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Transcrição de vídeo

- Eu desenhei múltiplas versões da mesma superfície S, cinco cópias da mesma superfície. E o que eu quero fazer é estimar o valor da integral de linha -- deixe-me escrever isso -- o valor da integral de linha de F.dr, onde F é o campo vetorial que nós desenhamos em magenta em cada um desses diagramas. E obviamente, ele é diferente em cada um desses diagramas. E a única parte do campo vetorial que desenhamos é a parte que está ao longo da superfície. Eu poderia ter desenhado a parte do campo vetorial que está fora da superfície, mas nós vamos nos preocupar com o que está acontecendo na superfície. Então o campo vetorial poderia ser definido em todo este espaço tridimensional e aqui também. E estes são obviamente diferentes campos vetoriais, e podemos ver isso com base em como nós os desenhamos. E o contorno que mais nos interessa -- lembremos, nós vamos tirar uma integral de linha, assim sendo o trajeto é importante. O trajeto que nos interessa é o anti horário do limite da nossa superfície, então ele vai ser esse aqui. O trajeto anti horário do limite da nossa superfície é o que vamos chamar de agora em diante de F.dr. Então isso bem aqui, deixa eu desenhar a orientação. Ele vai ser anti horário. E vamos fazer isso em cada uma dessas situações, para cada uma dessas superfícies e cada um desses Fs. E o que eu quero destacar é como o valor de F.dr sobre aquele contorno, como ele pode mudar de exemplo para exemplo,. E obviamente, a única diferença entre cada um desses é o que o campo vetorial F está fazendo. Então primeiro vamos destacar este exemplo bem aqui. Nesta parte do contorno, esta parte de baixo bem aqui, nosso campo vetorial está indo na mesma direção que a nossa linha, como o nosso contorno. Então nós vamos obter valores positivos para F.dr aqui em baixo, e nós vamos somá-los. Nós estamos obtendo uma integral. Então nós vamos linha acima na curva, como se fossemos morro acima bem aqui, e vemos que nosso campo vetorial está essencialmente ortogonal. Ele está perpendicular. ele está perpendicular ao nosso contorno. Então o nosso F.dr não assume nenhum valor ái. F.dr aqui, nesta parte do contorno, vai ser 0. Então nós não temos nada aqui. Na realidade, eu vou escrever "nada". Então nós não temos nada aqui. Talvez eu escreva 0. Eu vou escrever que nós temos 0 bem aqui. E então aqui em cima, quando estamos nesta parte do contorno, nosso campo vetorial está indo na direção oposta à do nosso trajeto. Aqui em cima nosso trajeto está indo, eu imagino, da direta pra a esquerda, enquanto o nosso campo vetorial está indo da esquerda pra direita. E assim nós vamos na realidade obter valores negativos. Vamos obter valores negativos aqui em cima, e eles vão adicionar um valor negativo razoável. E se o campo vetorial é constante, e eu acho que o desenhei desta forma, e este comprimento é igual a este comprimento, então estes dois valores vão se anular. Quando você adiciona esta soma positiva a esta soma negativa, ela vai ser 0. E então de novo, quando você for morro abaixo, o campo vetorial é perpendicular ao nosso trajeto, e nós vamos ter 0. Assim, com base no forma como eu a descrevi, nossa integral de linha de F.dr para esta versão de F neste exemplo aqui, pode ser toda anulada. Você vai obter, se fizermos as suposições que eu fiz, que isso vai ser igual a 0. Então nesse exemplo F.dr pode ser igual a 0. Agora vamos pensar no que acontece nessa situação. Nessa aqui, como na anterior, na medida em que seguimos ao longo da parte inferior, o campo vetorial vai ter a mesma direção que o nosso contorno, e então vamos ter valores positivos. E ao irmos morro acima, o campo vetorial se torna perpendicular ao nosso trajeto, e assim ele não vai somar nada a ele. Então nós vamos obter 0 ao longo desta parte. Mas aqui o nosso campo vetorial mudou de direção. E mais uma vez, ele vai ter a mesma direção que o nosso trajeto, e nós vamos obter mais valores positivos bem aqui. E então quando nós descermos aqui, não vamos somar nada porque o nosso campo vetorial é perpendicular ao nosso trajeto. Então nós vamos ter 0. Mas notem, agora essas duas extremidades não se cancelam uma com a outra. Vamos obter um valor positivo. Vamos obter um valor positivo. E qual foi a diferença entre esta versão de F, este campo vetorial, e este campo vetorial bem aqui? Bem, este campo vetorial mudou de direção de modo que a parte superior não se cancelou com a parte inferior. Ou pensando de outra forma, houve alguma rotação. Aconteceu um espécie de giro. Se isso estivesse descrevendo a velocidade de um fluido, e se você fosse pôr um mastro bem aqui na superfície, ele iria girar. Ele de certa forma roda, ou gira, como quer que você queira descrever. Este aqui não tem rotação. Se você puser um mastro aqui, ele irá apenas seguir com o fluido, Mas o mastro em si não iria girar. Então nós temos um valor positivo para a integra de linha nessa situação. E nós também temos, ao que parece, um rotacional positivo. - Agora vamos considerar este aqui. Nessa situação, na medida em que seguimos nessa parte do nosso contorno, nosso campo vetorial F segue na mesma direção, então nós iremos ter valores positivos. Agora se seguirmos morro acima, nosso campo vetorial F, também seguiu na mesma direção, e assim nós vamos ter mais valores positivos. E agora se seguirmos nessa direção, nosso campo vetorial F continua na direção do nosso contorno, nós estamos obtendo mais valores positivos. E ao seguirmos pra baixo, mais uma vez nosso campo vetorial F segue a direção do nosso contorno, e então nós obtemos ainda mais valores positivos. Então nessa situação, o valor da nossa integral de linha de F.dr é ainda mais positiva. - E nós vemos que o valor real do campo vetorial ao longo da superfície -- e lembrem-se, o campo vetorial podia estar fazendo todo tipo de loucura fora da superfície. Na realidade, deixe-me desenhar isso na mesma cor magenta. Ele podia estar fazendo todo tipo de loucura fora da superfície, mas o que nos interessa é o que está acontecendo na superfície. E porque essa campo vetorial está, eu penso que vocês poderiam dizer rodando, ou girando ao longo da superfície, isso permite que ele siga com o trajeto em todos os pontos, e nós obtemos um valor muito positivo para esta integra de linha. Assim sendo nós temos um rotacional mais elevado. Então mais rotacional, ao que parece, está levando a uma integral de linha mais positiva. Agora vamos ver o que está ocorrendo nessa situação. Nesta situação aqui em baixo, nosso campo vetorial está na mesma direção do nosso trajeto, e assim sendo vamos ter valores positivos, como na primeira situação, e se formos morro acima dessa forma ou subindo na superfície desse jeito, nosso campo vetorial é perpendicular à nossa superfície, e assim ele não vai adicionar nada à nossa integral de linha. E se seguirmos ao longo da parte superior, nessa primeira parte da parte superior bem aqui, o campo vetorial vai contra nós. Então ele é negativo bem aqui. Estamos indo a direção oposta à do nosso trajeto. E então, quando chegamos ao fim, o campo vetorial muda de direção, e nós conseguimos um pequeno valor positivo bem aqui porque um pouco dele está indo na mesma direção. E então seguimos morro abaixo. Quando voltamos morro abaixo, ele não soma nada porque o nosso campo vetorial é perpendicular ao nosso trajeto. Então a grande diferença entre este caso aqui e o caso aqui é que o caso aqui -- bem, na realidade, eu poderia fazer a comparação entre esse dois ou esses dois. Mas a diferença entre este e este é que ao menos esta parte do campo vetorial mudou de direção. E assim nós obtemos um pequeno valor positivo. E uma forma de pensar nisso é, este vai ser menos positivo que aquele, se tomarmos a integral de linha, mas mais positivo que aquele. E outra forma de pensar é que nós temos um pouco de rotação acontecendo bem aqui. Nosso campo vetorial mudou de direção por ali, ou eu imagino que vocês poderiam dizer que ele está girando por ali. Então se você colocar um mastro, se ele estiver na água, ele irá começar a girar. Mas em qualquer outro lugar, não vai existir muita rotação. Então você tem alguma rotação, mas ele está em uma região pequena da superfície. Enquanto aqui, você tinha uma rotação acontecendo em uma grande porção da nossa superfície. e aqui em cima você tinha um rotacional mais positivo, uma integral de linha mais positiva. Aqui você tem um rotacional em uma parte menor da superfície, e você vai ter uma integral de linha menos positiva. Agora vamos considerar este aqui. Neste campo vetorial, ao longo da superfície existe alguma rotação. Existe alguma rotação acontecendo bem ali. Se você puser um mastro na água, se você ver isso como a velocidade da água, o mastro iria girar. Então você tem algum rotacional. Mas então ele muda de direção de novo, e então você também tem um rotacional ali, e da realidade é um rotacional na direção oposta. Então de certa forma, você vai somar tudo isso junto, pode ser que eles vão se anular. E isso faz sentido. Faz sentido que eles se anulem porque quando você obtém a integral de linha em torno da coisa toda, como na primeira situação, parece que a soma vai ser 0. Porque embora você tenha alguma rotação, elas se cancelam. E assim quando você chega a esta parte superior da superfície, o campo vetorial segue na mesma direção que a da parte inferior da superfície. Então se você tirar a integral de linha, a mesma que nos interessa, como na primeira situação ela será positiva aqui em baixo, e 0 ao subirmos na curva. A quando descermos aqui, o campo vetorial muda de direção duas vezes, então ele ainda está indo contra o trajeto do nosso contorno, como na primeira situação. Então ela seria negativa aqui em cima. E então ao descermos aqui, ela seria 0. Assim, esta coisa bem aqui também se parece com a primeira porque os giros essencialmente se anulam. Nós mudamos de direção duas vezes. Então aqui nossa integral de linha vai também ser 0. Agora, a razão porque nós fizemos este exercício foi proporcionar a vocês a intuição de porque pode fazer sentido que se temos mais rotação acontecendo sobre outras partes desta superfície, isso deverá fazer com que o valor dessa integral de linha seja maior. E assim, felizmente, começamos a dar a vocês uma intuição que talvez, apenas talvez, o valor dessa integral de linha, o valor de F.dr sobre esse contorno, sobre esse contorno que está indo na direção anti horária -- falaremos mais sobre orientação em vídeos futuros -- pode vir a ser igual à soma dos rotacionais sobre a superfície. E então vamos pensar a respeito. Poderia ser uma integral de superfície. Então nós vamos seguir sobre a superfície, e nosso interesse é o rotacional de F. Nosso interesse é o rotacional de F. Mais nós não nos interessamos com o rotacional de F de forma genérica porque F poderá estar girando em uma direção, digamos, que esteja fora da superfície. O que interessa é o quanto ele está rodando na superfície. Então o que nós queremos fazer é pegar o rotacional de F e pontuá-lo com o vetor normal em qualquer ponto da superfície e então multiplicar isso pela própria superfície. - E isso quer dizer que quanto maior a superfície onde nós temos mais rotação acontecendo, maior será a integral de linha, o valor da integral de linha. E vimos isso quando comparamos estes três exemplos. E outra forma de escrever isso tudo é a integral de superfície -- deixe-me escrever a superfície naquela mesma cor castanha -- a integral de superfície do rotacional de F, que seria simplesmente outro vetor que nos diz o quanto nós estamos girando em geral, mas o que nos interessa é quanto estamos girando ao longo da superfície. Assim sendo nós a estamos pontuando com o vetor normal. Ou outra forma de escrever tudo isso é dizer .ds Assim, se você tirar a soma em soda a superfície de quanto estamos rotacionando, quanto estamos girando ao longo da superfície, então talvez, apenas talvez, isso seja igual ao valor da integral de linha na medida em que seguimos em torno do limite da superfície. E foi isso o que aconteceu. E obviamente, nós não provamos isso pra vocês aqui, mas felizmente vocês têm a intuição de porque isso faz sentido. E esta ideia de que isso é igual a isso se chama o teorema de Stokes, e nós Legendado por Luiz Fontenelle