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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 5: Teorema de Stokes- Intuição do teorema de Stokes
- Relação entre os teoremas de Green e Stokes
- Orientação de limite com superfície
- Orientação e Stokes
- Orientações e fronteiras
- Condições para o teorema de Stokes
- Exemplo de Stokes - Parte 1
- Exemplo de Stokes - Parte 2
- Exemplo de Stokes - Parte 3
- Exemplo de Stokes - Parte 4
- Teorema de Stokes
- Cálculo direto de integral de linha – parte 1
- Cálculo direto de integral de linha – parte 2
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Exemplo de Stokes - Parte 3
Conversão da integral de superfície em uma integral dupla. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, tudo bem
com você? Você vai assistir agora
a mais uma aula de matemática. Nesta aula vamos conversar
sobre mais uma etapa do cálculo de integral de superfície
através do Teorema de Stokes. Repare que já temos até aqui
a nossa curva, o nosso campo vetorial e a parametrização da nossa curva
e os intervalos de nossos parâmetros. Além disso também temos
a nossa função vetorial de posição s. O que vamos fazer agora é calcular
a nossa integral de superfície. Para isso nós precisamos reescrever
o que temos aqui em nossa integral em termos de nossos parâmetros
e no domínio desses parâmetros. Sendo assim, a primeira coisa
que vamos fazer é reescrever essa parte aqui à direita
usando os nossos parâmetros. Já sabemos que “n”,
que é o nosso vetor normal, vezes o diferencial de superfície pode ser reescrito como uma espécie
de versão vetorial do diferencial de superfície que está orientado na direção
do vetor normal. Isso vai ser igual ao produto vetorial entre a derivada parcial da parametrização
em relação a um dos parâmetros com a derivada parcial da parametrização
em relação ao outro parâmetro. Ah, eu não vou colocar as barras de módulo aqui
porque isso é um vetor, OK? Continuando. Multiplicamos isso com
produto dos diferenciais dos parâmetros, ou seja, dθ vezes dr. Ah sim, nós podemos trocar
esses diferenciais de posição dependendo da forma que vai ficar
mais fácil de resolver essa integral, ok? Porém não podemos trocar
essas duas coisas nesse produto vetorial porque isso vai mudar
a direção do vetor. Então precisamos ter certeza de que isso
está na ordem correta para que a gente
tenha a direção certa. Vamos pensar
nessa direção, então. Qual é a direção
da parcial em relação a r? Bem, à medida que r aumenta, estamos nos movendo radialmente
para fora do centro de nossa superfície. Então essa quantidade será um vetor
que se parece com isso aqui. Agora, à medida que θ aumenta
vamos ir mais ou menos nessa direção. Se a gente calcular
o produto vetorial entre essas duas coisas teremos um vetor em qual direção? Para saber isso, a gente pode
utilizar a regra da mão direita. Pegue a sua mão direita. Aponte o seu dedo indicador
na direção do primeiro vetor. Agora, colocamos o dedo médio
na direção do segundo vetor. Ah, nós não vamos nos importar
com que os outros dois dedos estão fazendo, ok? Assim, o dedo polegar vai ficar na direção perpendicular
ao dedo indicador e o dedo médio e assim ele vai indicar a direção
do vetor obtido no produto vetorial. Essa é a minha melhor tentativa
de desenhar isso. Mas qual é exatamente a direção
em que precisamos orientar isso? Precisamos orientar para fora desse plano,
de forma a ser orientado adequadamente com a direção que nós estamos
atravessando aqui nesse caminho. Então isso aqui está
na ordem correta. Se ao fazer isso a gente tiver o polegar
apontado para baixo do plano, então teremos a ordem incorreta e deveremos trocar de posição
essas derivadas parciais. Enfim, sem isso aqui no caminho, vamos calcular o produto vetorial
entre essas derivadas parciais. Portanto, o produto vetorial da parcial
da nossa parametrização em relação a R com a parcial da nossa parametrização
em relação a θ é igual a... Para fazer esse cálculo a gente vai precisar encontrar
o determinante de uma matriz 3 por 3. Na primeira linha vamos colocar
os vetores unitários “i”, “j” e “k”. Já na segunda linha, vamos colocar as
derivadas parciais de “s” em relação a r. Inicialmente calculamos aqui
para a componente “i”. Se você calcular a derivada disso
em relação a r teremos o cosseno de θ. Já a derivada disso aqui em relação a r
é apenas o seno de θ. E por último, a derivada de
2 menos r sen θ em relação a r
vai ser apenas -sen θ. Agora, na última linha vamos fazer a derivada
de “s” em relação a θ. Na primeira coluna teremos a derivada
em relação a θ de r cos θ, que é -r vezes sen θ. Já na segunda coluna teremos a derivada
em relação a θ de r sen θ, e isso é igual a
r vezes cos θ. Agora na terceira coluna teremos
a derivada em relação a θ de (2 menos r sen θ) e isso vai ser igual a -r cos θ. Agora é só calcular o determinante
dessa matriz. Primeiro vamos fazer
com a componente “i”. Assim teremos
sen θ vezes -r vezes cos θ menos -sen θ vezes r cos θ. Com isso teremos aqui
“i chapéu” vezes: -r vezes cos θ vezes sen θ mais, já que a multiplicação entre
dois números negativos fornece algo positivo, r vezes cos θ vezes sen θ. Isso vai ser ótimo porque temos uma coisa
sendo subtraída da mesma coisa. Com isso podemos cancelar
essas duas coisas. Teremos algo sendo igual a zero, ou seja, não temos
uma componente “i”. Agora vamos
para a componente “j”. Assim teremos -sen θ
vezes -r vezes sen θ. O resultado disso será positivo.
E isso -cos θ vezes -r cos θ, em que novamente
teremos um positivo, pois os negativos terão
como resultado um positivo. Com isso teremos aqui
o vetor unitário "j chapéu" vezes (r cos² θ mais r sen² θ). Agora vamos para componente “k”. Teremos cos θ vezes r cos θ menos sen θ
vezes -r sen θ, que vai ter como resposta
algo positivo. Assim teremos aqui
o vetor unitário "k chapéu" vezes r sen² θ
mais r vezes sen² θ . Repare que podemos fazer
algumas simplificações aqui. Eu vou fatorar
e colocar r em evidência. Assim isso aqui pode ser
reescrito como r vezes (cos² θ mais sen² θ), em que isso é apenas igual a 1. Portanto isso aqui é apenas
r vezes "j chapéu". Aqui também teremos
r vezes (cos² θ mais sen² θ), então também teremos
algo igual a 1. Então isso aqui fica simplificado
para r vezes "k chapéu". Com isso todo esse produto vetorial
vai ficar sendo igual a r vezes o vetor unitário "j chapéu" mais r vezes
o vetor unitário "k chapéu". Agora que fizemos isso podemos reescrever
a nossa integral de superfície como uma integral dupla. Assim teremos a integral dupla
do rotacional de “f” (ainda precisamos avaliar esse rotacional do campo vetorial
f, mas podemos fazer isso em um outro momento) e isso escalar o resultado que encontramos,
ou seja, r "j chapéu" mais r "k chapéu". Temos ainda os diferenciais de
nossos dois parâmetros, dθ dr. Não se esqueça: a gente pode
mudar essa ordem, mas vamos deixar
do jeito que está aqui. Ao fazer nessa ordem teremos
os nossos limites de integração indo de zero a 2π
e aqui indo de zero a 1. Mas se a gente trocar de posição
esses dois diferenciais, então também teremos que
inverter os limites de integração. Bem, eu vou ficar por aqui. O ideal agora é calcular
o rotacional de “f” e depois calcular essa integral. Eu espero que você tenha
compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar
para você um grande abraço e até a próxima!