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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 6: Integrais duplas (artigos)

Integrais duplas sobre regiões não retangulares

O que torna as integrais duplas complicadas é encontrar os limites em regiões não retangulares. Aqui nós discorremos sobre o que isso significa e praticamos alguns exemplos.

Conhecimentos prévios

Integrais duplas

O que estamos construindo

Se você deseja aplicar uma integral sobre uma região do plano x, y que não seja retangular, você deve expressar cada um dos limites da integral interna na forma de uma função da variável externa.
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Resulta em uma função de $y$}}dy \end{aligned}$

ou, alternativamente,

$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Resulta em uma função de $x$}}dx \end{aligned}$

A dificuldade com regiões não retangulares

Considere a função

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared

Seu gráfico é assim:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Vamos encontrar o volume sob uma parte deste gráfico. Diferentemente do último artigo, esse volume não vai estar acima de uma região retangular no plano x, y. Em vez disso, vamos procurar por um volume cuja base é um triângulo. O triângulo desenhado abaixo, para ser mais específico.

Este é um triângulo retângulo isósceles que possui um cateto unindo os pontos left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis no eixo x e o outro cateto conectando os pontos left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 2, comma, 2, right parenthesis. O volume acima deste triângulo e abaixo do gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared é mais ou menos assim:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Esse problema é similar ao mostrado no último artigo, que introduziu a integral dupla. E, de fato, a maneira de resolvê-lo é semelhante.

Encontre uma fórmula para partes de área usando uma integral.
Use uma segunda integral para somar aquelas infinitas partes de área em um volume.

O que fica complicado agora são os limites. Por exemplo, considere as partes deste volume que representam valores constantes de x. A seguinte animação mostra a aparência dessas partes, conforme o valor constante de x varia, para frente e para trás, entre 0 e 2.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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A altura de uma dessas partes varia com base na altura do gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared acima de sua base. Mas o comprimento da base da parte também varia. Por exemplo, quando x, equals, 0, comma, 5, o valor de y na base pode variar de 0 a 0, comma, 5, como na barra vertical vermelha desenhada abaixo.

Alternativamente, quando x, equals, 1, comma, 5, o valor de y varia de 0 a 1, comma, 5:

Isto significa que, quando construímos uma integral para encontrar a área de uma dessas partes com valores constantes de x, o limite superior é escrito em função de x.

$\begin{aligned} \int_0^\blueE{x} f(x, y) \, dy = \int_0^\blueE{x} xy^2 \, dy \end{aligned}$

Desde que se respeite nossos cálculos, é perfeitamente possível ter um dos limites escrito em função de x. Afinal, acabaremos com uma expressão em função de x de qualquer forma. Vá em frente e resolva essa integral por conta própria:

$\begin{aligned} \int_0^x xy^2 \, dy = \end{aligned}$

[Resposta]

A partir daqui, não há nada novo. Multiplique este valor por d, x para dar-lhe uma pequena profundidade, e assim fazer dele um volume infinitesimal. Depois, quando o integrarmos em relação a x, os limites serão constantes, x, equals, 0 e x, equals, 2, já que é onde a base do triângulo se situa no eixo x.

$\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x^4}{3} \, dx &= \left(\dfrac{x^5}{(5)(3)} \right)_0^2 \\\\ &= \dfrac{2^5}{15} - \dfrac{0^5}{15} \\\\ &= \dfrac{32}{15} \end{aligned}$

O volume total é, portanto, start fraction, 32, divided by, 15, end fraction, approximately equals, 2, comma, 13

Integrando sobre um disco

Agora, vamos tentar algo um pouco mais difícil: encontrar o volume sob um gráfico limitado pelo disco unitário. O disco unitário no plano x, y são todos os pontos left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis tal que

x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 1

Por exemplo, o volume abaixo do gráfico

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, plus, y, minus, x, squared

limitado pelo disco unitário se parece com

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Novamente, considere partes desse volume que correspondam a valores constantes de x.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Pense em como é a aparência da base de cada uma dessas partes no plano x, y. Cada uma das partes corresponde a alguma barra vertical no disco unitário.

Usando o Teorema de Pitágoras, conseguimos encontrar os valores de y que determinam a parte superior e a parte inferior dessa barra como uma função do valor de x que a barra representa.

Agora, podemos encontrar a área de uma dessas partes com valores constantes de x integrando f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em relação a y. Novamente, a diferença deste caso para o caso das regiões retangulares é que os limites são, cada um, uma função de x.

Verificação de conceito: quais das integrais a seguir representam a área de uma fatia com valores constantes de x do volume que estamos procurando?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\, \big(3 + y - x^2 \big) \,dy \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_{0}^{3+y-x^2}\, \big(\sqrt{1-x^2} - (-\sqrt{1-x^2})\big)\,dx \end{aligned}$

[Resposta]

Resolva: este é um cálculo mais pesado do que o dos exemplos anteriores, mas se você sentir que consegue, calcule esta integral para obter uma fórmula para a área de uma parte com valores constantes de x, na forma de uma função de x.

Área de uma parte com valores constantes de x:

[Resposta]

Os valores de x no disco unitário variam de x, equals, minus, 1 a x, equals, 1, então para encontrar o volume no qual estamos interessados, integre a expressão que você acabou de encontrar relacionada a x entre o valor minus, 1 e 1. Assim como antes, você pode imaginar que está somando muitos e muitos volumes de partes tão finas quanto um papel.

Isto acabada se tornando uma integral complicada, mas, em nome do pragmatismo, podemos resolvê-la usando um sistema algébrico computacional ou uma ferramenta de integração numérica, como o Wolfram Alpha.

Volume total: $\qquad \begin{aligned} \int_{-1}^1 (6- 2x^2) \sqrt{1-x^2} \,dx = \dfrac{11\pi}{4} \approx 8{,}6394 \end{aligned}$

Divida em partes de outra maneira: região da barbatana do tubarão

Algumas vezes é mais fácil considerar partes com valores constantes de y, o que envolve cortar a região no plano x, y ao longo de barras horizontais. Por exemplo, considere a região do plano x, y que satisfaz as seguintes propriedades:

x, is greater than or equal to, y, squared
x, is less than or equal to, y, plus, 2
y, is greater than or equal to, 0

Esta região meio que se parece com a barbatana dorsal de um tubarão:

O canto superior direito da região é onde a curva x, equals, y, squared intercepta a reta x, equals, y, plus, 2. Este ponto é left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis.

Vamos encontrar o volume de um sólido que tem esta região como sua área de cobertura, e cuja altura é determinada pela relativamente simples função multivariável:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y

Confira a aparência do volume:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

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Desta vez, imagine-se cortando, deste volume, partes com valores constantes de y. Isso resultará na área acima da barra horizontal da nossa região da barbatana do tubarão, como a mostrada no desenho abaixo em vermelho.

Verificação de conceito: se uma dessas barras horizontais corresponde a um valor de y, quais são os limites do valor de x da barra? Isto é, quais são as coordenadas x das extremidades esquerda e direita desse segmento de reta na forma de uma função de y?

Limite inferior: x, equals
Limite superior: x, equals

[Resposta]

Verificação de conceito: qual das integrais a seguir representa a parte de área acima de uma dessas barras, e abaixo do gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y, em função de y?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_{y^2}^{y+2} (x+2y) \,dx \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^2 (x+2y) \,dy \end{aligned}$

[Resposta]

Verificação de conceito: resolva esta integral para encontrar a área das partes com valores constantes de y de nosso volume.

Área de uma parte com valores constantes de y:

[Resposta]

Verificação de conceito: quando integramos esta função de y para obter o volume total, quais limites devemos usar?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^4 \dots \,dy \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^2 \dots \,dy \end{aligned}$

[Resposta]

Força e foco: resolva esta integral para encontrar o volume da região definida no começo desta seção. (Sinta-se à vontade para usar uma calculadora).

Volume:

[Resposta]

Resumo

Quando precisar calcular uma integral dupla sobre uma região não retangular, siga estas etapas.

Comece dividindo sua região em partes que correspondam a manter uma das variáveis constantes. Por exemplo, manter x constante em um determinado valor resultará em uma barra vertical de sua região.
Encontre a forma de expressar os limites dessas barras em função da outra variável. Por exemplo, a parte superior e a parte inferior de uma barra vertical seriam expressas na forma de uma função de x.
Quando você montar sua integral dupla, a integral interna corresponderá a integrar ao longo de uma dessas barras, e cada um de seus limites será uma função da variável externa. Se a integral interna corresponder a valores constantes de x, a integral dupla como um todo poderá ser mais ou menos assim:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Resulta em uma função de $x$}}dx \end{aligned}$

Alternativamente, se você começou com partes horizontais com valores constantes de y, a integral dupla poderá ser mais ou menos assim:

\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Resulta em uma função de $y$}}dy \end{aligned}

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Gustavo Gotardo
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Apenas avisando: O 2º par...” de Gustavo Gotardo
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O 2º parágrafo do Resumo não foi traduzido e encontra-se em inglês.
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