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Transcrição de vídeo

Vamos supor que estamos trabalhando em três dimensões. E eu tenho uma função rô. Função de x, y e z. Ela nos dá a densidade em qualquer ponto em três dimensões. De algum fluido. Algum em particular. Pode ser um gás, um fluido ou água. Qualquer coisa. Algum tipo de substância. A função nos dá sua densidade em qualquer ponto em três dimensões. Vamos supor que temos outra função... Essa é uma função escalar. Nos dá um número pra cada ponto em 3D. Suponhamos uma outra função v. Que é uma função vetorial. Nos dá um vetor pra cada ponto em três dimensões. E isso aqui nos diz a velocidade desse mesmo fluido ou gás. Ou de qualquer outra coisa. Imaginemos agora uma outra função. Isso pode parecer familiar. Fizemos um exemplo parecido em duas dimensões quando falamos sobre integrais de linha. Vamos estender isso para três dimensões. Vamos supor que temos uma função f. E ela é igual ao produto de rô e v. Para cada ponto em xyz, isso nos dará um vetor e multiplicaremos por esse escalar aqui para o mesmo ponto em três dimensões. Então isso é igual a rô vezes v. Deixe-me usar a mesma cor que usei pra v anteriormente. Rô vezes v. Você pode entender isso de algumas formas Obviamente mantém a direção da velocidade. Mas agora sua magnitude... Podemos pensar nisso como momento de densidade Isso não faz muito sentido. Não se preocupe muito com isso. Espero que à medida em que formos usando essas funções e discutindo suas relações com superfícies, isso faça mais sentido conceitualmente. O que eu quero fazer é pensar sobre o que significa, dada essa função f, calcular essa integral de superfície Então sobre alguma superfície, vamos calcular f ponto n, onde n é o vetor unitário normal em cada ponto da superfície, dS. dSuperfície. Vamos pensar no que isso diz. Primeiramente, deixe-me desenhar os eixos. Tenho aqui o eixo z. Esse seria o eixo x. E esse aqui é o eixo y. Suponhamos que a superfície-- usarei a mesma cor-- se pareça com isso. Aqui está minha superfície. A superfície em questão. Essa é S. Vamos pensar nas unidades. Espero que isso nos dê compreensão conceitual sobre o que está sendo medido aqui. É completamente análogo ao que fizemos no caso bidimensional. Com integrais de linha. Temos um dS. dS é um pequeno pedaço de área dessa superfície. Então esse é dS. Isso será área. Se quiser escolher uma unidade em particular, pode ser metros quadrados. Fazendo isso, acho que faz mais sentido. O vetor normal nesse dS apontará pra fora dele. É literalmente normal àquele plano. E tem magnitude um. Esse é o nosso vetor unitário normal. E f é definida ao longo desse espaço tridimensional. Você me dá qualquer xyz, sei sua densidade, sua velocidade e terei algum f, em qualquer ponto no espaço tridimensional. Inclusive na superfície. Inclusive aqui. Aqui f pode parecer algo assim. Essa é f bem nesse ponto. O que isso significa? Quando calculamos o produto interno de dois vetores, isso nos diz o quão junto eles vão. Como n é um vetor unitário, tem magnitude um, isso nos diz a magnitude da componente de f que vai na direção de n. Ou qual a magnitude da componente de f que é normal à superfície. Ou o quanto de f é normal à superfície. A componente de f que é normal à superfície seria mais ou menos assim. Isso aqui dará essencialmente a magnitude disso. Mantendo as unidades de f. Isso aqui especifica apenas a direção. Não há unidades associadas. É sem dimensão. As unidades de f serão unidades de densidade. Poderia ser quilograma por metro cúbico. Na verdade essa parte só diz respeito a rô. É densidade vezes velocidade. Vezes metro por segundo. Deixe-me usar aquelas cores pra ficar mais claro. As unidades de f serão as unidades de rô-- que são quilograma por metro cúbico, isso é densidade-- vezes as unidades de v, que são metro por segundo. E vamos multiplicar isso por metros quadrados. Temos metro e metro quadrado no numerador. Ficará então metros cúbicos. Tem um também no denominador. Podemos cortá-los. As unidades disso serão quilograma por segundo. O jeito de conceituar isso dada a forma como f é definida, o que f representa, é...isso diz o quanto de massa, dadas sua densidade e sua velocidade, vai diretamente pra fora desse pequeno dS. Esse pequeno pedaço de superfície. Num dado intervalo de tempo. Se somarmos todos os dS's, que é o que essa integral de superfície é, essencialmente. Estamos dizendo o quanto de massa, em quilogramas por segundo, está viajando através dessa superfície. Em qualquer instante de tempo dado. É a mesma ideia das integrais de linha. Isso é o fluxo através de uma superfície bidimensional. Isso não é uma coisa louca ou abstrata. Você poderia imaginar algo como vapor d'água no seu banheiro. Gosto de imaginar isso pois é de fato visível. Especialmente quando há raios de sol passando através deles. Quando isso acontece podemos ver as partículas viajando Vemos que elas têm uma certa densidade em pontos distintos. Você pode imaginar que se importa com a superfície da sua... Talvez você tenha uma janela no banheiro. Então se a superfície for a janela e ela estiver aberta Então não há nada físico lá. É apenas uma superfície retangular que as coisas podem passar através. E f é apenas a densidade do vapor d'água vezes sua velocidade. Então isso aqui te dirá a massa de vapor d'água que está viajando através dessa janela em qualquer instante de tempo. Outra forma de pensar é imaginando um rio. Vou pensar usando uma parte do rio. Isso aqui seria obviamente a superfície que vemos normalmente. Obviamente tem uma profundidade. É tridimensional na natureza. Então, saberíamos sua densidade. Talvez seja constante. Sabemos a densidade e a velocidade em qualquer ponto. É o que f nos dá. Nos diz, como mencionei anteriormente, o momento de densidade em qualquer instante de tempo. Ou talvez nossa superfície seja uma espécie de rede. E ela pode ter qualquer formato. Farei retangular por ser mais fácil de desenhar. Uma rede que de forma alguma impeça o fluxo do fluido. Mais uma vez, ao calcular essa integral você obterá a massa de fluido que passa por essa rede em qualquer instante de tempo. Espero que isso faça mais sentido agora, conceitualmente. Nos próximos vídeos veremos como calcular isso. E como podemos representar isso de diferentes formas. [legendado por: Vitor Tocci] [Revidado por: Thales Azevedo]