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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 5: Integrais duplas- Integrais duplas 1
- Integrais duplas 2
- Integrais iteradas
- Integrais duplas 3
- Integrais duplas 4
- Integrais duplas 5
- Integrais duplas 6
- Integrais duplas com limites variáveis
- Como encontrar o limites de regiões
- Mudança de limites em integrais duplas
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Integrais duplas 1
Introdução à integral dupla. Versão original criada por Sal Khan.
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- nao entendo o ingles e os vidios estao em ingles o que fazer para ficar em portugues(0 votos)
- Então meus queridos,
Aparentemente nem todos os vídeos tem legenda traduzida! É um trabalho colaborativo. Os que tiverem legenda em portugues pode ser acessado através das legendas no próprio ap do youtube!(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos conversar
a respeito de integrais duplas e até agora nós já vimos
que a integral pode ser utilizada para calcular a área
sob uma curva. Mas se você não lembra,
vamos dar uma revisada aqui rapidinho. E, para isso, digamos que você tenha
um plano cartesiano aqui com o eixo x e o eixo y,
e tem uma função “y” igual a “f(x)”, se eu quiser descobrir a área
sob a curva de x igual a “a” até x igual a “b”, nós queremos saber
essa área aqui. Para isso, eu divido ela em vários retângulos,
onde cada retângulo é desse jeito. E como podemos calcular a área
de um retângulo? Base vezes altura, correto? E essa base eu vou chamar de “dx”
porque é uma pequena variação apenas. Uma variação infinitesimal. E a altura é o correspondente “y”
que eu vou chamar de “f(x)”. Mas, como eu disse, é só um retângulo
e, nessa área, tem vários retângulos. Como eu posso
somar todos eles? Ou seja, tem um retângulo aqui
e outro aqui e outro aqui. Essa área é construída
por infinitos retângulos bem pequenos. E aí, para representar essa soma, nós utilizamos este símbolo,
que é de integral, que vai de “a” até “b” de “f(x)dx”,
que representa a área de cada retângulo. É assim que representamos a área
sob essa curva de “a” até “b”. Claro, isso é só uma revisão,
mas isso vai te ajudar a entender como calcular o volume
abaixo de uma superfície. Primeiramente,
o que é uma superfície? Se pensarmos em três dimensões,
nós vamos ter uma função f(x,y). Ou seja, em vez de
termos y igual a f(x), vamos ter uma função do tipo z
igual a f(x,y). Por causa disso, você tem
que tomar cuidado com o domínio. Nesse caso, o domínio era restrito
somente à variável “x”. E agora o nosso
domínio é o plano x,y. Ou seja, nós pegamos um valor para “x”
e um valor para “y” e substituímos na função e, com isso, vai aparecer
um outro número, que vai ser o “z”. Esse “z” é a altura da superfície.
Deixa eu desenhar a superfície aqui. Este é o eixo x. Este, o eixo y.
E, este, o eixo z. A nossa superfície vai ser algo
mais ou menos assim. Então a nossa superfície “z” é essa aqui,
que está em função de “x” e “y”. Então, por exemplo, se você tivesse
uma coordenada “x,y” aqui, você a colocaria na função, e aí, nós teríamos
o valor de “z” bem aqui nessa superfície. Para calcular o volume dela,
nós precisamos especificar os limites, correto? Aqui, por exemplo, nós tínhamos
um limite de “a” até “b” e eu posso fazer uma fronteira quadrada
para simplificar a nossa vida. Digamos que a nossa
região é essa aqui. Claro que desenhar isso
não é uma tarefa tão fácil, mas deixa eu tentar fazer o melhor.
Algo mais ou menos assim. E a projeção da superfície no plano “x,y”
vai ser essa aqui. Vai ser uma sombra. Aí eu pergunto,
quais são os limites? Esse aqui é o ponto zero zero
no plano “x,y”. Esse aqui eu posso dizer
que é o y igual a “a”. Isso porque essa reta é a reta y
igual a “a”. Já essa aqui, eu posso dizer
que é a reta x igual a “b”. Ou simplesmente
dizer que é igual a “b”. Esses são os nossos de limites. Agora, como podemos descobrir o volume
abaixo dessa superfície? Para isso, utilizamos essa área aqui, que é como uma fatia sem espessura,
como se fosse uma folha de papel. Isso tudo em função de “y”. Eu posso pensar nisso do mesmo jeito
que eu pensei aqui. Eu poderia pegar uma
pequena variação em “x” e construir um retângulo com uma altura
que seria uma função de “x” do “y” que eu escolhi. Então eu peguei um y qualquer,
vou pegar uma fatia dessa folha de papel e, dentro dessa fatia, eu vou pegar
uma fatia infinitamente pequena com uma variação de “x”. Com isso, eu calcularia a área
de toda essa figura com infinitos retângulos. Nesse caso, nós trabalhamos
como se o “y” fosse uma constante. Toda essa superfície
tem um volume, e é como se pegássemos
uma folha de papel desse volume. Então a área de um retângulo desse
seria a altura, que é “f(x,y)” e multiplicamos pela base,
que nesse caso é a pequena variação em “x”. Então, vezes “dx”. Se quisermos saber
toda essa área laranja, nós calculamos a soma desses
infinitos retângulos de zero até “b”. Ou seja, a integral de zero até
“b” de “f(x,y)dx”. Isso vai nos dar
uma função de “y”. Para calcular o
volume dessa figura, nós utilizamos a soma
dessas infinitas folhas de papel. Basicamente, se você tiver um “y”, você tem a área dessa folha de papel,
entre aspas, que corresponde a esse “y”. E o que acontece se eu multiplicar
essa área por “dy”? Se você multiplicar a área dessa folha de papel
por uma pequena variação no “y”, você vai ter uma
porção fina de volume. Essa parte que eu estou pintando vai ser
uma pequena porção do volume abaixo da superfície. Então o volume vai
ser essa área, que é a integral de zero
até “b” de “f(x,y)dx” vezes o “dy”. Agora, note que nós só pegamos
uma porção de volume, e se quisermos saber o volume
abaixo de toda a superfície, nós podemos somar
essas infinitas partes. Isso é a mesma coisa que utilizar a integral.
Então, utilizamos a integral de zero até “a”. E é daí que surgimos com a ideia
de integral dupla. Eu espero que essa aula tenha os ajudado
e até a próxima, pessoal!