Exemplo de Stokes - Parte 2

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos continuar falando a respeito de um exemplo de “stokes” e vamos aprender a parametrizar uma superfície. E, lembre-se, na aula passada, nós vimos a integral de uma superfície e é ela que vamos tentar parametrizar. Uma maneira de pensar nisso é que queremos os valores de x e y que estejam dentro desse círculo unitário, e os valores de z, podemos transformar em uma função de valores de y. Isso porque essa equação pode ser reescrita como z igual a 2 menos y e, com isso, conseguimos descobrir a altura a que devemos ir para chegar a um valor de z. Quando fazemos isso, conseguimos descobrir todos os pontos que estão aqui nessa superfície. Então, primeiro, vamos descobrir como encontrar os valores de x e y dentro desse círculo unitário. Então eu desenho um plano cartesiano aqui e posso colocar o círculo que está aqui no plano x, y. Se eu desenhar, vai ser algo mais ou menos assim, e precisamos de parâmetros. Assim, vamos conseguir chegar a todas as coordenadas x e y que estão dentro do círculo. Eu vou traçar um raio aqui que forma um ângulo teta (θ) com o eixo x e que varia entre zero e 2 “pi” (π), já que vamos ter uma volta aqui e podemos colocar outro raio aqui, que eu vou chamar de “r”, e que vai formar um círculo menor. Isso porque você pode variar esse raio maior de zero até 1 e isso forma vários círculos internamente a esse círculo maior. Então, o raio vai de zero até 1 e o teta (θ) pode ser variado por todo o círculo. Se você quiser saber qual é o valor de x, você pode dizer que x é igual a r vezes o cosseno de teta (θ). Isso porque você pode formar um triângulo aqui e aplicar a definição de cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo. E se manipular, vai chegar nessa igualdade. Já o y vai ser igual a r vezes o seno de teta, ou seja, nós podemos pegar o cateto oposto ao teta (θ) e dividir pelo r, que é a hipotenusa, e manipular algebricamente. E aí vamos ficar com isso aqui. A componente z pode ser reescrita como uma função de y. Ou seja, z é igual a 2 menos y. Isso nos diz o quão alto nós devemos ir para chegar a essa superfície. Se z é igual a 2 menos y, e y é igual a r vezes o seno de teta, quanto vale o z? z é igual a 2 menos r vezes o seno de teta. Pronto, essa aqui é a parametrização. Eu posso reescrever isso como s, que seja um vetor posição com dois parâmetros. Então a nossa posição será parametrizada com r e teta (θ) e que é igual a r vezes o cosseno de teta (θ) em i, mais r vezes o seno de teta (θ) em j, mais 2 menos r de seno de teta (θ) em k. Enfim, eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!