Intuição do teorema de Stokes

RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Eu coloquei aqui cinco superfícies S. O que vamos fazer, nesta aula, é estimar o valor da integral de linha F vezes dr, onde F é o campo vetorial que está em rosa em cada uma destas superfícies. Claro, eles estão em sentidos diferentes. E outra coisa a se considerar é que eu desenhei apenas a parte do campo vetorial que está dentro da superfície. Ou seja, eu também poderia desenhar o campo vetorial que está fora da superfície, mas eu quis focar somente nesta parte. E nós vamos ver que a trajetória deste campo vetorial é importante para determinar esta integral de linha. O sentido que importa para a gente é o anti-horário, o que significa que vamos percorrer a superfície assim, depois para a esquerda, e depois voltamos ao mesmo ponto. Esta vai ser a orientação de todas as superfícies: a anti-horária. Eu posso até colocar nesta figura aqui também. E vamos analisar como o valor de F vezes dr sobre o contorno da superfície muda de exemplo para exemplo. A única diferença destas superfícies é o que o campo vetorial F está fazendo. Aqui, elas são iguais. E, inicialmente, vamos pensar nesta superfície. O que está acontecendo? Nesta parte aqui, o campo vetorial está indo no mesmo sentido que a nossa linha, que o nosso contorno. Por causa disso, nós vamos obter um valor de F positivo. Aqui, vai para cima, o que significa que o F não assume nenhum valor. É zero. Ou seja, esta multiplicação vai ser zero. E podemos colocá-lo aqui. Agora, quando estamos nesta parte do contorno, o campo vetorial está indo na trajetória oposta. Ou seja, o campo vetorial está indo neste sentido e a trajetória, para a esquerda. Por causa disso, F vezes dr vai ser negativo. O que eu estou querendo dizer é que aqui em cima, nesta linha, nós vamos obter valores negativos e, com isso, este comprimento vai se anular com este aqui. Ou seja, quando você somar este valor positivo com este negativo, a resposta vai ser zero. Quando você vai para baixo de novo, o campo vetorial é perpendicular à trajetória e, com isso, nós vamos ter zero. Com base nesse pensamento, a integral de linha de F vezes dr vai ser igual a zero. Isso porque, se eu somar todas estas partes, o resultado vai ser igual a zero. Então, neste caso, a integral de linha de F vezes dr é igual a zero. Agora, vamos pensar nesta situação. O que acontece? Se a trajetória é anti-horária, então, vamos percorrer assim. Note que o campo vetorial está no mesmo sentido, o que significa que nós vamos ter valores positivos. Aqui, como estamos indo para cima, perpendicular à trajetória, vamos ter zero. Mas note que, aqui, o sentido do campo vetorial mudou. Está no mesmo da trajetória, o que significa que também vai ser positivo. E, quando descemos, não vamos somar nada, porque o campo vetorial é perpendicular à trajetória. Então, neste caso, também é zero. Note que, agora, estes dois comprimentos não se anulam. E o que acontece com isso? Simples. Isso significa que a integral de linha vai ter um valor positivo. A diferença entre estas duas figuras é que, nesta parte de cima, o campo vetorial está indo no mesmo sentido da trajetória. Já aqui, está indo no sentido contrário. Houve uma rotação deste campo vetorial que mudou o sentido dele. É como se você tivesse algo aqui que meio que cria um fluido neste campo vetorial, mudando o sentido dele. Ou seja, tem algo que faz este campo vetorial ficar girando, e aqui não. E esta figura? O campo vetorial está indo no mesmo sentido da trajetória, e, por causa disso, vamos obter valores positivos nesta parte. Note que a trajetória é esta aqui e o campo vetorial agora parece ir no mesmo sentido. Por causa disso, aqui vamos obter valores positivos. Nesta parte é o mesmo pensamento. A trajetória é esta e o campo vetorial está indo no mesmo sentido, o que significa que também vamos obter valores positivos. Aqui, a trajetória é esta. E note que o campo vetorial está indo no mesmo sentido, o que significa que também vamos obter valores positivos. E, se todos os valores são positivos, significa que a integral de F vezes dr é ainda mais positiva. Observe que este campo vetorial meio que está girando. Isso faz com que a integral de linha seja muito positiva. Claro, lembre-se que tem um campo vetorial fora da superfície também, mas nós só estamos focando dentro da superfície. Agora, vamos analisar esta situação. O campo vetorial, neste caso, está no mesmo sentido da trajetória. Por causa disso, nesta parte nós vamos obter valores positivos. Aqui, o campo vetorial é perpendicular à trajetória, como vimos no primeiro caso. Isso significa que não vamos adicionar nada à integral de linha. Portanto, é zero. Já aqui nesta parte, o campo vetorial é contrário à trajetória. Por causa disso, obtemos valores negativos. E tem um pedaço aqui, bem pequeno, do campo vetorial que está indo na mesma direção da trajetória, o que significa que tem uma parte aqui que é positiva. Agora, quando vamos para baixo, isso não acrescenta nada, porque o campo vetorial é perpendicular à trajetória. A diferença entre esta figura e esta é que, nesta parte aqui, o campo vetorial foi ficando positivo. Comparando com estas duas, significa que esta integral de linha vai ser menos positiva que esta aqui, mas um pouco mais positivo que esta. Isso acontece porque nós temos uma pequena rotação no nosso campo vetorial, bem aqui. Tem alguma coisa nesta parte que está fazendo o campo vetorial girar, mudar o seu sentido. Portanto, neste caso, esta integral de linha vai ser, digamos, menos positiva. Agora vamos analisar esta última situação. Neste campo vetorial, meio que existe uma rotação acontecendo aqui. É como se você colocasse algo aqui que faz o campo vetorial girar. E a mesma coisa acontece nesta parte. Alguma coisa está fazendo o campo vetorial rotacionar. Se você somar estas duas coisas, o resultado vai ser zero, o que significa que a integral de linha vai ser zero. E isso faz muito sentido porque, se você percorrer todo o contorno, vai ser a mesma coisa que aconteceu aqui: a soma vai ser zero. Ou seja, se você calcular a integral de linha, você vai ver que, nesta parte, o campo vetorial está indo no mesmo sentido da trajetória, o que significa que aqui vai ser positivo, já que a trajetória e o campo vetorial são perpendiculares, o que significa que vamos obter uma soma zero. Aqui, o campo vetorial e o sentido da trajetória são diferentes. Por causa disso, esta parte é negativa. Por fim, aqui vai ser zero. E, se somarmos tudo, este comprimento vai se anular com este aqui. Portanto, nesta situação, a integral de linha também vai ser zero. Agora note que, aqui, nós tivemos uma rotação positiva e isso gerou uma integral positiva. Aqui, nós tivemos uma rotação maior E isso gerou uma integral mais positiva ainda. Isso nos diz que, quanto maior a rotação, maior vai ser o valor da integral de linha. E isso nos diz, intuitivamente, que a integral de linha depende da rotação. Ou seja, a integral desta curva C, deste contorno, de F vezes dr, que está indo neste sentido, e nós vamos falar a respeito de sentido nas próximas aulas, pode ser igual à integral dupla desta superfície S, e que dependa da rotação deste campo vetorial. Isso porque, talvez, tenha algo que faça algumas partes do campo vetorial rotacionar. E nós pegamos a rotação desse campo vetorial e multiplicamos por um vetor normal em qualquer ponto da superfície e multiplicamos isso pelo diferencial da superfície. E, como eu disse, quanto maior a rotação acontecendo em alguma parte desta superfície, maior vai ser a integral de linha. Uma outra maneira de escrever isso é a integral dupla dessa superfície do rotacional de F vezes ds. Assim, se você quiser saber a soma de quanto estamos rotacionando ao longo da superfície, talvez isso seja igual ao valor da integral de linha à medida que seguimos em torno do limite da superfície. E foi exatamente isso que aconteceu aqui. Claro, isso não é uma prova rigorosa, só mostra intuitivamente o teorema de Stokes. E, na próxima aula, nós vamos provar isso. Eu espero que este vídeo tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!