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Transcrição de vídeo

Até agora, nós usamos integrais para descobrir a área abaixo de uma curva. Vamos rapidamente revisar a parte intuitiva, apesar de isso já ser trivial para você. Se não é, talvez você queira revisar os vídeos de Integrais Definidas. Se eu tenho uma função - esse é o plano xy, eixo-x, eixo-y - eu tenho uma função. Vamos chamá-la de y, que é igual a uma função qualquer de x. Me dê um x que eu te dou um y. Se eu quiser achar a área debaixo dessa curva entre, digamos x = a e x = b. Logo essa é a área que eu quero descobrir. Essa área bem aqui. O que eu faço é dividir a curva em várias colunas ou vários retângulos. Onde - deixe-me desenhar um desses retângulos - você pode ver (há várias maneiras de fazer isto), mas isso é só uma revisão. Esse pode ser um dos retângulos. Ora, a área do retângulo é somente a base vezes a altura, certo? Bem, nós vamos fazer retângulos bem finos e somar infinitos deles. Logo, queremos fazê-los infinitesimalmente pequenos. Vamos chamar a base desse retângulo de dx. Então a altura dele será f(x), naquele ponto. Então será f de - se aqui é x0, podemos chamar esse ponto de f(x), certo? Essa á a altura do retângulo. E se nós quisermos somar todos esse retângulos? Teremos infinitos deles. Um aqui, outro ali. Então nós teremos a área, se tivermos um número infinito de retângulos, e eles são finíssimos, nós achamos a área exata abaixo da curva. Essa á a parte intuitiva por trás da integral definida. E nós escrevemos isso através da integral definida. Nós vamos achar a soma de todos esses retângulos, de x = a até x = b. E a soma, ou as áreas que estamos somando, serão - a altura é f(x) e a largura é dx. Será f(x) vezes x. Essa é a área debaixo da curva. f(x0, y = f(x) de x = a até x = b. Isso é só uma revisão. Mas acho que você vai conseguir ver como estender isso para achar o volume abaixo de uma superfície. Primeiramente, o que é uma superfície? Bem, se nós pensarmos em 3 dimensões, uma superfície será uma função de x e y. Então nós podemos escrever a superfície como, ao invés de y = f(x) - desculpe. Ao invés de dizer que y é uma função de x, nós desenhamos uma superfície z = f(x,y). Então nós podemos ver isso como o domínio da função. Certo? O domínio são todos os pontos que você pode achar em uma função. Antes, o nosso domínio era somente - pelo menos para a maior parte do que nós vimos - era somente o eixo-x, ou a reta dos reais na direção do eixo-x. Agora, nosso domínio é o plano xy. Nós podemos pegar qualquer x e qualquer y - considerando somente os números reais, não vamos nos aprofundar tanto. Aí aparecerá outro número, que se desenharmos o gráfico, será a nossa altura. Então essa será a altura da superfície. Deixe-me mostrar como uma superfície se parece, caso você não se lembre. Nós vamos descobrir o volume abaixo dessa superfície. Isso é uma superfície. Já já eu mostro a função, é bem legal de ver o gráfico. Como você pode ver, é uma superfície. É como um pedaço de papel dobrado. Vamos rodar de volta até a forma tradicional. Então, essa é a direção x, e essa é a direção y. E a altura é a função de onde estamos no plano xy. Assim, como podemos calcular o volume debaixo de uma superfície como essa? Como nós descobrimos o volume? Parece uma extensão do que nós já estudamos sobre isso Mas e se - eu vou desenhar uma superfíce abstrata agora, desenhar os eixos. Vejamos, esse é o meu eixo-x. Esse é o meu eixo-y. E esse é o eixo-z. Eu não pratico esse vídeos antes, então eu tenho que imaginar o que eu vou desenhar agora. Certo, então, esses são os eixos x, y e z. Então, digamos que eu tenha uma superfície. Vou desenhar qualquer coisa. Eu não sei o que é... Uma superfície qualquer. Essa é a nossa superfície. Z, que é uma função de x e y. Então, por exemplo, se você me der uma coordenada (x,y) Digamos, aqui. Eu colocarei na função e teremos o valor de z naquele ponto. Eu ponho ali e será um ponto na superfície. O que nós queremos calcular é o volume debaixo de uma superfície Ora, nós temos que especificar os limites, certo? Daqui, dizemos que x = a até x = b. Vamos fazer uma fronteira quadrada, para simplificar. Então, digamos que o domínio, ou região - domínio não, a região - a região xy desta parte da superfície, Que abaixo dela nós queremos calcular o volume Vamos dizer que a sombra da superfície seria bem aqui Tentarei meu máximo para desenhar bem. Então, é daqui que nós partimos para calcular o volume. Então, se eu quiser desenhar no plano xy, para você pode ver a projeção da superfície no plano xy, ou a sombra da .superfície no plano xy Quais são as fronteiras? Quais são as fronteiras do domínio? Bem, digamos que neste ponto, esse aqui, por exemplo, (0,0) no plano xy. Digamos que y é igual a - não sei, que y = a. Essa linha aqui. y = a E digamos que essa linha aqui é x = b. Fácil de ver, certo? Esse é o plano xy. Se nós temos uma constante x, seria uma linha como essa. Um y constante, uma linha assim. Logo, nós temos a área entre as linhas. Então, como nós descobrimos o volume abaixo da curva? Então, se eu quiser descobrir a área digamos, desta casca. Nós temos a - não, deixa eu tentar de outro jeito. Digamos que eu tenha uma constante y. Podemos pensar que eu tenho uma casca... Eu não quero confundir vocês. Digamos que eu tenha um y constante. Quero que vocês peguem a intuição. Você sabe, vamos dizer. Não sei, aqui temos um y qualquer. Para alguma constante y, e se nós pudéssemos descobrir a área debaixo da curva aqui? Como eu poderia calcular apenas a área debaixo dessa curva? A área será uma função do y que eu escolher, certo? Porque se eu escolher um y aqui, será uma área diferente. Se eu escolher um y aqui, será uma outra área. Mas eu posso ver esse problema como uma extensão desse aqui. Eu poderia ter os meus dx - vou pegar uma cor forte para vocês verem. Digamos que esse é o meu dx, certo? Essa é uma variação de x. Então a altura será uma função do x que eu tenho e do y que eu escolhi. Mesmo, que, no entanto, eu esteja assumindo que y é constante. Então o que seria a área dessa folha de papel? É como se fosse um y constante. É uma folha de papel desse volume. Podemos analisar dessa forma. Logo, seria - nós dizemos que a altura de cada um desse retângulo é f(x,y), certo? Essa é a altura. Vai depender de que x e y eu escolher aqui. E, então, sua largura será dx E se nós integrarmos, de x = 0 Que é daqui até o x = b O que nós acharíamos? Seria algo assim. x varia de 0 até b. Perfeito. E isso vai dar em uma função de y. Seria uma expressão que eu poderia achar a área dessa casca de volume, para cada valor de y. Se você me der um y, eu digo a área daquela casca que corresponde àquele y. Agora, o que eu posso fazer? Se eu sei a área de cada casca, e se eu multiplicar essa área por dy? Este é o dy, vou desenhar em uma cor forte. Logo dy, uma pequena variação de y. Se eu multiplicar essa área por um pequeno dy, então eu tenho uma fina porção de volume. Espero que faça sentido. Eu estou pegando aquele pequeno corte que eu tomei a área e tornando-o tridimensional. Então, qual seria o volume daquela casca? O volume sera essa função de y vezes dy, ou tudo isso vezes dy. Então seria a integral, variando de 0 a b de f(x,y) dx. Que vai nos dar a área dessa folha azul. Agora, se eu multiplicar tudo isso por dy, eu tenho esse volume. Ganha profundidade. Essa pequena área sombreada aqui ganha profundidade. Agora, se nós somarmos todas essas folhas que têm profundidade, se eu somar infinitamente, ou seja, tomar a integral, da fronteira de 0 a y, então - baseado na nossa intuição até aqui, talvez eu tenha conseguido calcular o volume debaixo dessa superfície. De qualquer modo, não quero confundir vocês. Essa é a parte intuitiva do que nós faremos. E eu acredito que que vocês vão achar que calcular volumes debaixo de curvas é bastante simples, ainda mais se as fronteiras x e y forem fixas. E é isso que nós faremos no próximo vídeo Até.