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Transcrição de vídeo

Só falta avaliar esta integral que é um exercício de avaliar integrais trigonometricamente mais do que qualquer outra coisa. Mas não dói adquirir esta prática. Vamos fazer isto passo a passo. Vemos um seno ao cubo de theta. Não tem um caminho óbvio para pegar diretamente a antiderivada do seno ao cubo de theta. Mas se tivéssemos algumas misturas de senos e cossenos aqui poderíamos começar essencialmente fazendo uma substituição u que neste ponto você pode fazer isso de cabeça. Podemos escrever isto como um produto. Escrevemos isto como um seno de theta -- vou fazer esta parte bem aqui,-- Este é o seno de theta vezes seno ao quadrado de theta. Seno ao quadrado de theta pode ser reescrito como um menos cosseno ao quadrado de theta. Então isto é o mesmo que seno de theta vezes um menos cosseno ao quadrado de theta. E se multiplicarmos isto temos seno de theta menos seno de theta cosseno ao quadrado de theta É mais fácil para nós integrarmos, embora pareça uma expressão mais complicada porque é fácil pegar a antiderivada do seno de theta. E agora é fácil pegar a antiderivada disto porque temos a derivada de cosseno de theta bem aqui. Vai ser cosseno ao cubo de theta sobre três. Estamos fazendo uma substituição u. Vou guardar isto um segundo. Vamos reescrever tudo isso de uma forma que seja fácil pegar a antiderivada. Cosseno ao quadrado de theta, sabemos que é uma identidade trig comum. É o mesmo que 1/2 de um mais cosseno de dois theta. Mais uma vez, isto é muito, muito mais fácil de pegar a antiderivada. Vou escrever mais 1/2 mais 1/2 cosseno de dois theta Agora, tudo isso é bem fácil de pegar a antiderivada. Então vou só reescrever de novo. Menos quatro cosseno de theta mais quatro cosseno de theta seno de theta menos cosseno de theta seno ao quadrado theta d theta Consegui inserir isso aqui. Então esta é nossa integral entre zero e dois pi. Vamos pegar a antiderivada em cada um desses passos. Está ficando bagunçado. Vou escrever mais organizado. A antiderivada de seno de theta é cosseno negativo de theta. Pegando a derivada de cosseno de theta temos seno negativo de theta. Os negativos cancelam e você tem isto. Aqui temos a derivada de cosseno de theta que é seno negativo de theta. Podemos tratar isso-- podemos fazer a substituição que u é cosseno de theta. É o que estamos fazendo em nossa cabeça. Então a antiderivada disso vai ser igual a mais cosseno ao cubo de theta sobre três Então a antiderivada de 1/2 com respeito a theta vai ser mais 1/2 theta. A antiderivada de cosseno dois theta-- queremos a derivada disto em algum lugar. A derivada disto é dois. Então se colocarmos dois aqui, não podemos só multiplicar por dois. Teríamos que multiplicar e dividir por dois. Podemos colocar dois aqui, e então podemos também-- mas também teremos que dividir por dois. Então isto se torna quatro. E não mudamos isto. Perceba que ele é agora 2/4 cosseno de dois theta, exatamente o mesmo que 1/2 cosseno de dois theta. Isto é útil porque da forma que escrevi, temos a derivada de dois theta aqui. Podemos dizer: "Vamos pegar a antiderivada de tudo isso que vai ser seno de dois theta." Mas ainda temos o um para que a antiderivada desta parte seja seno de dois theta. E temos o 1/4 aqui. Então mais 1/4 seno de dois theta. A antiderivada de cosseno de theta é só seno de theta, então menos quatro seno de theta. Antiderivada disto aqui, podemos escolher qualquer caminho para fazer isto. Mas eu poderia dizer, bem, a derivada de seno de theta é cosseno de theta. Então este vai ser o mesmo que quatro seno ao quadrado de theta sobre dois. Ou ao invés de dizer sobre dois, e escrever quatro, vou dividir o quatro pelo dois, e terei dois. Vou apagar isso e colocar dois aqui. E você pode resolver sozinho. Se você fosse pegar a derivada disso seria a derivada do seno de teta. Se você usar a regra da cadeia, que seria cosseno de theta vezes quatro seno de theta. Isso é exatamente o que temos aqui. Então teremos esta última parte. A derivada de seno theta é cosseno theta. Mais uma vez, como fizemos antes, a antiderivada de tudo isso vai ser seno negativo ao cubo de theta sobre três. E temos que avaliar esta expressão inteira entre zero e dois pi. Vamos ver como ele avalia. Primeiro vamos avaliar tudo em dois pi. Este avaliado em dois pi é um negativo. Este avaliado em dois pi é 1/3. Este avaliado em dois pi vai ser pi. Este avaliado em dois pi é zero, porque seno de quatro pi vai ser zero. Este avaliado em dois pi vai ser zero. Este avaliado em dois pi vai ser zero. E este avaliado em dois pi vai ser zero. Essa é uma simplificação legal. Então isso é tudo avaliado em dois pi. E a partir daí vamos ter que subtrair tudo avaliado em zero. Então cosseno de zero vai ser um mais uma vez. E temos um sinal negativo, então é um negativo. Então você vai ter mais 1/3. E então você vai ter zero. E todas essas outras coisas vão ser zero. Então se você simplificar isto você tem-- isto vai ser igual a um negativo mais 1/3 mais pi. Então temos mais um mais um menos 1/3. Bem, este cancela com aquele. Aquele cancela com aquele. Que rufem os tambores. Está tudo simplificado como quando usamos o Teorema de Stokes nos quatro vídeos. Acho que foi mais simples avaliar diretamente a linha integral aqui. Conseguimos simplificando para somente pi. [Legendado por: Rosana Cabral] [Revisado por: Pilar Dib]