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Transcrição de vídeo

No último vídeo, começamos a explorar o Teorema de Stokes. O que quero fazer neste vídeo é ver se este teorema é consistente com algumas coisas que nós já vimos. E para fazer isto, vamos imaginar -- deixe-me desenhar os eixos. Este é meu eixo z. Este é meu eixo x. E este é meu eixo y. Vamos imaginar agora uma região no plano xy. Vou desenhar da seguinte forma. Digamos que esta é minha região no plano xy. Vou chamá-la de Região R. E também temos aqui os limites desta região. Digamos que é importante saber o sentido em que caminhamos sobre o contorno. E digamos que vamos caminhar em sentido anti-horário. Portanto, temos este caminho que contorna a região. Podemos chamá-lo de c. Portanto chamaremos de c, e iremos caminhar no sentido anti-horário. Digamos que também temos um campo vetorial f. Cujo componente i será essencialmente funcão de x e y. E seu componente j será função também de x e y. Digamos que este campo não possui componente k. Portanto o campo vetorial nesta região, deverá parecer algo deste tipo. Estou só fazendo figuras aleatórias. E se eu saio desta região, se vou na direção z, teremos o mesmo padrão a medida que subimos. Portanto este vetor não se alteraria se mudássemos seu componente z. E todos os vetores seriam essencialmente paralelos a, ou se z é igual a zero estariam no plano xy. Sendo assim, vamos pensar sobre o que o Teorema de Stokes nos diz sobre o valor da integral de linha ao longo do contorno -- deixe-me desenhar isto um pouco melhor. A integral de linha ao longo do contorno c de F ponto dr F ponto dr, onde dr é obviamente ao longo do contorno. Portanto usamos o Teorema de Stokes, então este valor aqui deve ser igual a este valor bem aqui. Deve ser igual à integral dupla ao longo da superfície. Bem, esta região é de fato apenas a superfície que está sobre o plano xy. Portanto isto deve ser a integral dupla -- deixe-me escrever no mesmo -- será a integral dupla de nossa região, que é na verdade a mesma coisa que nossa superfície, do rotacional de F ponto n. Vamos pensar o que é o rotacional de F ponto n. E o ds seria apenas um pequeno pedaço de nossa região um pedaço desta superfície achatada bem aqui. Portanto em vez de ds, eu escreverei dA. Vamos pensar no que de fato o rotacional de F ponto n é. Vamos pensar no rotacional de F primeiro. O rotacional de F -- e a forma que sempre me recordo é que iremos obter o determinante de ijk, derivada parcial em relação a x, parcial em relação a y, e parcial em relação z. Esta é apenas a definição de um rotacional. Estamos tentando descobrir o quanto este campo vetorial causaria rotação em algo. E então desejamos o componente i, que é nossa função de P, que é função de x e y, o componente j, que é a função Q. E como não há componente na direção z, temos zero. E isto será igual a se observamos o componente i, ele será a derivada parcial de y de zero. O resultado disto será zero, menos a derivada parcial de q em relação a z. Bem, qual é a derivada parcial de q em relação a z? Bem, q não é de forma alguma função de z. E também será igual a zero -- deixe-me escrever isto para que não fique muito confuso. Nossa componente i será a derivada parcial de zero em relação a y. Isto será igual a zero menos a derivada parcial de Q em relação a z. A derivada parcial de Q em relação a z é igual a zero. Temos o componente i igual a zero. Na sequência temos de subtrair o componente j. Também a derivada parcial de zero da componente j em relação a x é zero. E disto, iremos subtrair a derivada parcial de P em relação a z. Novamente, P não é função de z. Logo, teremos zero. E além disso temos k positivo vezes a derivada parcial de Q em relação a x. Este é apenas o operador de derivação parcial. Logo, a derivada parcial de Q em relação a x. E disto vamos subtrair a derivada parcial de P em relação a y. Derviada parcial de P em relação a y. O rotacional de F é simplificado para esta forma. Agora, o que é n? Qual é o vetor unitário normal? Bem, estamos no plano xy. Logo, o vetor normal unitário será na direção z. Ele terá magnitude de um. Neste caso, nosso vetor unitário normal será simplesmente o vetor k. Iremos essencialmente tomar... Então o rotacional de F é isto. E nosso vetor normal unitário é simplesmente igual a k. Ele será igual ao vetor unitário k. E direcionado para cima. E o que acontece se obtemos o rotacional de F ponto k? Se nós obtivermos o produto escalar com o vetor k. Se fizermos o produto escalar disso com isto. Bem, nós obteremos apenas esta parte bem aqui. O rotacional de F vezes o vetor normal unitário será igual a este negócio bem aqui. Ele será igual à derivada parcial de Q em relação a x menos a derivada parcial de P em relação a y. E isto é legal pois usando o Teorema de Stokes neste caso especial, onde resolvemos uma superfície plana no plano x e que nesta situação, se resume ao Teorema de Green. Isto bem aqui é a redução ao Teorema de Green. Então o que o Teorema de Green é, é essencialmente um caso especial -- deixe-me escrever Teorema um pouco melhor. Vemos que o Teorema de Green é na verdade um caso especial do Teorema de Stokes, onde a superfície é achatada, e se encontra no plano xy. Isto deveria nos fazer sentir muito bem, apesar de não termos ainda provado o Teorema de Stokes. Mas uma coisa que gosto disto é ver que o Teorema de Green e Stokes são consistentes faz com que isto aqui comece a fazer sentido. Ao conhecer o Teorema de Green Pensamos: o que é isto? O que está acontecendo aqui? E agora ele diz que está tomando o rotacional desta região ao longo desta superfície. E agora faz muito mais sentido baseado na intuição que vimos no último vídeo. Legendado por [Bernardo Blasi Villari] Revisado por: [ Marcos Pereira ]