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Agora que exploramos o Teorema de Stokes, quero falar sobre situações onde podemos utilizá-lo. Verá que é um teorema bem geral. Mas precisamos pensar com que tipo de superfícies e fronteiras estamos lidando. Neste caso precisamos de superfícies suaves por partes. Essa superfície é na verdade suave, não apenas suave por partes. Parece um termo sofisticado, mas tudo isso significa que você só tem derivadas contínuas. Como estamos falando de superfícies, teremos derivadas parciais contínuas. Independente da direção escolhida. Isso é o mesmo que derivadas contínuas. Uma maneira conceitual de se pensar nisso é, escolhida uma direção na superfície, se você for nessa direção, a inclinação varia gradualmente. Não há mudanças bruscas. Escolhendo essa direção, a inclinação varia gradualmente. Temos uma derivada contínua. E você se pergunta: o que "por partes" significa? Bom, isso permite que usemos o Teorema com mais superfícies. Porque se tivermos uma superfície parecida com um copo. Aqui é a abertura no topo do copo. De forma que possamos ver a parte de trás do copo. Aqui é a lateral e aqui o fundo do copo. Se fosse transparente poderíamos de fato ver através dele. Superfícies assim não são inteiramente suaves pois possuem bordas. Têm pontos aqui. Se escolhermos essa direção e formos ao longo do fundo, quando chegarmos à borda, de uma hora pra outra a inclinação muda drasticamente. A inclinação não é contínua na borda. Ela muda rapidamente. E começamos a ir pra cima. Toda essa superfície não é suave. Mas o "por partes" nos dá uma saída. Isso nos diz que não tem problema desde que possamos dividir a superfície em partes que são suaves. Este copo podemos dividí-lo. Fizemos isso quando vimos integrais de superfície. Podemos dividí-lo pelo fundo, que é uma superfície suave. Tem derivada contínua. E a lateral, que envolve tudo isso, também é suave. A maioria das coisas que vemos em um curso de cálculo, especialmente superfícies, se encaixa nessa definição "suave por partes". O que não se encaixa é realmente difícil de visualizar. E ai eu imagino uma coisa toda fragmentada, cheia de pontos realmente difícil de quebrar em partes suaves. Isso é só em relação à superfície. Também precisamos nos preocupar com as fronteiras para aplicarmos o Teorema. Isso aqui. Ela precisa ser simples. Ou seja, sem auto-interceptação. Uma fronteira suave por partes, simples e fechada. De novo, simples e fechada significa -- isso não é uma fronteira simples. Já que está se auto-interceptando. Entretanto podemos dividi-la em duas fronteiras simples. Algo assim é uma fronteira simples. Então isso aqui também é. Também precisa ser fechada. Significa que ela fecha sobre si mesma. Será algo assim. Precisa realmente fechar sobre si mesma para usarmos o Teorema de Stokes. Novamente, precisa ser suave por partes. Mas agora nos referimos a um caminho, uma reta ou uma curva como essa. E suave por partes significa que podemos dividi-la em pedaços onde as derivadas são contínuas. Da forma que eu desenhei este, este e este, a inclinação varia gradualmente. Ali a inclinação é assim. Varia à medida que andamos nesse caminho. Um caminho que não seja suave será parecido com isso. Os lugares onde isso não é suave são as extremidades. Aqui, ali, ali e ali. Precisa ser simples e fechada e aqui é. Não é suave mas é suave por partes. Podemos dividí-la neste pedaço, esta reta é suave. Aquela também é, aquela também e aquela também. E fizemos isso ao calcular integrais de linha. Dividimos em partes suaves onde pudemos, de fato, calcular a integral. Se você tem uma superfície suave por partes e sua fronteira é simples e fechada, suave por partes você tem tudo o que precisa. Llegendado por: [Vitor Tocci]