Cálculo direto de integral de linha – parte 2

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar avaliando a integral de linha. Ainda falta calcularmos a integral destas funções trigonométricas em relação a θ de 0 a 2π. Vamos tentar fazer isso passo a passo. Primeiro, nós temos aqui sen³θ. Não tem um caminho tão fácil assim para calcular a integral disto. O que podemos fazer? Se tivermos senos e cossenos, de repente dá para fazer uma substituição U. Por causa disso, eu vou reescrever este sen³θ como um produto. Ou seja, eu posso reescrever como senθ vezes sen²θ. E, pelo teorema fundamental da trigonometria, nós podemos reescrever este sen²θ como 1 - cos²θ. Então, eu posso colocar: senθ que multiplica 1 - cos²θ. E, se aplicarmos a distributiva aqui, ficamos com: senθ menos senθ vezes cos²θ. Desta forma, é mais fácil calcular a integral. Isso porque a integral de seno é fácil de ser calculada e aqui, neste produto, sabemos que a derivada do cosseno está bem aqui. E aí você pode fazer a substituição U e encontrar a integral. O que eu vou fazer agora é reescrever tudo isto de uma forma que fique mais fácil de encontrar a antiderivada. O cos²θ, sabemos que é uma identidade trigonométrica comum. Por isso, podemos reescrevê-lo como: 1/2 que multiplica (1 + cos2θ). E, de novo, isto aqui é fácil de calcular a antiderivada. Eu posso até mesmo simplificar, aplicando a distributiva, e aí vamos ficar com: 1/2 + 1/2 que multiplica cos2θ e o restante é bem fácil de calcular a integral, então, eu só vou reescrever aqui embaixo. ou seja, -4 que multiplica cosθ, mais 4 vezes cosθ vezes senθ, menos cosθ vezes sen²θ, dθ. Ou seja, a integral de zero a 2π de tudo isto. Do lado de fora, tem o dθ. O que queremos calcular é a integral disto de zero a 2π Vamos lá. A integral de senθ é -cosθ. Então, eu posso colocar aqui. E, se você aplicar a substituição U aqui e resolver, você vai encontrar +cos³θ sobre 3. A integral de 1/2 vai ser 1/2 vezes θ. A integral disto é +1/4 do sen2θ. A integral de cosθ é -senθ, por isso, podemos colocar -4senθ aqui. A derivada de cosθ vezes senθ, você pode aplicar a regra do produto. Quando você faz isso, vai ter este 4 aqui na frente, dividido por 2. Aí você pode simplificar e, com isso, colocar somente 2 vezes sen²θ. Claro, você pode utilizar a regra do produto, a regra da cadeia... siga o caminho que achar melhor. Por fim, temos esta parte, na qual podemos utilizar essa mesma regra. Só que a derivada do seno é o cosseno, e tem um sinal de "menos" aqui antes. Então, vai ficar: -sen³θ sobre 3. Do lado de fora, tem o dθ, e queremos calcular a integral disto de zero até 2π. A primeira coisa é avaliar tudo em 2π. E aí, vamos ter -cos2π, que neste caso é -1, mais cos³2π sobre 3, que vai ser igual a 1/3. 1/2 vezes 2π vai ser igual a π, então, +π. Aqui, sen2 vezes 2π vai ser a mesma coisa que sen4π, e neste caso é igual a zero. Portanto, esta parte vai zerar. Note que todo o restante da expressão tem senπ e, se você substituir 2π aqui no lugar do θ, todos eles vão zerar. E ainda temos que pegar tudo isso e subtrair avaliando em zero. Cos0 vai ser 1 e, como tem o "menos" aqui, vai ser -1. Aqui vai ser 1³/3, que é a mesma coisa que +1/3. Aqui vai ser zero, aqui também, e todo o restante vai ser zero. É só você substituir para ver. E você pode ajeitar, ficando com -1 + 1/3 + π, menos estes dois termos, que vão mudar o sinal, e aí vamos ficar com +1 - 1/3 e podemos cancelar este -1 com este 1, este 1/3 com este -1/3 e a resposta final vai ser igual a π. Enfim, eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!