Compreensão conceitual de fluxo

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver uma compreensão conceitual de fluxo em três dimensões. E, claro, para isso, vamos dizer que nós temos uma função ρ [rô] aqui, que é uma função de x, y e z, e ela nos dá a densidade de um fluido em qualquer ponto em três dimensões. Pode ser um gás, um fluido ou uma água, qualquer coisa, algum tipo de substância. Ou seja, essa função ρ dá a densidade de um fluido em qualquer ponto nessas três dimensões. E vamos dizer que nós temos aqui outra função vetorial, que eu vou chamar de v, de x, y, z, e que vai ter como resultado um vetor tridimensional, e digamos que esse vetor v vai nos dar a velocidade desse mesmo gás, desse mesmo fluido. E digamos que temos outra função e, essa aqui, de certa forma, é até familiar, porque já falamos dela quando comentamos a respeito de integrais de linha, ou seja, digamos que temos uma função f que é igual ao produto de ρ por v. Ou seja, para cada x, y, z, essa função vai nos dar com vetor, e, aí, multiplicamos pelo resultado dessa função, que é uma escalar. Isso no mesmo ponto. Então a função f é ρ vezes v. Agora, sabendo disso, como podemos calcular a integral dupla dessa superfície s do produto vetorial entre f e n, onde n é o vetor unitário normal em cada ponto da superfície, dS? Para entender isso, deixe eu colocar aqui um plano tridimensional e, aí, eu coloco os eixos. Esse aqui é o eixo x, esse, o y, e, esse aqui, o z, e eu posso colocar a superfície s aqui também, que vai ser algo mais ou menos assim. E o que queremos fazer nesta aula é mostrar que isso aqui é completamente análogo ao que fizemos no caso bidimensional. Ou seja, para calcular essa integral, podemos pensar de forma parecida com o que fazemos quando temos apenas duas dimensões. Temos um dS nessa superfície, que é uma pequena variação de área, que vai ser esse dS, e, claro, você pode até escolher uma unidade de medida. Eu vou utilizar os metros quadrados. Isso porque vai ficar mais fácil de compreender. O vetor normal vai apontar para fora, é perpendicular a esse plano e ele tem um comprimento igual a 1, ele é um vetor unitário. E a função f é definida ao longo desse espaço tridimensional. Ou seja, se você pegar um x, y, z qualquer, você vai conseguir descobrir a densidade, a velocidade, e isso vai lhe dar alguns vetores ao longo desse espaço, inclusive, na superfície. Ou seja, pode ter um vetor f aqui, por exemplo. E o que isso nos diz? Simples. Quando calculamos esse produto aqui, nós vamos descobrir o conjunto em que eles estão, ou seja, como n é um vetor unitário e tem comprimento igual a 1, esse produto vai nos dizer a magnitude de cada componente de f que vai na direção de n. Ou, então, qual magnitude da componente de f que é normal à superfície. Ou, melhor, o quanto f é normal à superfície. E a componente de f que é normal à superfície seria algo mais ou menos assim. Então esse produto vai nos dar o comprimento desse vetor. Isso porque estamos o multiplicando por um vetor unitário. O que eu estou querendo dizer é que esse vetor n vai especificar apenas a direção, e a unidade f pode ser, por exemplo, a unidade da densidade que é quilogramas (kg) por metro cúbico. Então, seria quilograma (kg) por metro cúbico da parte da densidade e ainda temos que multiplicar pela velocidade que vai ser metros por segundo. E ainda há esse metro ao quadrado aqui, que eu posso colocar um pouco mais abaixo. Então, multiplicamos, ainda, por esse metro ao quadrado. E se realizarmos a multiplicação das unidades, note que temos esse metro ao quadrado que multiplica esse metro, e, aí, vamos ficar com o metro ao cubo e também há um metro ao cubo aqui dividindo. Então, podemos cancelar esse metro ao cubo com esse metro e esse metro quadrado e, com isso, a unidade de medida desse produto vai ser quilograma (kg) por segundo. Por isso falei que o ideal era pegar essa variação em metros quadrados, porque conseguimos simplificar aqui. E a maneira de pensar nesse quilograma (kg) por segundo é que nos diz o quanto de massa, dada a densidade e a velocidade, vai diretamente para fora desse pequeno dS. Ou seja, dessa pequena variação de superfície. É o quanto de massa você está tirando por intervalo de tempo. Se somarmos todos esses pedaços pequenos de área, isso vai ser igual a essa integral dupla. Está dizendo o quanto de massa está passando através dessa superfície, em todo o instante de tempo. É a mesma ideia de integrais de linha. Basicamente, eu estou somando as infinitas partes dessa superfície, e, quando fazemos isso, utilizamos a integral. Isso aqui é o fluxo através de uma superfície bidimensional. Claro, se você achar que isso é muito abstrato, você pode pensar no vapor da água do seu banheiro, por exemplo. Tem várias partículas e tem certa densidade em pontos distintos. E você pode imaginar a superfície como a janela do seu banheiro. Essa janela é a superfície e, se ela estiver aberta, as coisas vão passar através dela, correto? F seria a densidade do vapor da água vezes a sua velocidade, e isso vai nos dar a massa de vapor da água que está viajando através dessa janela em qualquer instante de tempo. Outro exemplo prático é: imagine que você tenha uma piscina aqui, mais ou menos assim, e essa aqui é a superfície da água onde vemos e essa piscina tem uma certa profundidade, correto? E digamos que nós conhecemos a densidade e a velocidade desse fluido em qualquer momento, em qualquer instante, esse produto da densidade vezes a velocidade é o que o f nos dá. E, quando você calcula a integral, você está querendo saber o quanto de massa de fluido passa por essa superfície em todo instante de tempo. Você pode até mudar essa superfície, quem sabe você não coloque uma rede aqui e que, de certa forma, impeça o fluxo do fluido. Quando você for calcular essa integral, você vai obter a massa de fluido que passa por essa rede em qualquer instante de tempo e eu espero que esse conceito tenha ficado claro para você. Mais à frente, nós vamos aprender como calcular essa integral. Até a próxima, pessoal!