calcular a integral de superfície com base nos valores dessa função anti-rotacional nos limites da superfície.

Ao contrário do calculo de única variável, nem todos os campos vetoriais start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 possuem uma função anti-rotacional. Para nossa sorte, essa nossa função em particular é um caso especial que possui.

$\blueE{\textbf{F}} = \left[ \begin{array}{c} y^2 \\ z^2 \\ x^2 \end{array} \right]$

Verificação de Conceito: encontre um campo vetorial start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis que satisfaça a propriedade del, times, start bold text, G, end bold text, equals, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.

start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Etapa 3: calcule a integral de linha

Dada essa construção para start bold text, G, end bold text, o passo final é calcular a integral de linha do lado direito em nossa equação base:

$\displaystyle \underbrace{ \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \cdot \redE{d\Sigma} }_{\text{Integral de fluxo em questão}} = \underbrace{ \iint_\redE{S} (\nabla\times\textbf{G}) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = \overbrace{ \int_{\redE{C}} \textbf{G} \cdot d\textbf{r} }^{\text{Agora você pode calcular essa parte.}} }_{\text{Teorema de Stokes}}$ start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, e, space, f, l, u, x, o, space, e, m, space, q, u, e, s, t, a, with, \~, on top, o, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, del, times, start bold text, G, end bold text, right parenthesis, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, equals, start overbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, end overbrace, start superscript, start text, A, g, o, r, a, space, v, o, c, e, with, \^, on top, space, p, o, d, e, space, c, a, l, c, u, l, a, r, space, e, s, s, a, space, p, a, r, t, e, point, end text, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, T, e, o, r, e, m, a, space, d, e, space, S, t, o, k, e, s, end text, end subscript

Nesse contexto, a curva start color #bc2612, C, end color #bc2612 representa o quadrado 2, times, 2 no plano y, z com seus vértices nos seguintes pontos:

$\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]$

Antes de calcular a integral de linha ao redor desse quadrado, ela precisa estar orientada de forma que se alinhe com a orientação da superfície da rede start color #bc2612, S, end color #bc2612.

Verificação de conceito: dado que a rede para borboletas está na direção positiva de x, saindo do quadrado start color #bc2612, C, end color #bc2612, e está orientada com seus vetores unitários normais virados para fora, como start color #bc2612, C, end color #bc2612 deve estar orientada para que o teorema de Stokes possa ser aplicado? Responda a essa pergunta da perspectiva de que você no eixo x positivo, olhando diretamente para start color #bc2612, C, end color #bc2612.

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Sentido horário
(Escolha B)
Sentido anti-horário

[Resposta]

Verificação de conceito: nossa construção de start bold text, G, end bold text se parece com isso:

$\displaystyle \textbf{G} = \dfrac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} z^3 \\ x^3 \\ y^3 \\ \end{array} \right]$

Dado isso, e dada a orientação do quadrado start color #bc2612, C, end color #bc2612 que você acabou de especificar, termine o problema calculando a seguinte integral de linha:

integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

[Resposta]

Resumo

O teorema de stokes pode ser usado para transformar integrais de superfície, através de um campo vetorial, em integrais de linha.
Isso só funciona se você puder expressar o campo vetorial original como o rotacional de algum outro campo vetorial.
Certifique-se que a orientação das bordas da superfície se alinham com a orientação da superfície em si.

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