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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 5: Teorema de Stokes- Intuição do teorema de Stokes
- Relação entre os teoremas de Green e Stokes
- Orientação de limite com superfície
- Orientação e Stokes
- Orientações e fronteiras
- Condições para o teorema de Stokes
- Exemplo de Stokes - Parte 1
- Exemplo de Stokes - Parte 2
- Exemplo de Stokes - Parte 3
- Exemplo de Stokes - Parte 4
- Teorema de Stokes
- Cálculo direto de integral de linha – parte 1
- Cálculo direto de integral de linha – parte 2
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Cálculo direto de integral de linha – parte 2
Como terminar a integral de linha com uma integração trigonométrica pequena. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar
avaliando a integral de linha. Ainda falta calcularmos a integral
destas funções trigonométricas em relação a θ de 0 a 2π. Vamos tentar fazer isso passo a passo. Primeiro, nós temos aqui sen³θ. Não tem um caminho tão fácil assim
para calcular a integral disto. O que podemos fazer?
Se tivermos senos e cossenos, de repente dá para fazer
uma substituição U. Por causa disso, eu vou reescrever
este sen³θ como um produto. Ou seja, eu posso reescrever
como senθ vezes sen²θ. E, pelo teorema fundamental
da trigonometria, nós podemos reescrever este sen²θ
como 1 - cos²θ. Então, eu posso colocar:
senθ que multiplica 1 - cos²θ. E, se aplicarmos a distributiva aqui, ficamos com: senθ menos
senθ vezes cos²θ. Desta forma, é mais fácil
calcular a integral. Isso porque a integral de seno
é fácil de ser calculada e aqui, neste produto, sabemos
que a derivada do cosseno está bem aqui. E aí você pode fazer a substituição U
e encontrar a integral. O que eu vou fazer agora
é reescrever tudo isto de uma forma que fique mais fácil
de encontrar a antiderivada. O cos²θ, sabemos que é
uma identidade trigonométrica comum. Por isso, podemos reescrevê-lo como:
1/2 que multiplica (1 + cos2θ). E, de novo, isto aqui é fácil de calcular
a antiderivada. Eu posso até mesmo simplificar,
aplicando a distributiva, e aí vamos ficar com: 1/2 + 1/2
que multiplica cos2θ e o restante é bem fácil
de calcular a integral, então, eu só vou reescrever aqui embaixo. ou seja, -4 que multiplica cosθ, mais 4 vezes cosθ vezes senθ, menos cosθ vezes sen²θ, dθ. Ou seja, a integral de zero a 2π
de tudo isto. Do lado de fora, tem o dθ. O que queremos calcular
é a integral disto de zero a 2π Vamos lá. A integral de senθ é -cosθ.
Então, eu posso colocar aqui. E, se você aplicar
a substituição U aqui e resolver, você vai encontrar +cos³θ sobre 3. A integral de 1/2 vai ser 1/2 vezes θ. A integral disto é +1/4 do sen2θ. A integral de cosθ é -senθ, por isso, podemos colocar -4senθ aqui. A derivada de cosθ vezes senθ,
você pode aplicar a regra do produto. Quando você faz isso, vai ter este 4
aqui na frente, dividido por 2. Aí você pode simplificar e, com isso,
colocar somente 2 vezes sen²θ. Claro, você pode utilizar
a regra do produto, a regra da cadeia... siga o caminho que achar melhor. Por fim, temos esta parte,
na qual podemos utilizar essa mesma regra. Só que a derivada do seno é o cosseno,
e tem um sinal de "menos" aqui antes. Então, vai ficar: -sen³θ sobre 3. Do lado de fora, tem o dθ, e queremos calcular
a integral disto de zero até 2π. A primeira coisa é avaliar tudo em 2π. E aí, vamos ter -cos2π,
que neste caso é -1, mais cos³2π sobre 3,
que vai ser igual a 1/3. 1/2 vezes 2π vai ser igual a π, então, +π. Aqui, sen2 vezes 2π vai ser a mesma coisa
que sen4π, e neste caso é igual a zero.
Portanto, esta parte vai zerar. Note que todo o restante da expressão
tem senπ e, se você substituir 2π
aqui no lugar do θ, todos eles vão zerar. E ainda temos que pegar tudo isso
e subtrair avaliando em zero. Cos0 vai ser 1 e, como tem o "menos" aqui,
vai ser -1. Aqui vai ser 1³/3,
que é a mesma coisa que +1/3. Aqui vai ser zero, aqui também,
e todo o restante vai ser zero. É só você substituir para ver. E você pode ajeitar,
ficando com -1 + 1/3 + π, menos estes dois termos,
que vão mudar o sinal, e aí vamos ficar com +1 - 1/3 e podemos cancelar este -1 com este 1,
este 1/3 com este -1/3 e a resposta final vai ser igual a π. Enfim, eu espero que esta aula
tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!