Coordenadas polares

RKA4JL - Até agora nós temos lidado com coordenadas de pontos no sistema cartesiano. São as coordenadas cartesianas. Você pode lembrar bem, revendo alguns vídeos sobre esses assuntos, e para facilitar, vamos usar um exemplo. Eu vou tomar o ponto aqui cujas coordenadas são (3; 4) Lembrando: primeiro x, depois y. Isto é uma questão de convenção. O ponto (3; 4) está aqui. Ele tem a abcissa 3 e a ordenada 4. Este, nas coordenadas cartesianas, é o ponto (3; 4). Entretanto, existe, ou melhor, existem outras formas de localizar pontos no plano que não sejam por meio das coordenadas cartesianas. Por exemplo, interpretando um pouco o que temos aqui, 3 significa que este ponto está, a partir da origem, três unidades à direita percorrendo o caminho do eixo x, e 4 significa que a partir da origem, este ponto está quatro unidades acima percorrendo o caminho do eixo y. Muito bem. Nós poderíamos, por exemplo, estar preocupados em saber como é que esse ponto é localizado partindo da origem e indo em uma direção que vai direto ligar a origem a ele. Algo assim. Nesta direção. Escrever as coordenadas desse ponto pensando em relação ao comprimento deste segmento. Para isso também precisamos de algumas convenções, e a primeira delas é que o ângulo formado aqui, que nós vamos analisar, é marcado neste sentido. Vamos indicar esse ângulo pela letra grega θ (teta). Então é um ângulo de θ graus. Vamos usar graus aqui, mas é facilmente convertido para radianos, se for o caso. Isso determina a direção que temos em relação ao eixo x para sair de origem e chegar até o ponto dado. Mas eu preciso saber também o comprimento desse segmento, que é distância do ponto dado até a origem, em linha reta, naturalmente. Vamos chamar essa distância de "r". No final, o que desejamos é... Observando que quando tínhamos as coordenadas cartesianas nós escrevíamos as coordenadas do ponto através de x, os valores de x e y, respectivamente. O que nós pretendemos, agora, é reescrever as coordenadas deste mesmo ponto usando estas duas informações: r e θ, ou seja, a distância que ele está da origem e qual o ângulo de inclinação a partir do eixo x. A primeira informação que podemos ter aqui é que, ao observar este triângulo retângulo formado, aqui temos quatro unidades e aqui temos três unidades. Usando o teorema de Pitágoras, temos r² igual a 3² mais 4². Fazendo as contas, o r vai resultar em 5. Então, neste caso, temos uma distância de cinco unidades do ponto dado até a origem do sistema. Já temos o "r", agora temos que nos preocupar em obter θ. Olhando novamente neste triângulo retângulo, pensando no ângulo θ, conhecemos o cateto oposto a ele e o cateto adjacente ao ângulo θ. Voltando lá para trigonometria, nós sabemos que existe a razão trigonométrica chamada tangente. A tangente do ângulo θ é o cateto oposto ao ângulo θ dividido pelo cateto adjacente ao ângulo θ. Se você não se lembra disso, se não está sentindo familiaridade com isso, eu sugiro que você retome os vídeos sobre trigonometria básica. Muito bem. Então aqui teríamos, neste caso, a tangente de θ igual... O cateto oposto a θ mede 4 unidades e o cateto adjacente mede 3 unidades. Eu quero saber θ. θ é um ângulo cuja tangente resulta em quatro terços. θ é o ângulo cuja tangente é 4/3. Existe uma função para isso, que é inversa da tangente. θ é o que a gente chama de arco tangente de 4/3. É a função inversa da tangente. Eu sei que a tangente do ângulo é 4/3, então o ângulo é o arco tangente de 4/3. Então eu vou procurar, usando uma calculadora, esse valor. Digitando na calculadora, eu uso a função que aparece como tan⁻¹, ou seja, tangente -1. Esse -1 não é de expoente, de elevado, mas de função inversa de 4/3. Ao apertar o sinal, a tecla de igual, eu vou ter 53,13 graus. A minha calculadora já está configurada para graus, então θ vale 53,13°. Voltando para cá, nós temos as coordenadas desse ponto desta forma, com 5 para r e para θ, 53,13°. Estas são as coordenadas polares deste ponto, indicado aqui. Estas coordenadas representam o mesmo ponto que antes estava representado por (3; 4) nas coordenadas cartesianas. Essas coordenadas aqui no plano querem dizer que a partir do eixo x no sentido anti-horário você deve girar 53,13° e a partir desse giro, depois desse giro, você deve percorrer cinco unidades e este local vai ser o ponto ao qual nós nos referíamos antes. Nós fizemos isto para um ponto específico, mas como ficaria, de maneira geral, tomar um ponto nas coordenadas cartesianas, indicado nas coordenadas cartesianas, e escrever as suas coordenadas, de modo a ter as coordenadas polares? Temos aqui os eixos x e y. Vamos tomar um valor qualquer arbitrário para x e um valor arbitrário para y que vão ser as coordenadas cartesianas deste ponto. Aqui temos o ponto (x; y) nas coordenadas cartesianas e o que queremos fazer é localizar o mesmo ponto usando as coordenadas polares (r; θ). Sendo que esta distância é "r" e este ângulo é θ. Uma informação que fica bem evidente é, ao olhar o triângulo retângulo que se forma aqui... Aqui está ele. Neste triângulo retângulo, este cateto mede y, este cateto mede x. Então, naturalmente, pelo teorema de Pitágoras, r² igual a x² mais y², ou seja, dados x e y, eu consigo, pelo teorema de Pitágoras, obter "r". O que precisamos, agora, são meios para, a partir de x e y, obter θ. A ideia é a seguinte: como eu já sei os valores de x, y e r, eu posso usar a trigonometria para me ajudar a obter θ. Como nós temos as duas coordenadas, x e y, eu vou escrever x em termos de r e θ. E para y, a mesma coisa. Olhando para θ, para x e para r, x é o cateto adjacente a θ, r é a hipotenusa. Voltando lá na trigonometria, seno é cateto oposto sobre hipotenusa, cosseno é o cateto adjacente sobre hipotenusa e tangente é o cateto oposto sobre hipotenusa, ou “SOH CAH TOA”, como gostam de mencionar muitas vezes. O cosseno de θ vai relacionar x com r. Então cosseno de θ é igual ao cateto adjacente ao θ, que é x, dividido pelo hipotenusa, que é r. Multiplicando os dois lados por "r", eu vou ter x igual a r vezes cosθ. Para y. y é o cateto oposto a θ e r, a hipotenusa. O seno tem essa relação: seno de θ é cateto oposto sobre a hipotenusa. Cateto oposto a θ é y, e hipotenusa é r. Multiplicando os dois lados por "r", y vai ficar igual a r vezes senθ. Temos ainda a tangente que pode ser utilizada. A tangente de θ, neste caso, é cateto oposto, y, dividido por x. Cateto oposto a θ dividido pelo cateto adjacente. tgθ é y dividido por x. Com estas informações todas que estão aqui, facilmente nós conseguimos trabalhar transformando coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa, que vai ser tema do próximo vídeo. Até lá!