Integrais duplas em coordenadas polares

Conhecimentos prévios

• Coordenadas polares (vídeo)
• Integrais duplas além do volume

O que estamos construindo

• Quando você estiver executando uma integral dupla,
  $\displaystyle \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA}$\iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
  se você desejar expressar a função $f$f e os limites para a região $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 em coordenadas polares $(r, \theta)$left parenthesis, r, comma, theta, right parenthesis, o caminho para expandir a pequena área $dA$d, A é

  $\redE{dA} = r\,d\theta\,dr$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r

  (Preste atenção ao fato de que a variável $r$r é parte dessa expressão)
• Além dessa regra única, essas integrais duplas são principalmente sobre ter cuidado para assegurar que os limites da sua integral expressem adequadamente a região $R$R.
• Integrar usando coordenadas polares é conveniente sempre que sua função ou sua região apresentar algum tipo de simetria rotacional. Por exemplo, coordenadas polares são bastante adequadas para integração em um disco, ou para funções que incluem a expressão $x^2 + y^2$x, squared, plus, y, squared.

Exemplo 1: pequenas áreas em coordenadas polares

Atenção!: você pode ficar tentado a substituir $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 por $d\theta\,dr$d, theta, d, r, uma vez que em coordenadas cartesianas nós o substituímos por $dx\,dy$d, x, d, y. Mas isso não está correto!

$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^{2\pi} r^3\,d\theta\,dr = \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

Exemplo 2: integração sobre uma flor

Escolha 1 resposta:

Escolha 1 resposta:

• (Escolha A)  

  $\begin{aligned} \iint_R r\operatorname{sen}(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \iint_R r\operatorname{sen}(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$
• (Escolha B)  

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

Escolha 1 resposta:

Escolha 1 resposta:

• (Escolha A)  

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$
• (Escolha B)  

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \operatorname{sen}(\theta) \,dr \,d\theta = \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

Exemplo 3: a curva de sino

Pergunta: qual é a integral $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \end{aligned}$ ?

"O que isso tem a ver com integrais duplas em coordenadas polares?"

Escolha 1 resposta:

Escolha 1 resposta:

• (Escolha A)  

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (Escolha B)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (Escolha C)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

$\begin{aligned} \int e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

$\begin{aligned} 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

Resumo

• A única coisa que realmente temos que lembrar sobre integrais duplas em coordenadas polares é que

  $dA = r\,dr\,d\theta$d, A, equals, r, d, r, d, theta

  Além disso, a parte complicada é trabalhar com limites e o aborrecimento de realmente resolver as integrais que você obtém. Entretanto, essas são as mesmas dificuldades que são encontradas em integrais duplas em coordenadas cartesianas.
• A razão pela qual vale a pena aprender isso é que às vezes integrais duplas se tornam mais simples quando você as expressa em coordenadas polares, como foi o caso do exemplo da curva de sino.