Exemplo de Stokes - Parte 3

RKA4JL - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Nesta aula vamos conversar sobre mais uma etapa do cálculo de integral de superfície através do Teorema de Stokes. Repare que já temos até aqui a nossa curva, o nosso campo vetorial e a parametrização da nossa curva e os intervalos de nossos parâmetros. Além disso também temos a nossa função vetorial de posição s. O que vamos fazer agora é calcular a nossa integral de superfície. Para isso nós precisamos reescrever o que temos aqui em nossa integral em termos de nossos parâmetros e no domínio desses parâmetros. Sendo assim, a primeira coisa que vamos fazer é reescrever essa parte aqui à direita usando os nossos parâmetros. Já sabemos que “n”, que é o nosso vetor normal, vezes o diferencial de superfície pode ser reescrito como uma espécie de versão vetorial do diferencial de superfície que está orientado na direção do vetor normal. Isso vai ser igual ao produto vetorial entre a derivada parcial da parametrização em relação a um dos parâmetros com a derivada parcial da parametrização em relação ao outro parâmetro. Ah, eu não vou colocar as barras de módulo aqui porque isso é um vetor, OK? Continuando. Multiplicamos isso com produto dos diferenciais dos parâmetros, ou seja, dθ vezes dr. Ah sim, nós podemos trocar esses diferenciais de posição dependendo da forma que vai ficar mais fácil de resolver essa integral, ok? Porém não podemos trocar essas duas coisas nesse produto vetorial porque isso vai mudar a direção do vetor. Então precisamos ter certeza de que isso está na ordem correta para que a gente tenha a direção certa. Vamos pensar nessa direção, então. Qual é a direção da parcial em relação a r? Bem, à medida que r aumenta, estamos nos movendo radialmente para fora do centro de nossa superfície. Então essa quantidade será um vetor que se parece com isso aqui. Agora, à medida que θ aumenta vamos ir mais ou menos nessa direção. Se a gente calcular o produto vetorial entre essas duas coisas teremos um vetor em qual direção? Para saber isso, a gente pode utilizar a regra da mão direita. Pegue a sua mão direita. Aponte o seu dedo indicador na direção do primeiro vetor. Agora, colocamos o dedo médio na direção do segundo vetor. Ah, nós não vamos nos importar com que os outros dois dedos estão fazendo, ok? Assim, o dedo polegar vai ficar na direção perpendicular ao dedo indicador e o dedo médio e assim ele vai indicar a direção do vetor obtido no produto vetorial. Essa é a minha melhor tentativa de desenhar isso. Mas qual é exatamente a direção em que precisamos orientar isso? Precisamos orientar para fora desse plano, de forma a ser orientado adequadamente com a direção que nós estamos atravessando aqui nesse caminho. Então isso aqui está na ordem correta. Se ao fazer isso a gente tiver o polegar apontado para baixo do plano, então teremos a ordem incorreta e deveremos trocar de posição essas derivadas parciais. Enfim, sem isso aqui no caminho, vamos calcular o produto vetorial entre essas derivadas parciais. Portanto, o produto vetorial da parcial da nossa parametrização em relação a R com a parcial da nossa parametrização em relação a θ é igual a... Para fazer esse cálculo a gente vai precisar encontrar o determinante de uma matriz 3 por 3. Na primeira linha vamos colocar os vetores unitários “i”, “j” e “k”. Já na segunda linha, vamos colocar as derivadas parciais de “s” em relação a r. Inicialmente calculamos aqui para a componente “i”. Se você calcular a derivada disso em relação a r teremos o cosseno de θ. Já a derivada disso aqui em relação a r é apenas o seno de θ. E por último, a derivada de 2 menos r sen θ em relação a r vai ser apenas -sen θ. Agora, na última linha vamos fazer a derivada de “s” em relação a θ. Na primeira coluna teremos a derivada em relação a θ de r cos θ, que é -r vezes sen θ. Já na segunda coluna teremos a derivada em relação a θ de r sen θ, e isso é igual a r vezes cos θ. Agora na terceira coluna teremos a derivada em relação a θ de (2 menos r sen θ) e isso vai ser igual a -r cos θ. Agora é só calcular o determinante dessa matriz. Primeiro vamos fazer com a componente “i”. Assim teremos sen θ vezes -r vezes cos θ menos -sen θ vezes r cos θ. Com isso teremos aqui “i chapéu” vezes: -r vezes cos θ vezes sen θ mais, já que a multiplicação entre dois números negativos fornece algo positivo, r vezes cos θ vezes sen θ. Isso vai ser ótimo porque temos uma coisa sendo subtraída da mesma coisa. Com isso podemos cancelar essas duas coisas. Teremos algo sendo igual a zero, ou seja, não temos uma componente “i”. Agora vamos para a componente “j”. Assim teremos -sen θ vezes -r vezes sen θ. O resultado disso será positivo. E isso -cos θ vezes -r cos θ, em que novamente teremos um positivo, pois os negativos terão como resultado um positivo. Com isso teremos aqui o vetor unitário "j chapéu" vezes (r cos² θ mais r sen² θ). Agora vamos para componente “k”. Teremos cos θ vezes r cos θ menos sen θ vezes -r sen θ, que vai ter como resposta algo positivo. Assim teremos aqui o vetor unitário "k chapéu" vezes r sen² θ mais r vezes sen² θ . Repare que podemos fazer algumas simplificações aqui. Eu vou fatorar e colocar r em evidência. Assim isso aqui pode ser reescrito como r vezes (cos² θ mais sen² θ), em que isso é apenas igual a 1. Portanto isso aqui é apenas r vezes "j chapéu". Aqui também teremos r vezes (cos² θ mais sen² θ), então também teremos algo igual a 1. Então isso aqui fica simplificado para r vezes "k chapéu". Com isso todo esse produto vetorial vai ficar sendo igual a r vezes o vetor unitário "j chapéu" mais r vezes o vetor unitário "k chapéu". Agora que fizemos isso podemos reescrever a nossa integral de superfície como uma integral dupla. Assim teremos a integral dupla do rotacional de “f” (ainda precisamos avaliar esse rotacional do campo vetorial f, mas podemos fazer isso em um outro momento) e isso escalar o resultado que encontramos, ou seja, r "j chapéu" mais r "k chapéu". Temos ainda os diferenciais de nossos dois parâmetros, dθ dr. Não se esqueça: a gente pode mudar essa ordem, mas vamos deixar do jeito que está aqui. Ao fazer nessa ordem teremos os nossos limites de integração indo de zero a 2π e aqui indo de zero a 1. Mas se a gente trocar de posição esses dois diferenciais, então também teremos que inverter os limites de integração. Bem, eu vou ficar por aqui. O ideal agora é calcular o rotacional de “f” e depois calcular essa integral. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!