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Integrais duplas

Integrais duplas são uma forma de integrar sobre uma área bidimensional. Entre outras coisas, elas nos permitem calcular o volume sob uma superfície.

O que estamos construindo

Invólucro do vídeo da Khan Academy
  • Dada uma função de duas variáveis f(x,y), você pode encontrar o volume entre esse gráfico e uma região retangular do plano xy calculando a integral de uma integral,
    y1y2(x1x2f(x,y)dx)Isso é uma função de ydy
    Isso é chamado de integral dupla.
  • Você pode calcular esse mesmo volume mudando a ordem de integração:
    x1x2(y1y2f(x,y)dy)Isso é uma função de xdx
O cálculo vai parecer ser muito diferente, mas ainda vai dar o mesmo resultado.

Volume sob uma superfície

Considere a função
f(x,y)=x+sen(y)+1
Seu gráfico é assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Agora, considere o retângulo no plano xy definido por
0<x<2
e
π<y<π
Qual o volume acima desse retângulo, e sob o gráfico de f(x,y)?
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Revisão rápida da área sob uma curva

No cálculo de uma variável, aprendemos que integrais nos permitem calcular a área sob uma curva. Por exemplo, a área sob o gráfico de y=14x2+1 entre os valores x=3 e x=3 é
33(14x2+1)dx
Uma maneira legal de pensar sobre isso é imaginar-se somando as áreas de infinitos retângulos infinitamente pequenos em largura, que preenchem o espaço sob a curva na região especificada:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Imagine o valor da função g(x)=14x2+1 sendo a altura de cada retângulo, dx sendo a largura infinitesimal e sendo uma calculadora com a capacidade de lidar com infinitas coisas infinitamente pequenas. De forma mais abstrata, temos
x1x2g(x)dx

Varrendo a área sob um volume

Para nosso problema de volume, podemos fazer algo semelhante. Nossa estratégia será
  1. Subdividir o volume em fatias de área bidimensional
  2. Calcular as áreas dessas fatias
  3. Combinar todas as áreas das fatias para encontrar o volume.
Pense em fatias bidimensionais do volume sob o gráfico de f(x,y). Especificamente, escolha todas as fatias que representem um valor constante de y:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Considere agora apenas uma dessas fatias, como a que representa y=π2. A área dessa fatia é dada pela integral
02f(x,π2)dx=02(x+sen(π2)+1)dx
De forma abstrata, para um dado valor de y, a área dessa fatia é
02f(x,y)dx
Observe que essa é uma integral de x, conforme indicado pelo dX, portanto, para efeito do cálculo dessa integral, o símbolo "y", representa uma constante.
Ao calcular essa integral, teremos uma expressão de y.
Tente você mesmo: calcule a integral para encontrar a área das seguintes fatias de valor y constante :
02(x+sen(y)+1)dx=

Quando você inserir algum valor de y nessa expressão, tal como y=π2, você obtém a área de uma fatia do nosso volume que representa esse valor y.
Agora, se multiplicarmos a área de cada uma dessas fatias por dy, que é uma pequena alteração na direção de y, teremos uma pequena fatia de volume. Por exemplo, 4+2sen(y) pode representar a área de uma fatia, mas (4+2sen(y))dy representa o volume infinitesimal dessa fatia.
Usando mais uma integral, dessa vez relacionada a y, podemos efetivamente somar todas essas pequenas fatias de volume para obter o volume total sob a superfície:
ππ(02f(x,y)dxÁrea de uma fatia)dyVolume sob f(x,y)
Tente você mesmo! O que obtemos inserindo a expressão 02f(x,y)dx encontrada acima e solucionando a segunda integral??
ππ(02(x+sen(y)+1)dx)dy=

Duas opções de direção

Podemos também dividir o volume que queremos encontrar de uma maneira diferente. Pegamos fatias que representem valores constantes de x, em vez de valores constantes de y, e somamos as fatias de volume.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Verificação de conceito: qual das seguintes integrais representa a área de uma fatia de valor x constante?
Escolha 1 resposta:

Agora, imagine multiplicar cada uma dessas áreas por dx, um pequeno passo na direção x, que é perpendicular à fatia. Isso resultará em um volume infinitesimal. Somando todos esses volumes infinitesimais, enquanto x varia de 0 a 2, teremos o volume sob a superfície.
Verificação de conceito: qual das seguintes integrais duplas representa o volume sob o gráfico de nossa função
f(x,y)=x+sen(y)+1
na região onde
0x2 e πyπ?
Escolha 1 resposta:

Tente você!: calcule a integral dupla para encontrar o volume sob a superfície. (Claro, você já encontrou o volume na seção anterior, mas é proveitoso ver como ele pode ser encontrado de outra maneira).
02(ππ(x+sen(y)+1)dy)dx=

Felizmente, o cálculo resulta no mesmo volume encontrado na seção anterior. Caso isso não acontecesse, teria algo de errado no desenvolvimento do raciocínio.
Resumindo, a ordem da integração não importa. Isso pode parecer óbvio, já que das duas maneiras estamos calculando o mesmo volume. No entanto, esses são dois cálculos genuinamente diferentes, logo, o fato de que os resultados são iguais é, na verdade, um importante truque matemático.
Por exemplo, diversas provas matemáticas na teoria da probabilidade consistem na demonstração de que duas grandezas são iguais ao mostrar que ambas resultam da mesma integral dupla, tendo sido simplesmente calculadas em uma ordem diferente.

Outro exemplo

Considere a função
f(x,y)=cos(y)x2+1
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
1x1
e
πyπ?
Aqui está como esse volume se parece:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Verificação de conceito: imagine que estamos cortando o volume sob f(x,y)=cos(y)x2+1 ao longo do plano que representa y=1. Qual das seguintes integrais representa a área dessa fatia?
Escolha 1 resposta:

Exercício: qual o resultado quando calculamos essa integral para um valor qualquer de y, não apenas y=1?
11(cos(y)x2+1)dx=

Mais um exercício: a expressão que acabamos de encontrar representa a área de fatias de nosso volume representando valores constantes de y. Usando essa expressão, defina uma integral para encontrar o volume sob a superfície e a resolva.
Volume final:

Resumo

  • Dada uma função de duas variáveis f(x,y), você pode encontrar o volume entre seu gráfico e uma região retangular do plano xy calculando a integral de uma integral,
    y1y2(x1x2f(x,y)dx)Isso é uma função de ydy
    Isso é chamado de integral dupla.
  • Você pode calcular esse mesmo volume mudando a ordem de integração:
    x1x2(y1y2f(x,y)dy)Isso é uma função de xdx
O cálculo vai parecer ser muito diferente, mas ainda vai dar o mesmo resultado.

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