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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 5: Teorema de Stokes- Intuição do teorema de Stokes
- Relação entre os teoremas de Green e Stokes
- Orientação de limite com superfície
- Orientação e Stokes
- Orientações e fronteiras
- Condições para o teorema de Stokes
- Exemplo de Stokes - Parte 1
- Exemplo de Stokes - Parte 2
- Exemplo de Stokes - Parte 3
- Exemplo de Stokes - Parte 4
- Teorema de Stokes
- Cálculo direto de integral de linha – parte 1
- Cálculo direto de integral de linha – parte 2
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Relação entre os teoremas de Green e Stokes
Entender que o teorema de Green é apenas um caso especial do teorema de Stokes. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando
a respeito do teorema de Stokes, e vamos ver
uma aplicação dele. Para isso, eu vou colocar
aqui um eixo tridimensional, sendo esse aqui o eixo z, esse, o eixo x,
e, esse aqui, o eixo y. E no plano x,y, eu vou desenhar uma região
que eu vou chamar de região R, e também temos os limites dela,
que é como se fosse um contorno dessa região. E podemos escolher um
sentido para percorrê-lo, então, esse contorno que eu
estou percorrendo nessa região, eu posso chamar de c, e nós vamos
percorrê-lo no sentido anti-horário. Digamos que nós temos aqui,
também, um campo vetorial F, onde a componente de i
é uma função de x e y, e a componente de j também
é uma função de x e y. E, claro, esse campo vetorial
não possui a componente k. Portanto, o campo vetorial nessa região
vai ser algo mais ou menos assim. Agora, vamos ver o que o teorema de Stokes diz
sobre o valor da integral de linha ao longo do contorno
c de F vezes dr. E, claro, esse dr representa pequenas variações
de comprimento ao longo desse contorno. E se aplicarmos o teorema de Stokes aqui,
com o que vamos ficar? Vamos ter a integral dupla ao longo da superfície,
que, nesse caso, é essa superfície aqui. É apenas a que está
sobre o plano x,y. Ou seja, a integral dupla da região R
do rotacional de F vezes o n. E o que significa
essa multiplicação? O dS representa uma
pequena variação dessa superfície. Por isso, em vez de colocar o dS,
eu posso colocar aqui um dA, que é uma mudança infinitesimal
da área dessa região R. E, para determinar o rotacional de F,
nós podemos utilizar um determinante. Nessa primeira linha, nós colocamos o i,
o j e o k, que são as componentes de direção. Na segunda linha, colocamos a derivada parcial
da função em relação a x, a derivada parcial da função em relação a y
e a derivada parcial da função em relação a z. E, quando nós fazemos isso, nós queremos saber
o quanto esse campo vetorial causa a rotação em algo. Na terceira linha, nós colocamos a função p.
Em j, colocamos a função q. E, como não há componente na direção z,
colocamos zero aqui em k. E para achar o valor da componente i,
nós excluímos essa coluna e fazemos o determinante aqui. Como esse valor é zero, com isso,
a derivada parcial em relação a y vai ser zero, menos a derivada
de q em relação a z. E qual é a derivada parcial
de q em relação a z. Se o z é igual a zero,
essa parte também vai ser igual a zero. Então, só para não ficar confuso,
deixe eu escrever isso aqui. Para descobrirmos o valor da componente i,
nós pegamos a derivada de zero em relação a y, e que vai ser igual a zero, e subtraímos pela
derivada de q em relação a z, que também vai dar zero, e subtraímos isso pela componente j,
que também vai ser igual a zero menos zero. Isso porque nós excluímos essa coluna,
e fazemos a derivada de zero em relação a x, que é igual a zero, e subtraímos pela
derivada de p em relação a z. Como não tem nenhum z aqui,
a resposta também vai ser igual a zero. Se somarmos isso com a componente k,
que é a mesma coisa que excluirmos essa coluna, e, aí, vamos ficar com a
derivada parcial de q em relação a x, menos a derivada parcial de P em
relação a y e, eu posso colocar isso aqui, a derivada parcial de q em relação a x,
menos a derivada parcial de p em relação a y. E, aí, isso vai dar zero
e isso também. E, com isso, vamos ficar
somente com essa parte aqui. Ou seja, o rotacional de F
é igual a isso aqui. E o que é n?
É um vetor normal unitário. Note que nós estamos
aqui no plano x,y, correto? Um vetor normal a esse plano
seria um vetor perpendicular a ele, mas, como ele é um vetor unitário,
significa que o comprimento dele é igual a 1. Por isso, um vetor
normal e unitário. Nesse caso em si, esse vetor n
vai ser exatamente o vetor k. Então eu posso colocar aqui
que o vetor n é igual ao vetor k. Note que já há
um k aqui, correto? Então, a rotação é
somente essa parte, e, com isso, podemos colocar aqui a integral dupla
da região R da derivada de q em relação a x, menos a derivada de p
em relação a y dA. Esse foi até um exemplo bom,
porque nós utilizamos o teorema de Stokes em uma região que
está no plano x,y. E quando isso acontece, essa parte aqui
se resume ao teorema de Green. Sim, toda vez que a região
estiver sobre o plano x,y, nós estamos reduzindo o teorema de Stokes
ao teorema de Green. E, claro, mais à frente,
eu vou provar isso. Eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!