Cálculo direto de integral de linha – parte 1

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a avaliar uma integral de linha diretamente. Nos últimos vídeos, calculamos esta integral de linha para este caminho aqui. E, para isso, usamos o Teorema de Stokes que essencialmente diz que isso é equivalente à integral de superfície do rotacional do produto escalar, do campo vetorial com a superfície. O que eu quero fazer, neste vídeo, é mostrar que não precisamos do Teorema de Stokes e que poderíamos ter feito isso apenas calculando esta integral de linha. Temos que manter em mente que neste caso é como uma escolha do que é de fato mais simples a fazer. Claro que o Teorema de Stokes tem o seu valor, porque às vezes quando você encara uma integral de linha é melhor usar o Teorema de Stokes e fazer a integral de superfície. Além disso, em outros momentos também, você pode se deparar com uma integral de superfície, e aí vai ser melhor usar o Teorema de Stokes e calcular a integral de linha. Enfim, você sempre deve seguir o caminho mais fácil. Ok! Sabendo disso, vamos tentar calcular esta integral de linha aqui e, com sorte, encontraremos a mesma resposta se fizermos corretamente. Vamos começar aqui, então. E a primeira coisa a fazer é parametrizar o nosso caminho bem aqui. Você pode imaginar isso como um cano que corta os eixos "x" e "y" no círculo unitário, e vai para cima e para baixo infinitamente. Neste caso, nós encontramos este caminho aqui com essa orientação. E como estamos apenas parametrizando uma trajetória, vamos lidar com apenas um parâmetro. Então, vamos pensar um pouco sobre isso. Fizemos isso muitas vezes, mas não é ruim fazer um exercício outra vez. Este é o nosso eixo "y" e este é o nosso eixo "x". Os valores de "x" e "y" vão pegar cada um dos valores no círculo unitário. Aí, o valor "z" vai nos dizer o quão distante acima do círculo unitário precisamos ir para realmente estar sobre esta superfície. Então, "x" e "y" vão pegar todos os valores sobre o círculo unitário. A forma mais fácil de pensar sobre isso é introduzir um parâmetro θ que essencialmente mede o ângulo com o eixo positivo "x". Aí, basta mover o θ ao logo de todo o círculo unitário. Sendo assim, θ vai estar entre zero e 2π. Ou seja, zero é menor ou igual a θ, que é menor ou igual a 2π. E nesta situação, "x" aqui será igual a, esta é a definição de círculo unitário das funções trigonométricas, ok? Então, "x" será igual ao cosθ, e "y" será igual ao senθ. Já o "z" nos diz o quão alto nós temos que ir. E podemos utilizar esta restrição aqui para nos ajudar a descobri-lo. Temos aqui que y + z = 2. Certo? Então, podemos colocar aqui o "z" sendo igual a 2 - y. Mas como "y" é o senθ, então "z" será igual a 2 - senθ. E terminamos! Esta é a parametrização. Agora, se a gente quiser, a gente pode escrever isso aqui como uma função do vetor posição. Sendo assim, podemos colocar aqui que "r", que será uma função de θ, sendo igual ao cosθî, mais o senθj^, mais (2 - senθ)k^. Agora, sim, estamos prontos para pelo menos tentar resolver essa integral de linha. Mas antes disso, precisamos descobrir o que é "F" escalar "dr" em relação aos nossos parâmetros. E, para isso, temos que descobrir que o "dr" é. Nós precisamos nos lembrar que "dr" é a mesma coisa que dr/dθ vezes dθ. Se você derivar isso em relação a θ, teremos o quê? A derivada do cosθ é -senθ. Então, colocamos aqui -senθî. A derivada do senθ é o cosθ. Então, colocamos aqui + cosθj^. E a derivada de (2 - senθ) é -cosθ. Então, colocamos aqui -cosθk^. Tudo isso aqui vezes, ainda temos este dθ aqui. Enfim, tudo isso aqui é o dr/dθ. Aí, colocamos o dθ aqui no final. Agora, estamos prontos aqui para calcular o produto escalar entre "F" e "dr". Vamos pensar um pouco sobre isso. "F" escalar "dr" é igual a, olhamos primeiro para as nossas componentes na direção "î". Temos aqui -y² vezes -senθ, que será, bem, os negativos vão se cancelar, então teremos y² vezes senθ, que vem da componente na direção "i", mais, agora, temos "x" vezes o cosθ. Então, colocamos aqui mais "x" vezes cosθ, isso mais z² - cosθ, que é igual a menos. Então, colocamos o menos aqui. z² vezes cosθ. E aí, tudo isso vezes dθ. Agora, como vamos calcular a integral sobre a trajetória que nos interessa temos que ter isso agora no domínio de θ. Assim, podemos dizer que essa é uma integral simples de θ indo de zero a 2π. Claro, ainda não estamos totalmente no domínio de θ. Ainda temos isto aqui em termos de "x", "y" e "z". Sendo assim, temos que expressar estas coisas aqui em termos de θ. Vamos fazer isso, então! Temos aqui a integral de zero a 2π de y². Bem, y é senθ. Então, isso será sen²θ. Vezes outro senθ. Logo, teremos aqui o sen³θ. Isso mais, aqui temos o "x", que é o cosθ, vezes outro cosθ. Então, isso será mais o cos²θ. Menos z². Bem, isto aqui vai dar mais trabalho. Neste caso aqui, o z² é o quê? Vamos fazer aqui em cima. z² será igual a 4 - 4senθ + sen²θ. Sendo assim, -z² será igual a quê? Afinal, temos aqui -z² vezes cosθ. Então, -z² será igual a -4 + 4senθ - sen²θ. Isto é -z², e aí devemos multiplicar isto por cosθ. Sendo assim, isso aqui será igual ao cosθ, vezes tudo isto aqui. Então, será -4 vezes cosθ, mais 4 vezes cosθ, vezes senθ, menos cosθ, vezes sen²θ. E pronto, parece que terminamos! Pelo menos este passo. Aí colocamos o dθ aqui no final. Agora, só temos que calcular esta integral. Afinal, o que fizemos aqui foi apenas realizar a montagem da integral final, chegando a uma integral simples definida unidimensional. O que é muito mais simples neste caso. Mas a integral que temos que calcular é um pouco mais complicada. Talvez a gente tenha que usar algumas identidades trigonométricas para resolver adequadamente, mas podemos fazer isso. Neste vídeo, eu vou parar por aqui. Mas, no próximo vídeo, nós vamos resolver esta integral. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!