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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 5: Teorema de Stokes- Intuição do teorema de Stokes
- Relação entre os teoremas de Green e Stokes
- Orientação de limite com superfície
- Orientação e Stokes
- Orientações e fronteiras
- Condições para o teorema de Stokes
- Exemplo de Stokes - Parte 1
- Exemplo de Stokes - Parte 2
- Exemplo de Stokes - Parte 3
- Exemplo de Stokes - Parte 4
- Teorema de Stokes
- Cálculo direto de integral de linha – parte 1
- Cálculo direto de integral de linha – parte 2
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Cálculo direto de integral de linha – parte 1
Mostrar que não precisamos usar o teorema de Strokes para calcular esta integral de linhhttps://crowdin.com/translate/khanacademy/32059/enus-ptbra. Versão original criada por Sal Khan.
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- o que significa o resultado pi?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a avaliar
uma integral de linha diretamente. Nos últimos vídeos, calculamos
esta integral de linha para este caminho aqui. E, para isso, usamos o Teorema de Stokes que essencialmente diz que isso
é equivalente à integral de superfície do rotacional do produto escalar, do campo vetorial com a superfície. O que eu quero fazer, neste vídeo, é mostrar que não precisamos
do Teorema de Stokes e que poderíamos ter feito isso apenas
calculando esta integral de linha. Temos que manter em mente
que neste caso é como uma escolha do que
é de fato mais simples a fazer. Claro que o Teorema de Stokes
tem o seu valor, porque às vezes quando você encara
uma integral de linha é melhor usar o Teorema de Stokes
e fazer a integral de superfície. Além disso, em outros momentos também, você pode se deparar com
uma integral de superfície, e aí vai ser melhor usar
o Teorema de Stokes e calcular a integral de linha. Enfim, você sempre deve seguir
o caminho mais fácil. Ok! Sabendo disso, vamos tentar calcular esta integral
de linha aqui e, com sorte, encontraremos a mesma resposta
se fizermos corretamente. Vamos começar aqui, então. E a primeira coisa a fazer é parametrizar
o nosso caminho bem aqui. Você pode imaginar isso como um cano que corta os eixos "x" e "y"
no círculo unitário, e vai para cima e para baixo
infinitamente. Neste caso, nós encontramos
este caminho aqui com essa orientação. E como estamos apenas parametrizando
uma trajetória, vamos lidar com apenas um parâmetro. Então, vamos pensar um pouco sobre isso. Fizemos isso muitas vezes, mas não é ruim fazer
um exercício outra vez. Este é o nosso eixo "y"
e este é o nosso eixo "x". Os valores de "x" e "y" vão pegar cada um dos valores
no círculo unitário. Aí, o valor "z" vai nos dizer o quão distante acima do
círculo unitário precisamos ir para realmente estar
sobre esta superfície. Então, "x" e "y" vão pegar todos
os valores sobre o círculo unitário. A forma mais fácil de pensar sobre isso é introduzir um parâmetro θ que essencialmente mede
o ângulo com o eixo positivo "x". Aí, basta mover o θ ao logo de todo o círculo unitário. Sendo assim, θ vai estar entre zero e 2π. Ou seja, zero é menor ou igual a θ, que é menor ou igual a 2π. E nesta situação, "x" aqui será igual a, esta é a definição de círculo unitário
das funções trigonométricas, ok? Então, "x" será igual ao cosθ,
e "y" será igual ao senθ. Já o "z" nos diz o quão alto
nós temos que ir. E podemos utilizar esta restrição aqui
para nos ajudar a descobri-lo. Temos aqui que y + z = 2.
Certo? Então, podemos colocar aqui
o "z" sendo igual a 2 - y. Mas como "y" é o senθ, então "z" será igual a
2 - senθ. E terminamos! Esta é a parametrização. Agora, se a gente quiser, a gente pode escrever isso aqui
como uma função do vetor posição. Sendo assim, podemos colocar aqui que "r", que será uma função de θ, sendo igual ao cosθî, mais o senθj^, mais (2 - senθ)k^. Agora, sim, estamos prontos
para pelo menos tentar resolver essa integral de linha. Mas antes disso, precisamos descobrir o que é "F" escalar "dr" em relação
aos nossos parâmetros. E, para isso, temos que
descobrir que o "dr" é. Nós precisamos nos lembrar que "dr" é a mesma coisa que dr/dθ vezes dθ. Se você derivar isso em relação a θ,
teremos o quê? A derivada do cosθ é -senθ. Então, colocamos aqui -senθî. A derivada do senθ é o cosθ. Então, colocamos aqui + cosθj^. E a derivada de (2 - senθ)
é -cosθ. Então, colocamos aqui
-cosθk^. Tudo isso aqui vezes,
ainda temos este dθ aqui. Enfim, tudo isso aqui é o dr/dθ. Aí, colocamos o dθ aqui no final. Agora, estamos prontos aqui para calcular o produto escalar
entre "F" e "dr". Vamos pensar um pouco sobre isso. "F" escalar "dr"
é igual a, olhamos primeiro para as nossas
componentes na direção "î". Temos aqui -y² vezes -senθ,
que será, bem, os negativos vão se cancelar, então teremos y² vezes senθ, que vem da componente
na direção "i", mais, agora, temos "x" vezes o cosθ. Então, colocamos aqui
mais "x" vezes cosθ, isso mais z² - cosθ, que é igual a menos. Então, colocamos o menos aqui. z² vezes cosθ. E aí, tudo isso vezes dθ. Agora, como vamos calcular a integral
sobre a trajetória que nos interessa temos que ter isso agora no domínio de θ. Assim, podemos dizer que
essa é uma integral simples de θ indo de zero a 2π. Claro, ainda não estamos totalmente
no domínio de θ. Ainda temos isto aqui
em termos de "x", "y" e "z". Sendo assim, temos que expressar
estas coisas aqui em termos de θ. Vamos fazer isso, então! Temos aqui a integral
de zero a 2π de y². Bem, y é senθ. Então, isso será sen²θ. Vezes outro senθ. Logo, teremos aqui o sen³θ. Isso mais, aqui temos o "x",
que é o cosθ, vezes outro cosθ. Então, isso será mais o cos²θ. Menos z². Bem, isto aqui vai dar mais trabalho. Neste caso aqui, o z² é o quê? Vamos fazer aqui em cima. z² será igual a
4 - 4senθ + sen²θ. Sendo assim, -z²
será igual a quê? Afinal, temos aqui
-z² vezes cosθ. Então, -z² será igual a
-4 + 4senθ - sen²θ. Isto é -z², e aí devemos multiplicar isto por cosθ. Sendo assim, isso aqui será igual ao cosθ, vezes tudo isto aqui. Então, será -4 vezes cosθ, mais 4 vezes cosθ,
vezes senθ, menos cosθ, vezes sen²θ. E pronto, parece que terminamos! Pelo menos este passo. Aí colocamos o dθ aqui no final. Agora, só temos que calcular
esta integral. Afinal, o que fizemos aqui foi apenas
realizar a montagem da integral final, chegando a uma integral simples
definida unidimensional. O que é muito mais simples neste caso. Mas a integral que temos que calcular
é um pouco mais complicada. Talvez a gente tenha que usar algumas identidades trigonométricas
para resolver adequadamente, mas podemos fazer isso. Neste vídeo, eu vou parar por aqui. Mas, no próximo vídeo,
nós vamos resolver esta integral. Eu espero que você tenha
compreendido tudo direitinho. E, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço, e até a próxima!