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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 6: Integrais duplas (artigos)

Integrais duplas além de volume

Integrais duplas fazem mais do que encontrar o volume sob gráficos tridimensionais. Aqui nós falamos de outros usos, uma notação mais geral das integrais duplas e explicamos a ideia da integração dupla.

Conhecimentos prévios

Integrais duplas sobre regiões não retangulares

O que estamos construindo

integrais duplas são utilizadas sempre que você tiver a percepção de onde você quer cortar uma região bidimensional em áreas infinitamente pequenas, multiplicar cada uma por algum valor e, em seguida, somá-las.
A notação mais geral para uma integral dupla é
$\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}$
onde
start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 é a região que você está integrando.
start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 significa um "pedaço pequeno de área", que tipicamente significa d, x, d, y ou d, y, d, x, a não ser que outro sistema de coordenadas esteja sendo usado.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma função de duas variáveis.

Exemplo 1: Massa de uma placa

Imagine uma placa de metal de 3 metros de largura e 2 metros de altura. Nosso objetivo será encontrar sua massa com base na sua densidade, mas o problema é que a densidade não é constante ao longo da placa.

Para ser capaz de descrever essa variável densidade com uma função, comece situando a placa sobre o plano x, y:

Seu canto inferior esquerdo está na origem, e o seu lado comprido encontra-se sobre o eixo-x.

Vamos dizer que a densidade dessa placa, em start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, squared,é definida pela seguinte função.

sigma, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, s, e, n, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y

(sigma é um nome típico da variável para densidade bidimensional). A densidade é a massa por unidade de área, então, pode parecer estranho defini-la usando uma função que considera pontos individuais .Afinal, o que significa quando um único ponto como left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis tem densidade sigma, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis? Se preferir, você pode interpretar essa função como dando a densidade dentro de uma região muito pequena em torno de cada ponto.

Para determinar a massa da placa, você pode imaginar estar cortando-a em vários pedaços pequenos, cada um sendo um retângulo e, em seguida, somar suas massas.

Considere cada um desses retângulos como tendo uma pequena largura, d, x, e uma altura pequena, d, y.

Pense em um retângulo específico, talvez o que contém o ponto left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis. Uma vez que esse retângulo é realmente pequeno, a densidade dentro dele vai ser praticamente igual à constante sigma, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis. Quanto mais fino você cortar, e quanto menor forem os retângulos, mais próximo da verdade fica a afirmação de que a densidade de cada retângulo é constante.

Isto significa que podemos encontrar a massa de cada um desses retângulos. Por exemplo,

\begin{aligned} \underbrace{ \sigma(1, 2) }_{\text{densidade}} \,\underbrace{ dx\,dy }_{\text{pequena área}} = (\operatorname{sen}(\pi)+1)(2)\,dx\,dy = 2\,dx\,dy \end{aligned}

Para obter a massa total da placa, integramos todas essas pequenas massas juntas. Uma vez que estamos integrando sobre uma região bidimensional, usamos uma integral dupla. Cuidado: a ordem das suas integrais depende do fato de você expressar a pequena área de cada retângulo como d, x, d, y ou d, y, d, x

Verificação de conceito: qual das seguintes integrais duplas representa a massa da nossa placa de metal, que tem 3 metros de largura e 2 metros de altura?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^3 \int_0^2 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 \sigma(x, y)\,dx\,dy \end{aligned}$

Verificação de conceito: usando a função sigma, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, s, e, n, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y, calcule a integral dupla. (Se você está inseguro sobre como fazer isso, considere a revisão do artigo introduzindo integrais duplas)

\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 (\operatorname{sen}(\pi x) + 1)y \,dx\,dy = \end{aligned}

Considerando pequenas áreas

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Quando eu apresentei integrais duplas pela primeira vez, foi no contexto do cálculo do volume dentro de um gráfico. O processo de raciocínio foi algo assim:

Primeiro corte o volume em infinitas fatias. Cada fatia representa um valor constante para uma das variáveis, por exemplo, x, equals, 0, comma, 78.
Localize a área de cada das referidas fatias. (Isso é o que a integral interna faz).
Faça com que cada fatia um volume infinitesimal, dando-lhe um pouco de profundidade. Matematicamente, isso significa multiplicar a área de cada fatia por d, x ou d, y, qualquer um que represente um pequeno passo perpendicular à fatia.
Integre esses volumes infinitesimais em conjunto para obter o volume do sólido como um todo. (Isso é o que a integral externa faz).

Em contrapartida, o exemplo da seção anterior que encontra a massa da placa tem um aspecto e sentido diferente para ele. Começamos pensando em pequenas áreas e, então, multiplicamos cada uma por uma constante (a densidade) e tentamos somar todos ao mesmo tempo.

Claro que ambas as perspectivas são equivalentes. E quando se trata de cálculo, nada muda. Você sempre vai estabelecer uma integral dentro de outra, calcular a integral interior e, em seguida, calcular a integral exterior.

No entanto, em termos de visualização e compreensão conceitual, a elaboração de uma integral dupla em termos de pequenas áreas é distinta da elaboração de uma integral linear dentro de outra. Por exemplo, se você pensou em calcular o volume sob um gráfico quebrando inicialmente sua região do plano x, y em pequenas áreas, você pode considerar somar o volume de colunas finas acima dessas áreas pequenas.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Notação geral para integrais duplas

Quando consideramos uma integral dupla em relação a pequenas áreas, é comum escrevê-la abstratamente, assim:

\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 representa a região em que estamos integrando. A razão para escrevê-la assim é que, enquanto você está definindo os elementos, ou raciocinando sobre integrais duplas, você normalmente não quer se prender à definição específica (e potencialmente complicada) de sua região.

Quando chega a hora de calcular a integral, podemos substituir esse \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript por um par real de integrais simples com limites que podem ser calculados. Quando start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 for um retângulo, esses limites serão constantes:

integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, dots

Geralmente , quando start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 é definido em termos de algumas curvas no plano x, y, os limites da integral interior são expressos como funções da variável externa:

integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end superscript, dots

(Ver o último artigo para praticar essa ideia.)

start color #bc2612, d, A, end color #bc2612

start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 representa uma área pequena, da mesma forma que d, x representa um comprimento pequeno em uma integral simples.

Você normalmente se imagina cortando a região start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 em muitos pedaços pequenos, e esse termo representa a área de um desses pedaços. Uma vez que você começar a calcular a integral dupla, você vai substituir isso por d, x, d, y, ou d, y, d, x. Em outros sistemas de coordenadas, existem maneiras diferentes para desmembrar start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, mas vou deixar isso para o próximo artigo.

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma função de duas variáveis. Quando você divide sua região em várias partes pequenas, cada uma delas normalmente representa um valor que você espera somar. Esse valor pode ser, por exemplo, uma pequena quantidade de massa ou o pequeno volume de uma coluna fina sob um gráfico.

Felizmente, você pode expressar essa pequena quantidade ou porção como alguma coisa vezes a área da sua pequena parte. Por exemplo, a massa de uma parte é a densidade dela vezes a área que ela ocupa, e o volume de uma coluna sobre uma parte é a altura da coluna vezes sua área.

Nesses exemplos, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis representa densidade ou altura. Em geral, é aquilo que precisa ser multiplicado pela área start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 de um pequeno pedaço, e geralmente depende da posição desse pequeno pedaço, expressa com coordenadas left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.

"E se eu não puder expressar o pequeno valor que eu quero adicionar como algo vezes d, A?"

Bem, nesse caso, meu amigo, integrais duplas não são a ferramenta para você. Embora eu não consiga pensar em nenhum exemplo onde isso possa acontecer...

Há dois benefícios para essa notação abstrata:

Simplicidade: Quando você está começando a montar algo, ou se você deseja referenciar rapidamente a ideia de uma certa integral dupla sem entrar em detalhes de implementação, é bom ser capaz de escrever algo rapidamente. Além disso, muitos dos teoremas e ferramentas que veremos em cálculo de múltiplas variáveis são expressos abstratamente nessa notação.
Generalidade: Escrevendo sua integral como \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 dá-lhe opções quando você se senta para calculá-las. Por exemplo, no próximo artigo, vamos abordar integrais duplas em coordenadas polares, caso em que a maneira de expandir start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 e a maneira de colocar limites nas duas integrais são diferentes das maneiras para coordenadas cartesianas.

Exemplo 2: Centro de massa

O que é o centro de massa de um semidisco?

Para simplificar, vamos dizer que o raio do disco é 1, e vamos direcioná-lo de tal modo que o diâmetro fica sobre o eixo-y. Além disso, suponha que o disco tem densidade uniforme em todos os lugares.

Este é um problema muito interessante, você não acha? Você pode pensar que a resposta é algo um pouco à esquerda de left parenthesis, 0, comma, 5, comma, 0, right parenthesis, mas não é óbvio qual é a resposta específica, não é?

Pela simetria vertical desse semidisco, você pode saber que o centro de massa situa-se sobre o eixo-x. De certo modo, o que estamos procurando é o "valor médio de x" dos pontos no disco.

Verificação de conceito: se considerarmos que H representa esse semidisco, com vertical bar, H, vertical bar representando sua área, qual das seguintes integrais abstratamente escritas representa o valor de x para o centro de massa de H?

(Escolha A)
$\dfrac{1}{|H|} \begin{aligned} \iint_H x \,dA \end{aligned}$
(Escolha B)
$\dfrac{1}{|H|} \begin{aligned} \iint_H \sqrt{1-x^2} \,dA \end{aligned}$

Verificação de conceito: qual é a área do semidisco H?

vertical bar, H, vertical bar, equals

Verificação de conceito: qual das seguintes opções representa o caminho certo para expandir a integral \iint, start subscript, H, end subscript, x, d, A em uma forma calculável?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} x\,dx\,dy \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_{0}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} x\,dy\,dx \end{aligned}$

Agora conclua o trabalho: Resolva essa integral, e use-a para encontrar o centro de massa H.

Coordenada x do centro de massa:

Resumo

Integrais duplas são utilizadas sempre que você quiser cortar uma região bidimensional em áreas infinitamente pequenas, multiplicar cada uma delas por algum valor e, em seguida, somá-las.

A notação mais geral para uma integral dupla é

\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}

em que

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 é a região em que você está integrando.
start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 significa um "pedaço pequeno de área", que normalmente significa d, x, d, y ou d, y, d, x, a não ser que você esteja usando outro sistema de coordenadas.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma função de duas variáveis.

Deste ponto em diante, integrais duplas estarão inseparavelmente ligadas à maioria dos novos tópicos de cálculo com múltiplas variáveis. E em quase todos os casos, elas nos ajudam a pensar sobre o que está acontecendo dentro de cada "área pequena" de uma determinada região, em vez de integrar algo ao longo de uma reta e, em seguida, integrar novamente na direção perpendicular.

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