Integrais duplas 1

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos conversar a respeito de integrais duplas e até agora nós já Vimos que é integral pode ser utilizada para calcular a área sob uma curva mas se você não lembra vamos dar uma revisada aqui rapidinho e para isso Digamos que você tem um plano cartesiano aqui com o eixo X e eixo Y e tem uma função y = f de x se eu quiser descobrir a área sob a curva de X = até x igual a Bi nós queremos saber essa área aqui E para isso eu divido ela é em vários retângulos onde cada retângulo é desse jeito e como podemos calcular a área de um retângulo base vezes altura correto e essa base eu vou chamar de DX porque é uma pequena variação apenas uma variação infinitesimal o e altura é o correspondente Y que eu vou chamar de f de x Mas como eu disse aqui é só um retângulo e nessa área tem vários retângulos Como eu posso fazer para somar todos eles ou seja tem um retângulo aqui e outro aqui e outro aqui basicamente A Sara é construída por infinito G tango luz bem pequenos e aí para representar essa soma nós utilizamos esse símbolo o que é de integral que vai dia até b d f de x DX que representa a área de cada retângulo é assim que representamos a área sobre essa curva de A até B claro isso é só uma revisão mais isso vai te ajudar a entender como calcular o volume abaixo de uma superfície primeiramente o que é uma superfície se pensarmos em três dimensões nós vamos ter a função f de x y ou seja ao invés de termos y = f de x vamos ter uma função do tipo Z = f de x y e por causa disso você tem que tomar cuidado com o domínio nesse caso aqui o domínio era restrito somente a variável X E agora o nosso domínio é o plano XY ou seja nós pegamos um valor para x e um valor para y e substituímos na função e com isso vai aparecer um outro número que vai ser o z basicamente esse Z é a altura da superfície deixa eu desenhar a superfície aqui esse é o eixo X e se o eixo Y e esse o eixo Z a nossa superfície vai ser algo mais ou menos assim então a nossa superfície Z essa aqui que está em função de x os pylon então por exemplo se você tivesse uma coordenada x y aqui você colocaria na função e aí nós teríamos o valor de Z bem aqui nessa superfície e para calcular o volume dela nós precisamos especificar os limites correto aqui por exemplo nós tínhamos um limite de ar até B e eu posso fazer aqui uma fronteira quadrada para simplificar a nossa vida Digamos que a nossa região é essa aqui claro que desenhar isso não é uma tarefa tão fácil né mas deixa eu tentar fazer o melhor aqui algo mais ou menos assim e a projeção da superfície no plano XY vai ser essa que vai ser uma sombra e aí eu te pergunto Quais são os Limites esse aqui é o ponto zero zero no plano XY esse aqui eu posso dizer que é o y = isso porque essa reta Essa é a reta Y = já essa aqui eu posso dizer que a reta x igual a Bi ou simplesmente dizer que aqui é igual a Bi então esses são os nossos de limites agora como podemos descobrir o volume abaixo dessa superfície para isso utilizamos essa área aqui que é basicamente uma fotinha sem a espessura como se fosse uma folha de papel e isso tudo em função de y eu posso pensar nisso do mesmo jeito que eu pensei aqui eu poderia pegar uma pequena variação em fim e construir um retângulo com uma altura que seria uma função de X do Y que eu escolhi então basicamente eu peguei um Y qualquer vou pegar uma fatia dessa folha de papel e dentro dessa fatia eu vou pegar uma fatia infinitamente pequena a avaliação de x e com isso eu calcularia área de toda essa figura com infinitos retângulos nesse caso nós trabalhamos como se o y fosse uma constante basicamente toda essa superfície tem o volume e é como se pegássemos uma folha de papel desse volume então a área de um retângulo desse seria altura que é f de x y e multiplicamos pela base que nesse caso é a pequena variação em X então vezes deixes e Se quisermos saber toda essa área laranja nós calculamos a soma desses infinitos retângulos de 0 até me Ou seja a integral de 0 até b d f de x e y de X Isso vai nos ajudar uma função de Y e para calcular o volume dessa figura nós utilizamos a soma 10 é finito as folhas de papel basicamente se você tiver um Y você tem a área dessa folha de papel entre aspas que corresponde a esse y e o que acontece se eu multiplicar essa área por D Y se você multiplicar a área dessa folha de papel por uma pequena variação no Y você vai ter uma porção Fina de volume ou seja essa parte que eu estou pintando vai ser uma pequena porção do volume abaixo da superfície então basicamente o volume vai ser essa área que é a integral de 0 até b d f de x e y de X o de y agora Note que nós só pegamos uma porção de volume e Se quisermos saber o volume abaixo de toda a superfície nós podemos somar essas infinitas parte e em O que é a mesma coisa que utilizar a integral então utilizamos a integral de 0 até a a e a daí que surgimos com a ideia de integral dupla e eu espero que essa aula quem te ajudado e até a próxima pessoal