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Transcrição de vídeo

Estamos pronto para avaliar a integral de superfície. E temos que rescrevê-la em termos de um integral dupla no domínio dos parâmetros E a primeira coisa que farei é rescrever esta parte, usando nossos parâmetros. E já sabemos que n, nosso vetor normal vezes nossa superfície diferencial, também pode ser escrito como uma versão de vetor da nossa superfície diferencial que aponta na mesma direção do nosso vetor normal. E isto será a mesma coisa. E precisamos ter certeza que a ordem no produto vetorial com a derivada parcial -- e eu confirmarei em um segundo. A derivada parcial da parametrização em relação a um dos parâmetros cruza com a derivada parcial da parametrização com relação ao outro parâmetro. E a coisa inteira -- Eu não usarei o valor absoluto porque preciso de um vetor aqui -- vezes diferenciais de parâmetros -- d teta dr. E podemos trocar estas duas coisas dependendo de como isto tornará nossa integral dupla mais fácil. Mas não podemos trocar estas duas coisas porque pode trocar a direção do vetor. Precisamos ter certeza de que isto nos colocará na direção certa. Vamos pensar na direção que a parcial em relação a r nos levará Conforme r aumenta nos movemos radialmente para fora do centro de nossa superfície. Farei em uma cor diferente. Conforme r aumenta, nos afastamos radialmente. Então isto será um vetor parecido com isto. E conforme teta aumenta, nós vamos grosseiramente nesta direção E se pegarmos o produto vetorial destas duas coisas e podemos usar a regra da mão direita Use sua mão direita, aponte seu indicador na direção do vetor amarelo. Deixe-me esclarecer -- este é o vetor laranja aqui Coloque seu indicador na direção deste vetor amarelo. Este é o meu indicador, meu desenho tremido de indicador. Coloque seu dedo do meio na direção do vetor laranja. O dedo do meio, você o dobra e o coloca na direção do vetor laranja. Os outros dedos não nos interessam. Então o polegar aponta na direção do produto vetorial. Então o polegar apontará para fora. Meu esboço de desenho. Qual é a direção exata que precisamos apontar Precisamos apontar para cima a fim de ser orientado corretamente com a direção que estamos atravessando o caminho Isto é realmente a ordem certa, se quando fizermos isto apontarmos o polegar para ele ou abaixo do plano, então podemos trocar estas ordens. Com isto fora do caminho, vamos realmente calcular o produto vetorial. O produto vetorial parcial de nossa parametrização em relação a r com a parcial de nossa parametrização em relação a teta. Gostaria de fazer a matriz para o produto vetorial. Se eu colocar os componentes i, j, k, desta forma Primeiro colocarei a parcial em relação a r. Então o componente i, a derivada disto em relação a r, será o cosseno de teta. A derivada disto em relação a r será o seno de teta. E a derivada disto em relação a r será menos seno de teta. E vamos cruzar com isto a derivada disto em relação a teta será menos r vezes seno de teta. A derivada da componente j em relação a teta será r vezes cosseno de teta. E a derivada da componente k, ou eixo z em relação a teta -- será menos r vezes cosseno de teta. Certo? Sim! Derivada do seno é o cosseno de teta. Certo. Então é menos r cosseno de teta. E agora calcularemos este determinante. Nossa componente i será -- ignore esta linha e esta coluna. E temos seno vezes menos r cosseno de teta. Usarei outra cor. Então teremos menos r -- não era uma nova cor Farei em roxo. Teremos menos r cosseno de teta seno de teta menos --bem, será um número negativo. Quando você subtrair um número negativo, será positivo Então será mais r cosseno de teta seno de teta. É muito bom quando as coisas se cancelam. Isto tudo será zero Negativo mais positivo Se cancelam e tudo vira zero. Não temos uma componente i. Calculemos a componente j. Precisamos de nosso pequeno padrão quadriculado Será menos j. E será -- ignore esta coluna, esta linha -- cosseno de teta vezes menos r. Cosseno de teta é negativo r cosseno ao quadrado de teta Apenas multipliquei os dois. E agora, subtrairei isto vezes aquilo E isto vezes aquilo, os negativos se cancelam E temos r vezes seno ao quadrado de teta. E isto é menos -- deixe-me ter certeza. Sim, vou subtrair estes dois produtos O produto positivo. Será r seno ao quadrado de teta. Esta sempre é a pior parte. Você pode cometer bastante erros. E parece que podemos simplificar isto numa segunda, mas espere Distribuirei o sinal negativo, por diversão Ao distribuir o sinal negativo tudo se torna positivo. Simplifica um pouco as coisas. E agora vamos nos importar com a componente k. Farei em roxo -- bem farei em azul. A componente k. Ignore esta linha e esta coluna. Então mais k vezes o cosseno de teta vezes r cosseno de teta é r cosseno ao quadrado de teta. E disto subtrairei o menos r seno de teta vezes seno de teta. Será menos r seno ao quadrado de teta, mas estou subtraindo. Isto será mais r seno ao quadrado de teta. E isto parece que também será simplificado E podemos fatorar esta parte -- deixe-me reescrever isto. Pode ser reescrito como r vezes cosseno ao quadrado de teta mais seno ao quadrado de teta. Uma identidade trigonométrica diz que isto é um Então isto é apenas r vezes j. E isso aqui simplifica pela mesma razão. Isto é r vezes o cosseno ao quadrado de teta mais seno ao quadrado de teta. E isto é um. E isto simplifica para r vezes k. Este produto vetorial inteiro -- todo esse negócio aqui -- simplificado. é igual a r vezes nosso vetor unitário j mais r vezes nosso vetor unitário k. E podemos escrever nossa integral de superfície. A integral de superfície original pode ser escrita como uma integral dupla. Ou podemos mudar a ordem de como integramos mas nos daremos esta opção em breve Integral dupla. Agora, será o domínio do nosso parâmetro ou o domínio r teta. Então esta integral dupla de -- ainda tenho a curva de f Então escrevo o produto escalar entre curva do nosso campo vetorial e rj mais rk. E teremos dois parâmetros. E podemos mudar a ordem. Podemos escrever d teta dr. E se fizermos isto nesta ordem teta variará de zero a dois pi e r variará de zero a um Mas se trocarmos estes dois aqui, e obviamente trocaremos estes dois também. Pararei por aqui No próximo vídeos, nós calcularemos a curva de f. E talvez neste vídeo, se tivermos tempo terminaremos. Traduzido por [Rodrigo Melges] Revisado por [Soraia Novaes]