Condições para o teorema de Stokes

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Agora que você já tem uma noção do Teorema de Stokes, vamos ver situações para utilizá-lo. O Teorema de Stokes pode ser usado de uma maneira bem geral, mas precisamos nos preocupar com o tipo de superfície e as fronteiras. E, no caso do Teorema de Stokes, precisamos de uma superfície que seja definida por partes suaves. Veja, por exemplo, a superfície que eu tenho desenhada aqui. Ela é somente suave, ela não é definida por partes suaves. E você deve estar achando bem estranho o termo "suave", mas pode ficar tranquilo que é só um termo que diz para nós que temos derivadas contínuas. E já que estamos em superfícies, vamos ter derivadas parciais contínuas, independentemente de qual seja a direção. E ainda sobre termos, o termo "por partes" é o que nos possibilita usar o Teorema de Stokes em mais superfícies. Por exemplo, vamos desenhar um copo. É bem visível para nós que essa superfície não é inteiramente suave, ela tem bordas. E se pegarmos uma direção que vai em direção à borda, a inclinação muda drasticamente. E esta inclinação não é contínua na borda, já que a inclinação pula e segue reta, mas é aí que o termo por partes nos dar uma saída. Ele nos diz que tudo bem uma superfície não ser suave, desde que haja a possibilidade de quebrar a superfície em pedaços que sejam suaves. Portanto, no nosso exemplo podemos quebrar este copo e daí conseguimos superfícies suaves. E uma coisa bem bacana é que o termo "por partes suaves" se encaixa na maioria das coisas que você vai encontrar ao estudar cálculos, especialmente superfícies. Pois bem, para conseguirmos aplicar o Teorema de Stokes, além da superfície, precisamos nos preocupar também com as fronteiras, como eu havia dito antes. As fronteiras são representadas pelo nosso "c" na esquerda superior. A fronteira precisa ser simples, o que significa que ela não se cruza. Então, seria uma fronteira simples, fechada, definida por partes suaves. Este outro desenho que eu fiz não tem a fronteira simples, já que se cruza. Mas este outro desenho tem uma fronteira simples, só que ele não é fechado. Já para este outro desenho, ele é simples e fechado. E isto quer dizer que podemos aplicar o Teorema de Stokes. E temos aqui exemplos os quais são suaves. São estes amendoins que eu desenhei. E a inclinação deles muda, gradualmente, conforme seguimos o caminho. Mas agora vamos ver um exemplo que não é tão perceptível assim. Temos este desenho e temos as bordas que não são suaves. Porém, precisamos que seja simples, fechado. E ele é simples fechado. E este desenho, eu reforço mais uma vez, ele não é suave. Mas é possível vê-lo por partes suaves. Podemos quebrá-lo, inicialmente, na esquerda, que vai ficar suave, depois na parte de baixo, depois na parte da direita. E, por fim, na parte de cima. Isso deve ser bem familiar para você, caso já tenha visto algum de nossos outros vídeos. Nós quebramos este desenho em fragmentos suaves, que podemos utilizar para calcular uma integral curvilínea. Por fim, o lembrete que você precisa pegar daqui é que se você tem uma superfície que é por partes suaves, e a sua fronteira é simples, fechada por parte suaves, você consegue seguir tranquilamente. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!