Exemplo de Stokes - Parte 4

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar resolvendo o exemplo a respeito do teorema de Stokes. Mas ainda falta avaliar o produto escalar entre a rotação de "F" e esta soma aqui, ou seja, avaliar esta integral dupla. Ok, vamos lá. Primeiro, vamos calcular a rotação de "F". E lembre-se, isso é a mesma coisa que calcular o determinante em "i", "j" e "k'', e, na segunda linha, nós colocamos a derivada parcial em relação a "x", a derivada parcial em relação a ''y" e a derivada parcial em relação a "z", e, na terceira linha, colocamos o nosso campo vetorial, ou seja, -y², que é a componente "i", "x", que é a componente "j' e z², que é a componente "k". Isso vai ser a mesma coisa que "i", que multiplica a derivada parcial de z² quadrado em relação a "y", já que nós calculamos o determinante assim, e se estamos derivando z² em relação a "y", nós vamos trabalhar como se ele fosse uma constante. Então vai ser zero, menos a derivada parcial de "x" em relação a "z", e, de novo, nós tratamos isso como se fosse uma constante, portanto, também vai dar zero. E em termos de -j, vamos fazer a derivada parcial de z² em relação a "x", que vai dar zero de novo, e subtraímos isso pela derivada de -y² em relação a "z", e que vai ser zero de novo. Somamos isso com "k" fazendo a derivada de "x" em relação a "x", que vai ser igual a 1, menos a derivada -y² em relação a "y", que vai ser igual a -2y, mas nós já temos esse menos, então, vai ficar mais 2y. E se simplificarmos, esses dois termos vão sumir, e aí vamos ficar somente com esta parte. Lembrando que eu utilizei o método de Laplace para calcular esse determinante. Se você não se lembra, eu sugiro que você dê uma revisada. Mas agora sim, podemos voltar para nossa integral dupla. E aí, vamos escrever a integral de zero até 1, e o nosso parâmetro vai de zero até 2π, mas agora, o rotacional de "F" foi simplificado. E o nosso rotacional é 1 + 2y. Mas em vez de eu colocar o "y", eu vou colocar em função do seno, como nós já vimos aqui em cima, ou seja, "y = rsenθ", então, (1 + 2rsenθ) e o "k" aqui do lado de fora. E fazemos o produto escalar disso com isso aqui, ou seja, vezes (rj + rk) dθdr. Note que neste termo só temos o componente "k", portanto, quando fizermos o produto escalar, nós vamos obter este componente "j" igual a zero. E claro, nenhum dos termos tem um componente "i". E aí, se fizermos o produto escalar, vamos olhar somente para o "k", já que o componente do "j" aqui é zero, e aí ficaríamos com "r" vezes zero, e aí, se multiplicarmos esse "r" por essa parte, vamos ficar com (r + 2r²senθ) dθdr. E claro, a integral dupla aqui de zero até 2π e aqui, de zero até 1. Agora sim, é só resolver essa integral, e aí vamos ter a resposta. Para resolver essa integral dupla, primeiro nós achamos antiderivada em relação a θ, e aí, a integral de "r" em relação a θ é igual a rθ, e a integral senθ é -cosθ, não é? E aí vamos ficar com -2r² vezes o cosθ. E avaliamos isso de zero a 2π, e ainda temos a integral externa, que eu vou até mudar para amarelo. Então, a integral de zero até 1, e aqui ''dr'', deixe-me descer aqui, então. E aí, se avaliarmos isso neste intervalo, vamos ficar com rθ, que, neste caso, é o próprio do 2π. Então, 2πr - 2r² vezes o cos2π, que é 1, então -r² ao quadrado, e subtraímos isso avaliando em zero. E aí, "r" vezes zero vai ser zero, e o cos0 é 1. Então, vamos ficar com -2r². E aí, esse negativo com esse negativo vão virar os dois positivos, né? E você tem um -2r² aqui e um +2r² aqui, então esses termos vão se cancelar. E aí, se simplificarmos, vamos ficar com a integral de zero até 1 de 2πdr. E a integral de 2πr = πr², e avaliamos isso de zero até 1. E aí, utilizando o teorema fundamental do cálculo, nós avaliamos esta função em 1, e aí vamos ficar com o π vezes 1² que dá 1, então, π, e subtraímos isso avaliando o zero na função, e se o "r" for igual a zero, tudo isso vai ser igual a zero, né? Então, menos zero, e que vai ser igual a π. Ou seja, todo esse trabalho que tivemos, para encontrar apenas um π. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!