Integrais duplas 3

o Olá pessoal tudo bem em uma de nossas aulas nós descobrimos o volume entre uma superfície que era x y ao quadrado e do plano XY x e e de 0 a 2 e y de 0 a 1 e a forma que foi utilizada para descobrir o volume foi integrar em relação a x primeiro e depois em relação à Y porém é possível fazer o inverso e é bem legal conseguir a mesma resposta por dois métodos diferentes aumenta seu leque de opções na hora de resolver esse tipo de problema e para facilitar a visualização eu vou refazer todo o desenho do gráfico tem ou não eixo X ou eixo Y e o meu eixo Z e em baixo é o meu plano XY Y vai de 0 a 1 x vai de 0 a 2 em um ponto x = 1 e no outro x = 2 e o nosso gráfico vai para cima e depois para baixo e o volume que é relevante para nós estar embaixo desse gráfico e essa é a parte debaixo da superfície agora para integrar em relação aí o primeiro vamos manter o x constante por isso dado x que vai ter essa representação no gráfico podemos ver como função de x y e se x é uma constante e nesse caso temos noção que seria um z = y ao quadrado e é bem fácil de descobrir a área dessa forma todo dado x vamos ter uma curva igual a essa que eu desenhei e o que podemos tentar primeiro é descobrir a área dessa curva para isso Como disse antes podemos ver a nossa função na esquerda superior em que z = x e y ao quadrado mas como x na situação é uma constante para descobrir a área precisamos pegar de y uma mudança em Y da e multiplicamos isso pela altura que é x y ao quadrado e faremos as integração de y = 0 até Y igual a 1 agora para o volume debaixo de toda essa superfície nós multiplicamos a área vezes de x e Dada a limitação que temos nós integramos de x = 0 a 2 e se lembramos bem na área que começamos temos uma função e já que nosso X é constante mas uma informação importante sobre isso é que caso fosse um X diferente a área também Iria mudar então ao calcular a integral de dentro em relação à Y vamos conseguir uma função de x e a partir disso Recebemos a informação do volume assim ao calcular a nossa integral a primitiva de y ao quadrado é y elevado ao cubo sobre três e por x ser constante XY sobre três calculamos isso de 01 e a integral de fora ainda é em relação a x por fim colocamos um DX nosso Y = 11 elevado ao cubo é um e ao calcular vezes zero tudo se torna zero por isso nossa expressão fica x sobre 3 Ainda temos a integral de fora de 0 a 2 e o deixes Isso significa que a área que iniciamos é x sobre 3 e isso é a variável do X que você pega se x = 1 essa área se torna um sobre três mas agora que temos essa informação vamos integrar ao longo de a superfície pegar o nosso volume e como função de X vamos calculado do jeito de sempre a primitiva de x é x ao quadrado sobre dois temos um sub três E isso se torna x ao quadrado sobre 2 x 3 ou seja seis calculamos em 0 e 2 ao popular em dois vamos ter quatro sobre seis depois ao calcular a zero vamos ter zero então - 04 sub-6 é o mesmo que 2 sobre três de forma simplificada e 2 sobre três é o volume que está debaixo da superfície e é isso Pessoal espero que tenha aprendido e até a próxima