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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 5: Teorema de Stokes- Intuição do teorema de Stokes
- Relação entre os teoremas de Green e Stokes
- Orientação de limite com superfície
- Orientação e Stokes
- Orientações e fronteiras
- Condições para o teorema de Stokes
- Exemplo de Stokes - Parte 1
- Exemplo de Stokes - Parte 2
- Exemplo de Stokes - Parte 3
- Exemplo de Stokes - Parte 4
- Teorema de Stokes
- Cálculo direto de integral de linha – parte 1
- Cálculo direto de integral de linha – parte 2
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Exemplo de Stokes - Parte 2
Parametrização da superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal,
tudo bem? Nessa aula, nós vamos continuar falando
a respeito de um exemplo de “stokes” e vamos aprender a parametrizar
uma superfície. E, lembre-se, na aula passada,
nós vimos a integral de uma superfície e é ela que vamos
tentar parametrizar. Uma maneira de pensar nisso
é que queremos os valores de x e y que estejam dentro
desse círculo unitário, e os valores de z, podemos transformar
em uma função de valores de y. Isso porque essa equação
pode ser reescrita como z igual a 2 menos y e, com isso, conseguimos descobrir a altura a que
devemos ir para chegar a um valor de z. Quando fazemos isso, conseguimos descobrir todos
os pontos que estão aqui nessa superfície. Então, primeiro, vamos descobrir como encontrar os
valores de x e y dentro desse círculo unitário. Então eu desenho um
plano cartesiano aqui e posso colocar o círculo
que está aqui no plano x, y. Se eu desenhar, vai ser algo mais ou menos
assim, e precisamos de parâmetros. Assim, vamos conseguir chegar a todas as
coordenadas x e y que estão dentro do círculo. Eu vou traçar um raio aqui
que forma um ângulo teta (θ) com o eixo x e que varia
entre zero e 2 “pi” (π), já que vamos ter uma volta aqui
e podemos colocar outro raio aqui, que eu vou chamar de “r”,
e que vai formar um círculo menor. Isso porque você pode variar
esse raio maior de zero até 1 e isso forma vários círculos
internamente a esse círculo maior. Então, o raio vai de zero até 1 e o teta (θ)
pode ser variado por todo o círculo. Se você quiser saber
qual é o valor de x, você pode dizer que x é igual a r
vezes o cosseno de teta (θ). Isso porque você pode formar
um triângulo aqui e aplicar a definição de cosseno
de um ângulo em um triângulo retângulo. E se manipular,
vai chegar nessa igualdade. Já o y vai ser igual a r
vezes o seno de teta, ou seja, nós podemos pegar
o cateto oposto ao teta (θ) e dividir pelo r, que é a hipotenusa,
e manipular algebricamente. E aí vamos ficar com isso aqui. A componente z pode ser reescrita
como uma função de y. Ou seja, z é igual a 2 menos y. Isso nos diz o quão alto nós devemos ir
para chegar a essa superfície. Se z é igual a 2 menos y, e y é igual a r
vezes o seno de teta, quanto vale o z? z é igual a 2 menos r
vezes o seno de teta. Pronto, essa aqui
é a parametrização. Eu posso reescrever isso como s,
que seja um vetor posição com dois parâmetros. Então a nossa posição será
parametrizada com r e teta (θ) e que é igual a r
vezes o cosseno de teta (θ) em i, mais r vezes o seno de teta (θ) em j,
mais 2 menos r de seno de teta (θ) em k. Enfim, eu espero que essa aula
tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!