Relação entre os teoremas de Green e Stokes

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito do teorema de Stokes, e vamos ver uma aplicação dele. Para isso, eu vou colocar aqui um eixo tridimensional, sendo esse aqui o eixo z, esse, o eixo x, e, esse aqui, o eixo y. E no plano x,y, eu vou desenhar uma região que eu vou chamar de região R, e também temos os limites dela, que é como se fosse um contorno dessa região. E podemos escolher um sentido para percorrê-lo, então, esse contorno que eu estou percorrendo nessa região, eu posso chamar de c, e nós vamos percorrê-lo no sentido anti-horário. Digamos que nós temos aqui, também, um campo vetorial F, onde a componente de i é uma função de x e y, e a componente de j também é uma função de x e y. E, claro, esse campo vetorial não possui a componente k. Portanto, o campo vetorial nessa região vai ser algo mais ou menos assim. Agora, vamos ver o que o teorema de Stokes diz sobre o valor da integral de linha ao longo do contorno c de F vezes dr. E, claro, esse dr representa pequenas variações de comprimento ao longo desse contorno. E se aplicarmos o teorema de Stokes aqui, com o que vamos ficar? Vamos ter a integral dupla ao longo da superfície, que, nesse caso, é essa superfície aqui. É apenas a que está sobre o plano x,y. Ou seja, a integral dupla da região R do rotacional de F vezes o n. E o que significa essa multiplicação? O dS representa uma pequena variação dessa superfície. Por isso, em vez de colocar o dS, eu posso colocar aqui um dA, que é uma mudança infinitesimal da área dessa região R. E, para determinar o rotacional de F, nós podemos utilizar um determinante. Nessa primeira linha, nós colocamos o i, o j e o k, que são as componentes de direção. Na segunda linha, colocamos a derivada parcial da função em relação a x, a derivada parcial da função em relação a y e a derivada parcial da função em relação a z. E, quando nós fazemos isso, nós queremos saber o quanto esse campo vetorial causa a rotação em algo. Na terceira linha, nós colocamos a função p. Em j, colocamos a função q. E, como não há componente na direção z, colocamos zero aqui em k. E para achar o valor da componente i, nós excluímos essa coluna e fazemos o determinante aqui. Como esse valor é zero, com isso, a derivada parcial em relação a y vai ser zero, menos a derivada de q em relação a z. E qual é a derivada parcial de q em relação a z. Se o z é igual a zero, essa parte também vai ser igual a zero. Então, só para não ficar confuso, deixe eu escrever isso aqui. Para descobrirmos o valor da componente i, nós pegamos a derivada de zero em relação a y, e que vai ser igual a zero, e subtraímos pela derivada de q em relação a z, que também vai dar zero, e subtraímos isso pela componente j, que também vai ser igual a zero menos zero. Isso porque nós excluímos essa coluna, e fazemos a derivada de zero em relação a x, que é igual a zero, e subtraímos pela derivada de p em relação a z. Como não tem nenhum z aqui, a resposta também vai ser igual a zero. Se somarmos isso com a componente k, que é a mesma coisa que excluirmos essa coluna, e, aí, vamos ficar com a derivada parcial de q em relação a x, menos a derivada parcial de P em relação a y e, eu posso colocar isso aqui, a derivada parcial de q em relação a x, menos a derivada parcial de p em relação a y. E, aí, isso vai dar zero e isso também. E, com isso, vamos ficar somente com essa parte aqui. Ou seja, o rotacional de F é igual a isso aqui. E o que é n? É um vetor normal unitário. Note que nós estamos aqui no plano x,y, correto? Um vetor normal a esse plano seria um vetor perpendicular a ele, mas, como ele é um vetor unitário, significa que o comprimento dele é igual a 1. Por isso, um vetor normal e unitário. Nesse caso em si, esse vetor n vai ser exatamente o vetor k. Então eu posso colocar aqui que o vetor n é igual ao vetor k. Note que já há um k aqui, correto? Então, a rotação é somente essa parte, e, com isso, podemos colocar aqui a integral dupla da região R da derivada de q em relação a x, menos a derivada de p em relação a y dA. Esse foi até um exemplo bom, porque nós utilizamos o teorema de Stokes em uma região que está no plano x,y. E quando isso acontece, essa parte aqui se resume ao teorema de Green. Sim, toda vez que a região estiver sobre o plano x,y, nós estamos reduzindo o teorema de Stokes ao teorema de Green. E, claro, mais à frente, eu vou provar isso. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!