If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Exemplo de Stokes - Parte 4

Como encontrar a rotacional de um campo vetorial e depois avaliar a integral dupla no domínio do parâmetro. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar resolvendo o exemplo a respeito do teorema de Stokes. Mas ainda falta avaliar o produto escalar entre a rotação de "F" e esta soma aqui, ou seja, avaliar esta integral dupla. Ok, vamos lá. Primeiro, vamos calcular a rotação de "F". E lembre-se, isso é a mesma coisa que calcular o determinante em "i", "j" e "k'', e, na segunda linha, nós colocamos a derivada parcial em relação a "x", a derivada parcial em relação a ''y" e a derivada parcial em relação a "z", e, na terceira linha, colocamos o nosso campo vetorial, ou seja, -y², que é a componente "i", "x", que é a componente "j' e z², que é a componente "k". Isso vai ser a mesma coisa que "i", que multiplica a derivada parcial de z² quadrado em relação a "y", já que nós calculamos o determinante assim, e se estamos derivando z² em relação a "y", nós vamos trabalhar como se ele fosse uma constante. Então vai ser zero, menos a derivada parcial de "x" em relação a "z", e, de novo, nós tratamos isso como se fosse uma constante, portanto, também vai dar zero. E em termos de -j, vamos fazer a derivada parcial de z² em relação a "x", que vai dar zero de novo, e subtraímos isso pela derivada de -y² em relação a "z", e que vai ser zero de novo. Somamos isso com "k" fazendo a derivada de "x" em relação a "x", que vai ser igual a 1, menos a derivada -y² em relação a "y", que vai ser igual a -2y, mas nós já temos esse menos, então, vai ficar mais 2y. E se simplificarmos, esses dois termos vão sumir, e aí vamos ficar somente com esta parte. Lembrando que eu utilizei o método de Laplace para calcular esse determinante. Se você não se lembra, eu sugiro que você dê uma revisada. Mas agora sim, podemos voltar para nossa integral dupla. E aí, vamos escrever a integral de zero até 1, e o nosso parâmetro vai de zero até 2π, mas agora, o rotacional de "F" foi simplificado. E o nosso rotacional é 1 + 2y. Mas em vez de eu colocar o "y", eu vou colocar em função do seno, como nós já vimos aqui em cima, ou seja, "y = rsenθ", então, (1 + 2rsenθ) e o "k" aqui do lado de fora. E fazemos o produto escalar disso com isso aqui, ou seja, vezes (rj + rk) dθdr. Note que neste termo só temos o componente "k", portanto, quando fizermos o produto escalar, nós vamos obter este componente "j" igual a zero. E claro, nenhum dos termos tem um componente "i". E aí, se fizermos o produto escalar, vamos olhar somente para o "k", já que o componente do "j" aqui é zero, e aí ficaríamos com "r" vezes zero, e aí, se multiplicarmos esse "r" por essa parte, vamos ficar com (r + 2r²senθ) dθdr. E claro, a integral dupla aqui de zero até 2π e aqui, de zero até 1. Agora sim, é só resolver essa integral, e aí vamos ter a resposta. Para resolver essa integral dupla, primeiro nós achamos antiderivada em relação a θ, e aí, a integral de "r" em relação a θ é igual a rθ, e a integral senθ é -cosθ, não é? E aí vamos ficar com -2r² vezes o cosθ. E avaliamos isso de zero a 2π, e ainda temos a integral externa, que eu vou até mudar para amarelo. Então, a integral de zero até 1, e aqui ''dr'', deixe-me descer aqui, então. E aí, se avaliarmos isso neste intervalo, vamos ficar com rθ, que, neste caso, é o próprio do 2π. Então, 2πr - 2r² vezes o cos2π, que é 1, então -r² ao quadrado, e subtraímos isso avaliando em zero. E aí, "r" vezes zero vai ser zero, e o cos0 é 1. Então, vamos ficar com -2r². E aí, esse negativo com esse negativo vão virar os dois positivos, né? E você tem um -2r² aqui e um +2r² aqui, então esses termos vão se cancelar. E aí, se simplificarmos, vamos ficar com a integral de zero até 1 de 2πdr. E a integral de 2πr = πr², e avaliamos isso de zero até 1. E aí, utilizando o teorema fundamental do cálculo, nós avaliamos esta função em 1, e aí vamos ficar com o π vezes 1² que dá 1, então, π, e subtraímos isso avaliando o zero na função, e se o "r" for igual a zero, tudo isso vai ser igual a zero, né? Então, menos zero, e que vai ser igual a π. Ou seja, todo esse trabalho que tivemos, para encontrar apenas um π. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!