Integrais duplas 2

RKA22JL - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício a respeito de integral dupla, que nada mais é do que calcular o volume abaixo de uma superfície e, para isso, digamos que eu tenha aqui uma função z que é igual a x vezes y ao quadrado, o que significa que ela é uma superfície em um espaço tridimensional e o que queremos calcular é o volume entre essa superfície e o plano x,y. E, com isso, precisamos saber qual é o domínio dessa função. Nesse caso em específico, vamos dizer que o x varia entre zero e 2, e o y varia entre zero e 1. O gráfico vai ser algo mais ou menos assim, mas, como eu limitei, eu vou pegar somente uma parte e eu vou tentar desenhar essa parte aqui. E, para isso, eu coloco os meus eixos de coordenadas aqui, o eixo x, o y e o z, e o x varia de zero até 2, e o y varia de zero até 1. O que queremos é calcular o volume da curva sob esse retângulo no plano x,y. A parte da curva que eu estou procurando é algo mais ou menos assim e, só para o meu desenho ficar com uma certa profundidade, eu vou colocar uma sombra aqui também, que fica na superfície e esse é o canto inferior esquerdo e, aqui, é a parte superior da curva. O volume que queremos calcular é esse aqui. Eu não desenhei isso tão bem, mas o que importa de fato é a ideia. E o que acontece se pegarmos valores de x e y aleatórios e calcularmos a área abaixo dessa curva? Se escolhermos um valor de y constante, nós vamos ter uma função que depende apenas do x, e isso significa que nós estamos calculando essa área aqui abaixo da curva. É como se fosse uma fatia desse volume. Por exemplo, se o y for igual a 5, vamos ter 5 ao quadrado e, aí, essa função de z vai ser igual a 25x. Com isso, a área vai depender apenas do x. E, por causa disso, você tem uma pequena variação do x que eu posso chamar de dx. Quando você substitui essa pequena variação na função, isso vai dar uma altura que vai ser um valor de z, e, aí, nós vamos ter um retângulo que tem uma área infinitesimalmente pequena. E, para descobrir essa área, nós somamos as áreas desses infinitos retângulos, que é a mesma coisa que calcular a integral dessa função. E, como calculamos a área desse retângulo? Pegamos a base e multiplicamos pela altura, que é o z. Então, vamos ficar com x vezes y ao quadrado, vezes dx. Então, se quisermos saber essa área aqui, basta aplicarmos a integral de zero até 2. Mas olhe só, nós não queremos saber somente a área dessa fatia, desse pedaço. Nós queremos calcular o volume entre essa superfície e o plano x,y. Para acharmos o volume, precisamos ter certa profundidade, correto? Com isso, podemos colocar uma profundidade a essa fatia, que eu posso chamar de dy. E, quando eu faço isso, nós ficamos com uma fatia, aqui, tridimensional. Uma fatia com uma certa profundidade. Então, você multiplica isso aqui por dy, que foi a profundidade que você deu a essa fatia. E, para calcular o volume pedido, basta somar essas infinitas fatias com profundidade, que é a mesma coisa que aplicar a integral de zero até 1. Claro, essa superfície que eu peguei aqui, de certa forma, é até um pouco difícil de visualizar. Mas você pode olhar outras superfícies, olhar graficamente e tentar fazer isso sozinho. E, olhando para essa integral dupla, como podemos resolvê-la? Você avalia de dentro para fora. Isso significa que você vai resolver primeiro essa parte, que é a mesma coisa que derivar x vezes y ao quadrado em relação a x. E, quando você faz isso, o y se torna uma constante, correto? É como se ele fosse 5, 10, uma constante qualquer. E qual é a derivada de x vezes y ao quadrado em relação a x? É x ao quadrado sobre 2, vezes y ao quadrado, já que estamos tratando esse y como constante, e avaliamos isso de zero até 2. E, depois disso, aplicamos a integral de zero até 1 em relação a y. E, aplicando o teorema fundamental do cálculo aqui, vamos pegar esse 2 e substituir no lugar do x. Vamos ficar com 2 ao quadrado, que dá 4 dividido por 2, que vai ser 2, e que multiplica o y ao quadrado. Então, 2y ao quadrado, e subtraímos isso pelo valor da função quando avaliamos em zero. Mas, veja: zero ao quadrado vai dar zero e, aí, essa parte vai dar zero e, se multiplicarmos por y ao quadrado, também vamos ficar com zero. Ou seja, vamos ficar somente com 2y ao quadrado. E, agora, resolvemos a integral de zero até 1 desse 2y ao quadrado em relação a y. E qual é a integral de 2y ao quadrado em relação a y? É ⅔ de y ao cubo, e avaliamos isso de zero até 1. E, fazendo isso, vamos ficar com ⅔ vezes zero ao cubo, menos o valor da função quando substituímos 1 no lugar do y. Então, ⅔ vezes 1 ao cubo, que é ⅔, ou seja, a área pedida é ⅔. E algo interessante é que quando fazemos essa parte interna, isso quer dizer que estamos pegando essa fatia aqui sem profundidade e, depois disso, nós calculamos as infinitas fatias com profundidade e isso vai ser igual a ⅔. Eu espero que essa aula tenha ajudado, e até a próxima, pessoal!