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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 6: Integrais duplas (artigos)

Integrais duplas

Integrais duplas são uma forma de integrar sobre uma área bidimensional. Entre outras coisas, elas nos permitem calcular o volume sob uma superfície.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

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Dada uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, você pode encontrar o volume entre esse gráfico e uma região retangular do plano x, y calculando a integral de uma integral,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{Isso é uma função de $y$}}dy \end{aligned}$
Isso é chamado de integral dupla.
Você pode calcular esse mesmo volume mudando a ordem de integração:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{Isso é uma função de $x$}}dx \end{aligned}$

O cálculo vai parecer ser muito diferente, mas ainda vai dar o mesmo resultado.

Volume sob uma superfície

Considere a função

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

Seu gráfico é assim:

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Agora, considere o retângulo no plano x, y definido por

0, is less than, x, is less than, 2

minus, pi, is less than, y, is less than, pi

Qual o volume acima desse retângulo, e sob o gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?

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Revisão rápida da área sob uma curva

No cálculo de uma variável, aprendemos que integrais nos permitem calcular a área sob uma curva. Por exemplo, a área sob o gráfico de y, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 entre os valores x, equals, minus, 3 e x, equals, 3 é

$\begin{aligned} \int_{-3}^{3} \left( \dfrac{1}{4} x^2 + 1 \right) \, dx \end{aligned}$

Uma maneira legal de pensar sobre isso é imaginar-se somando as áreas de infinitos retângulos infinitamente pequenos em largura, que preenchem o espaço sob a curva na região especificada:

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Imagine o valor da função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 sendo a altura de cada retângulo, d, x sendo a largura infinitesimal e integral sendo uma calculadora com a capacidade de lidar com infinitas coisas infinitamente pequenas. De forma mais abstrata, temos

$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} g(x)\,dx \end{aligned}$

Varrendo a área sob um volume

Para nosso problema de volume, podemos fazer algo semelhante. Nossa estratégia será

Subdividir o volume em fatias de área bidimensional
Calcular as áreas dessas fatias
Combinar todas as áreas das fatias para encontrar o volume.

Pense em fatias bidimensionais do volume sob o gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. Especificamente, escolha todas as fatias que representem um valor constante de y:

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Considere agora apenas uma dessas fatias, como a que representa y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction. A área dessa fatia é dada pela integral

$\begin{aligned} \int_0^2 f\left(x, \dfrac{\pi}{2}\right)\,dx &= \int_0^2 \left(x + \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 1 \right)\,dx \end{aligned}$

De forma abstrata, para um dado valor de y, a área dessa fatia é

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x, y)\,dx \end{aligned}$

Observe que essa é uma integral de x, conforme indicado pelo d, X, portanto, para efeito do cálculo dessa integral, o símbolo "y", representa uma constante.

Ao calcular essa integral, teremos uma expressão de y.

Tente você mesmo: calcule a integral para encontrar a área das seguintes fatias de valor y constante :

$\begin{aligned} \int_0^2 (x+\operatorname{sen}(y)+1)\,dx = \end{aligned}$

[Resposta]

Quando você inserir algum valor de y nessa expressão, tal como y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, você obtém a área de uma fatia do nosso volume que representa esse valor y.

Agora, se multiplicarmos a área de cada uma dessas fatias por d, y, que é uma pequena alteração na direção de y, teremos uma pequena fatia de volume. Por exemplo, 4, plus, 2, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis pode representar a área de uma fatia, mas left parenthesis, 4, plus, 2, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, d, y representa o volume infinitesimal dessa fatia.

Usando mais uma integral, dessa vez relacionada a y, podemos efetivamente somar todas essas pequenas fatias de volume para obter o volume total sob a superfície:

\begin{aligned} \overbrace{ \int_{-\pi}^{\pi}\left( \underbrace{ \int_0^2 f(x, y)dx }_{\text{Área de uma fatia}} \right)dy }^{\text{Volume sob $f(x, y)$}} \end{aligned}

Tente você mesmo! O que obtemos inserindo a expressão integral, start subscript, 0, end subscript, squared, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, x encontrada acima e solucionando a segunda integral??

$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_0^2(x+\operatorname{sen}(y)+1) dx \right)dy = \end{aligned}$

[Resposta]

Duas opções de direção

Podemos também dividir o volume que queremos encontrar de uma maneira diferente. Pegamos fatias que representem valores constantes de x, em vez de valores constantes de y, e somamos as fatias de volume.

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Verificação de conceito: qual das seguintes integrais representa a área de uma fatia de valor x constante?

[Resposta]

Agora, imagine multiplicar cada uma dessas áreas por d, x, um pequeno passo na direção x, que é perpendicular à fatia. Isso resultará em um volume infinitesimal. Somando todos esses volumes infinitesimais, enquanto x varia de 0 a 2, teremos o volume sob a superfície.

Verificação de conceito: qual das seguintes integrais duplas representa o volume sob o gráfico de nossa função

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

na região onde

0, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 2 e minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\operatorname{sen}(y)+1)\,\blueE{dx} \right) \, \redE{dy} \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\operatorname{sen}(y)+1)\,\redE{dy} \right) \, \blueE{dx} \end{aligned}$

[Resposta]

Tente você!: calcule a integral dupla para encontrar o volume sob a superfície. (Claro, você já encontrou o volume na seção anterior, mas é proveitoso ver como ele pode ser encontrado de outra maneira).

$\begin{aligned} \int_0^2\left( \int_{-\pi}^{\pi} (x+\operatorname{sen}(y)+1) dy \right) dx = \end{aligned}$

[Resposta]

Felizmente, o cálculo resulta no mesmo volume encontrado na seção anterior. Caso isso não acontecesse, teria algo de errado no desenvolvimento do raciocínio.

Resumindo, a ordem da integração não importa. Isso pode parecer óbvio, já que das duas maneiras estamos calculando o mesmo volume. No entanto, esses são dois cálculos genuinamente diferentes, logo, o fato de que os resultados são iguais é, na verdade, um importante truque matemático.

Por exemplo, diversas provas matemáticas na teoria da probabilidade consistem na demonstração de que duas grandezas são iguais ao mostrar que ambas resultam da mesma integral dupla, tendo sido simplesmente calculadas em uma ordem diferente.

[Na verdade, algumas vezes a ordem importa, sim]

Outro exemplo

Considere a função

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1

Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que

minus, 1, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 1

minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

Aqui está como esse volume se parece:

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Verificação de conceito: imagine que estamos cortando o volume sob f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1 ao longo do plano que representa y, equals, 1. Qual das seguintes integrais representa a área dessa fatia?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(1)x^2 + 1 \big)\, dx \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \big(\cos(y)(1)^2 + 1 \big)\, dy \end{aligned}$

[Resposta]

Exercício: qual o resultado quando calculamos essa integral para um valor qualquer de y, não apenas y, equals, 1?

$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(y)x^2 + 1 \big)\, dx = \end{aligned}$

[Resposta]

Mais um exercício: a expressão que acabamos de encontrar representa a área de fatias de nosso volume representando valores constantes de y. Usando essa expressão, defina uma integral para encontrar o volume sob a superfície e a resolva.

Volume final:

\quad

[Resposta]

Resumo

Dada uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, você pode encontrar o volume entre seu gráfico e uma região retangular do plano x, y calculando a integral de uma integral,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{Isso é uma função de $y$}}dy \end{aligned}$
Isso é chamado de integral dupla.
Você pode calcular esse mesmo volume mudando a ordem de integração:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{Isso é uma função de $x$}}dx \end{aligned}$

O cálculo vai parecer ser muito diferente, mas ainda vai dar o mesmo resultado.

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