If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:7:44

Transcrição de vídeo

Nos últimos vídeos, calculamos esta integral de linha para este caminho bem aqui e usando o Teorema de Stokes, essencialmente dizendo que é equivalente a uma integral de superfície do rotacional do produto escalar do campo vetorial com a superfície. O que quero neste vídeo é mostrar que não precisamos do Teorema de Stokes, que poderíamos ter só calculado esta integral de linha. E temos que manter em mente que neste caso, é como uma escolha do que é de fato o mais simples a fezer. Mas o Teorema de Stokes tem valor, pois às vezes, se encarar uma integral de linha, é melhor usar o Teorema de Stokes e fazer a integral de superfície. Outras, se for uma integral de superfície, é melhor usar o Teorema de Stokes e calcular a integral de linha. Então vamos tentar descobrir esta integral de linha. E com sorte, obteremos a a mesma resposta se fizermos corretamente. Então, o primeiro a fazer é achar a parametrização do nosso caminho bem aqui, esta intersecção do plano y mais z igual a dois. E você pode imaginar isto como um cano que corta os eixos <i>x</i> e <i>y</i> no círculo unitário e vai para cima e para baixo para sempre. E obtemos este caminho aqui, com esta orientação. E como estamos apenas parametrizando uma trajetória, iremos lidar com apenas um parâmetro. Vamos pensar sobre isto um pouco. Fizemos isto muitas vezes, mas não é ruim fazer o exercício outra vez. Este é nosso eixo y. Este é nosso eixo x. Esse é o eixo x. E os valores de <i>x</i> e <i>y</i> tomarão cada um dos valores no círculo unitário. Então o valor <i>z</i> nos dirá o quão longe acima do círculo unitário precisamos estar para realmente estar sobre esta trajetória. Então <i>x</i> e <i>y</i> tomarão todos os valores sobre o círculo unitário. E fizemos muitas vezes antes. A forma mais fácil de pensar sobre é introduzir um parâmetro <i>theta</i> que essencialmente mede o ângulo com o eixo positivo x. E <i>theta</i>, iremos apenas movê-lo em volta, de todo o círculo unitário. Então <i>theta</i> estará entre zero e dois <i>pi</i>. Então zero é menor que <i>theta</i>, que é menor ou igual a dois <i>pi</i>. E nessa situação, x estará-- esta é a definição de círculo unitário das funções trigonométricas-- será igual ao cosseno de <i>theta</i>. y será o seno de <i>theta</i>. E então z, quão alto temos que ir, podemos usar essa restrição para ajudar a descobri-lo. y mais z é igual a dois, ou poderíamos dizer que z é igual a dois menos y. e se y é o seno de <i>theta</i>, então z será igual a dois menos o seno de <i>theta</i>. E terminamos. Essa é a parametrização. Se quiséssemos escrever como uma função de vetor posição, poderíamos escrever r, que será uma função de <i>theta</i>, é igual ao cosseno de <i>theta</i> i mais o seno de <i>theta</i> j, mais dois menos o seno de <i>theta</i> k. E agora estamos prontos, para pelo menos tentar resolver esta integral de linha. Temos que descobrir o que F escalar dr é. E para isso, temos que descobrir o que é o dr. Precisamos nos lembrar que, dr é a mesma coisa que dr/d <i>theta</i>, vezes d <i>theta</i>. Se você derivar isto em relação a <i>theta</i>, derivada de cosseno de <i>theta</i> é menos seno de <i>theta</i> i. Derivada do seno de <i>theta</i> é cosseno de <i>theta</i> mais o cosseno de <i>theta</i> j. E a derivada de dois menos o seno de <i>theta</i> será menos cosseno de <i>theta</i> k. Então isso tudo vezes-- ainda temos este d <i>theta</i> para nos preocuparmos. Isto é dr/d <i>theta</i>. Deixe-me escrever isto. Ainda temos que escrever nosso d <i>theta</i> desse jeito. Agora estamos prontos para fazer o produto escalar de F com dr. Pensemos sobre isto um pouco. Escreverei dr nesta cor. F escalar dr será igual a-- olhamos primeiro para nossos componentes da direção i. temos menos y ao quadrado vezes seno de <i>theta</i>. Que será-- bem, os negativos irão se cancelar. Então teremos-- Iremos obter y ao quadrado vezes seno de <i>theta</i>, que vem da componente da direção i, mais-- agora teremos x vezes cosseno de <i>theta</i>. E teremos mais z ao quadrado vezes menos o cosseno de <i>theta</i>. Isso será menos z ao quadrado vezes cosseno de <i>theta</i>. E então, tudo isso vezes d <i>theta</i>. Todo este negócio vezes d <i>theta</i>. E se iremos mesmo calcular a integral, se iremos calcular isto sobre a trajetória que nos interessa, agora temos isto no domínio de <i>theta</i>. Podemos então dizer que esta é uma integral simples de <i>theta</i> indo de zero a dois <i>pi</i>. De fato, ainda não estamos totalmente no domínio de <i>theta</i>. Ainda temos isto expresso em termos de y, x's, e z. Temos que expressar esses em termos de <i>theta</i>. Façamos isso. Isso será igual à integral de zero a dois <i>pi</i>. Na verdade, deixe-me conseguir mais espaço pois prevejo que isto pode tomar muito espaço horizontal. Será a integral de zero a dois <i>pi</i>. y ao quadrado, bem, y é o seno de <i>theta</i>. Isto será o seno de <i>theta</i> ao quadrado vezes outro seno de <i>theta</i>. Isto será seno ao cubo de <i>theta</i>. Deixe-me usar uma nova cor. Escreverei em azul. Isto é seno ao quadrado de <i>theta</i> vezes outro seno de <i>theta</i>, será seno ao cubo de <i>theta</i>. Farei um código de cor. Esse é seno ao cubo de <i>theta</i>. Ponha parênteses aqui. Então x é cosseno de <i>theta</i> vezes outro cosseno de <i>theta</i>. Isto será mais cosseno ao quadrado de <i>theta</i>. E z ao quadrado, na verdade ficará um pouco envolvido. Pensemos sobre o que é z ao quadrado? Farei aqui. z ao quadrado será quatro, menos quatro seno de <i>theta</i> mais seno ao quadrado de <i>theta</i>. Que será menos z ao quadrado vezes cosseno de <i>theta</i>. Então, menos z quadrado será igual a menos quatro mais quatro seno de <i>theta</i>, menos seno ao quadrado de <i>theta</i>. Isso é menos z ao quadrado, e multiplicaremos isso por cosseno de <i>theta</i>. Farei isto em laranja. Tudo isto aqui será igual a cosseno de <i>theta</i> vezes tudo isto, cosseno de <i>theta</i> vezes tudo isto aqui. Será menos quatro cosseno de <i>theta</i> mais quatro cosseno de <i>theta</i> seno de <i>theta</i>, então, menos cosseno de <i>theta</i>, seno ao quadrado de <i>theta</i>. Parece que terminamos, pelo menos este passo, d <i>theta</i>. Agora só temos que calcular esta integral. O que vimos na verdade é a montagem da integral final, chegando a uma integral simples definida unidimensional, muito mais simples neste caso. Mas a integral que temos que calcular é um pouco mais complicada. Talvez tenhamos que usar algumas de nossas identidades trigonométricas para resolver adequadamente, mas podemos fazer. Mas terminarei aqui. No próximo vídeo, trabalharemos em resolver esta integral. [Legendado por: Laércio Junior] [Revisado por: Thales Azevedo]