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Exemplos do teorema de Stokes

Veja como o teorema de Stokes é usado na prática.

A formula (revisão rápida)

O teorema de Stokes é uma ferramenta que transforma a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial em uma integral de linha em torno dos limites da superfície, ou vice-versa. Mais especificamente, eis o que ele diz:
SS é uma superfície em 3D(rotFn^)dΣIntegral de superfície deum campo vetorial rotacional=CFdrIntegral de linha ao longoda fronteira da superfície
Vamos analisar cada termo:
  • F(x,y,z) é um campo vetorial tridimensional.
  • rotacionalF, também escrito como ×F. É o rotacional tridimensional de F, que é um campo vetorial.
  • S é uma superfície em três dimensões.
  • n^ representa uma função que fornece vetores unitários normais a S.
  • C é a fronteira de S
  • C é orientada usando a regra da mão direita, o que significa que se você apontar o polegar da sua mão direita na direção do vetor normal unitário n^ próximo à borda de S e curvar seus dedos, a direção que eles apontam indica a direção em que você deve integrar em torno de C.

Exemplo 1: da integral de superfície à integral de linha


Problema
Seja S a metade de uma esfera unitária, centralizada na origem, que está acima do plano xy, orientada com vetores unitários normais voltados para fora. Seja v(x,y,z) o campo vetorial definido por:
v(x,y,z)=yi^
Calcule a seguinte integral de superfície:
SvdΣ

Solução
Lembre-se, o teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de uma função à integral de linha dessa função em torno dos limites da superfície. Isso significa que vamos fazer duas coisas:
  • Etapa 1: encontrar uma função cujo rotacional seja o campo vetorial yi^
  • Etapa 2: calcular a integral de linha dessa função em torno do círculo trigonométrico no plano xy, já que esse circulo é o limite da nossa meia esfera.
Verificação de conceito: encontre um campo vetorial F(x,y,z) que satisfaça a seguinte propriedade:
×F=yi^
Existem diversas maneiras de fazer isso, mas uma em particular irá tornar as nossas vidas mais fáceis. Na que eu estou pensando, as componentes i^ e j^ são 0, enquanto o componente k^ não é zero. Você pode encontrá-la?
F(x,y,z)=0i^+0j^+
k^

A superfície S é definida como a porção da esfera acima do plano xy. O limite dessa semiesfera é o círculo trigonométrico no plano xy.
Verificação de Conceito: ambos os seguintes parametrizam o círculo trigonométrico no plano xy, mas cada um com uma orientação diferente. Qual deles corresponde à orientação do hemisfério acima do plano xy com os vetores unitários normais virados para fora? ("Corresponde" no sentido de que podemos aplicar o teorema de Stokes.)
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: seja C a representação das fronteiras da superfície S. Use a parametrização de C que você escolheu, juntamente com a definição de F que você encontrou na pergunta antes dessa, para resolver a seguinte integral de linha.
CFdr=

Exemplo 2: vento através de uma rede para borboletas


Problema
Suponha que você tenha uma rede para pegar borboletas de aro quadrado, e o vento está soprando através da rede. Pense sobre o aro quadrado posicionado no espaço sobre o plano yz de forma que os quatro cantos da rede estejam nos quatro pontos a seguir:
[011][011][011][011]
Além disso, seja a rede alguma superfície emergindo do seu aro na direção positiva de x
Suponha que o campo vetorial da velocidade do vento é dado pela seguinte função:
F=[y2z2x2]
Supondo que o ar tem densidade uniforme de 1kg/m3, quanto ar passa pela rede por unidade de tempo? Mais especificamente, suponha que o ar indo de dentro para fora da rede é contado positivamente para a soma, e o ar indo de fora para dentro é contado negativamente.

Etapa 1: dissecando a pergunta
Antes de mais nada, precisamos ordenar nossos pensamentos e entender como esse problema, que mais se parece com física, é uma pergunta sobre o teorema de Stokes.
Verificação de conceito: o que o problema realmente está perguntando?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: mais especificamente, qual das seguintes integrais representa a resposta à pergunta? Que S denote a superfície da rede de borboletas, enquanto C é a armação quadrada da rede localizada no plano yz.
Escolha 1 resposta:

Na verdade, isso é apenas uma forma de dar uma interpretação física para uma integral de superfície através de um campo vetorial.
Etapa 2: aplicação do teorema de Stokes
O que pode parecer estranho sobre esse problema, e o que sugere que você terá que usar o teorema de Stokes, é que a superfície da rede nunca é definida! Tudo que é dado é o limite da superfície: Um certo quadrado no plano yz
Se nós encontrarmos uma forma de expressar F(x,y,z) como o rotacional de algum outro campo vetorial, por exemplo G(x,y,z), nós poderemos aplicar o teorema de Stokes para esse problema da seguinte forma:
S(Fn^)dΣIntegral de fluxo em questão=S(×G)n^dΣ=CGdrTeorema de Stokes
Isso é análogo a calcular a integral f(x)dx no cálculo de uma variável, em que você deve encontrar uma nova função com a propriedade g(x)=f(x) que lhe permita calcular a integral com base nos valores de fronteira. Nesse caso, estamos procurando pelo "anti-rotacional" de F, por assim dizer, que nos permitirá calcular a integral de superfície com base nos valores dessa função anti-rotacional nos limites da superfície.
Ao contrário do calculo de única variável, nem todos os campos vetoriais F possuem uma função anti-rotacional. Para nossa sorte, essa nossa função em particular é um caso especial que possui.
F=[y2z2x2]
Verificação de Conceito: encontre um campo vetorial G(x,y,z) que satisfaça a propriedade ×G=F.
G(x,y,z)=
i^+
j^+
k^

Etapa 3: calcule a integral de linha
Dada essa construção para G, o passo final é calcular a integral de linha do lado direito em nossa equação base:
S(Fn^)dΣIntegral de fluxo em questão=S(×G)n^dΣ=CGdrAgora você pode calcular essa parte.Teorema de Stokes
Nesse contexto, a curva C representa o quadrado 2×2 no plano yz com seus vértices nos seguintes pontos:
[011][011][011][011]
Antes de calcular a integral de linha ao redor desse quadrado, ela precisa estar orientada de forma que se alinhe com a orientação da superfície da rede S.
Verificação de conceito: dado que a rede para borboletas está na direção positiva de x, saindo do quadrado C, e está orientada com seus vetores unitários normais virados para fora, como C deve estar orientada para que o teorema de Stokes possa ser aplicado? Responda a essa pergunta da perspectiva de que você no eixo x positivo, olhando diretamente para C.
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: nossa construção de G se parece com isso:
G=13[z3x3y3]
Dado isso, e dada a orientação do quadrado C que você acabou de especificar, termine o problema calculando a seguinte integral de linha:
CGdr=

Resumo

  • O teorema de stokes pode ser usado para transformar integrais de superfície, através de um campo vetorial, em integrais de linha.
  • Isso só funciona se você puder expressar o campo vetorial original como o rotacional de algum outro campo vetorial.
  • Certifique-se que a orientação das bordas da superfície se alinham com a orientação da superfície em si.

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