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Cálculo multivariável
Coordenadas polares
Introdução a coordenadas polares.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Até agora nós temos lidado com coordenadas de pontos no sistema cartesiano. São as coordenadas cartesianas. Você pode lembrar bem, revendo alguns vídeos
sobre esses assuntos, e para facilitar,
vamos usar um exemplo. Eu vou tomar o ponto aqui
cujas coordenadas são (3; 4) Lembrando: primeiro x,
depois y. Isto é uma questão de convenção. O ponto (3; 4) está aqui. Ele tem a abcissa 3 e a ordenada 4. Este, nas coordenadas cartesianas,
é o ponto (3; 4). Entretanto, existe,
ou melhor, existem outras formas
de localizar pontos no plano que não sejam por meio
das coordenadas cartesianas. Por exemplo, interpretando um pouco
o que temos aqui, 3 significa que este ponto está, a partir da origem, três unidades à direita percorrendo o caminho do eixo x, e 4 significa que
a partir da origem, este ponto
está quatro unidades acima percorrendo
o caminho do eixo y. Muito bem. Nós poderíamos,
por exemplo, estar preocupados em saber
como é que esse ponto é localizado partindo da origem
e indo em uma direção que vai direto
ligar a origem a ele. Algo assim. Nesta direção. Escrever as coordenadas
desse ponto pensando em relação
ao comprimento deste segmento. Para isso também precisamos
de algumas convenções, e a primeira delas
é que o ângulo formado aqui, que nós vamos analisar, é marcado neste sentido. Vamos indicar esse ângulo
pela letra grega θ (teta). Então é um ângulo de θ graus. Vamos usar graus aqui, mas é facilmente convertido
para radianos, se for o caso. Isso determina a direção que temos
em relação ao eixo x para sair de origem
e chegar até o ponto dado. Mas eu preciso saber também o comprimento desse segmento, que é distância do ponto dado
até a origem, em linha reta,
naturalmente. Vamos chamar
essa distância de "r". No final, o que desejamos é... Observando que quando tínhamos
as coordenadas cartesianas nós escrevíamos as
coordenadas do ponto através de x, os valores de x e y,
respectivamente. O que nós pretendemos, agora, é reescrever as coordenadas
deste mesmo ponto usando estas duas informações:
r e θ, ou seja, a distância que ele está da origem e qual o ângulo de inclinação a partir do eixo x. A primeira informação
que podemos ter aqui é que, ao observar
este triângulo retângulo formado, aqui temos quatro unidades
e aqui temos três unidades. Usando o teorema de Pitágoras, temos r² igual a 3² mais 4². Fazendo as contas,
o r vai resultar em 5. Então, neste caso, temos uma distância
de cinco unidades do ponto dado
até a origem do sistema. Já temos o "r", agora temos que nos preocupar
em obter θ. Olhando novamente
neste triângulo retângulo, pensando no ângulo θ, conhecemos o cateto oposto a ele
e o cateto adjacente ao ângulo θ. Voltando lá para trigonometria, nós sabemos que existe a razão trigonométrica
chamada tangente. A tangente do ângulo θ
é o cateto oposto ao ângulo θ dividido pelo cateto adjacente
ao ângulo θ. Se você não se lembra disso, se não está sentindo
familiaridade com isso, eu sugiro que você retome os vídeos
sobre trigonometria básica. Muito bem. Então aqui teríamos,
neste caso, a tangente de θ igual... O cateto oposto a θ
mede 4 unidades e o cateto adjacente
mede 3 unidades. Eu quero saber θ. θ é um ângulo cuja tangente resulta
em quatro terços. θ é o ângulo
cuja tangente é 4/3. Existe uma função para isso,
que é inversa da tangente. θ é o que a gente chama
de arco tangente de 4/3. É a função inversa da tangente. Eu sei que a tangente do ângulo é 4/3, então o ângulo é o arco tangente de 4/3. Então eu vou procurar, usando uma calculadora, esse valor. Digitando na calculadora, eu uso a função que aparece como tan⁻¹,
ou seja, tangente -1. Esse -1 não é de expoente,
de elevado, mas de função inversa
de 4/3. Ao apertar o sinal,
a tecla de igual, eu vou ter
53,13 graus. A minha calculadora
já está configurada para graus, então θ vale 53,13°. Voltando para cá, nós temos as coordenadas
desse ponto desta forma, com 5 para r
e para θ, 53,13°. Estas são as coordenadas polares
deste ponto, indicado aqui. Estas coordenadas
representam o mesmo ponto que antes estava representado por (3; 4) nas coordenadas cartesianas. Essas coordenadas
aqui no plano querem dizer que
a partir do eixo x no sentido anti-horário você deve girar
53,13° e a partir desse giro,
depois desse giro, você deve percorrer
cinco unidades e este local vai ser o ponto
ao qual nós nos referíamos antes. Nós fizemos isto
para um ponto específico, mas como ficaria,
de maneira geral, tomar um ponto nas coordenadas cartesianas,
indicado nas coordenadas cartesianas, e escrever
as suas coordenadas, de modo a ter
as coordenadas polares? Temos aqui os eixos x e y. Vamos tomar
um valor qualquer arbitrário para x e um valor arbitrário para y que vão ser as coordenadas cartesianas
deste ponto. Aqui temos o ponto (x; y)
nas coordenadas cartesianas e o que queremos fazer
é localizar o mesmo ponto usando
as coordenadas polares (r; θ). Sendo que esta distância é "r" e este ângulo é θ. Uma informação
que fica bem evidente é, ao olhar o triângulo retângulo
que se forma aqui... Aqui está ele. Neste triângulo retângulo, este cateto mede y,
este cateto mede x. Então, naturalmente,
pelo teorema de Pitágoras, r² igual a x² mais y², ou seja, dados x e y, eu consigo, pelo teorema de Pitágoras,
obter "r". O que precisamos, agora, são meios para,
a partir de x e y, obter θ. A ideia é a seguinte: como eu já sei os valores
de x, y e r, eu posso usar a trigonometria
para me ajudar a obter θ. Como nós temos
as duas coordenadas, x e y, eu vou escrever x
em termos de r e θ. E para y, a mesma coisa. Olhando para θ, para x
e para r, x é o cateto adjacente a θ, r é a hipotenusa. Voltando lá na trigonometria, seno é cateto oposto
sobre hipotenusa, cosseno é o cateto adjacente
sobre hipotenusa e tangente é o cateto oposto
sobre hipotenusa, ou “SOH CAH TOA”, como gostam
de mencionar muitas vezes. O cosseno de θ vai relacionar x com r. Então cosseno de θ é igual ao
cateto adjacente ao θ, que é x, dividido pelo hipotenusa,
que é r. Multiplicando
os dois lados por "r", eu vou ter x igual a
r vezes cosθ. Para y. y é o cateto oposto a θ
e r, a hipotenusa. O seno tem essa relação: seno de θ é cateto oposto
sobre a hipotenusa. Cateto oposto a θ é y,
e hipotenusa é r. Multiplicando
os dois lados por "r", y vai ficar igual a r vezes senθ. Temos ainda a tangente
que pode ser utilizada. A tangente de θ,
neste caso, é cateto oposto, y,
dividido por x. Cateto oposto a θ dividido
pelo cateto adjacente. tgθ é y dividido por x. Com estas informações todas
que estão aqui, facilmente
nós conseguimos trabalhar transformando
coordenadas cartesianas em coordenadas polares
e vice-versa, que vai ser tema
do próximo vídeo. Até lá!