Integrais duplas 3

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Em uma de nossas aulas, nós descobrimos o volume entre uma superfície que era xy². E no plano (x, y), "x" ia de zero a 2 e "y" ia de zero a 1. E a forma que foi utilizada para descobrir o volume, foi integrar em relação a "x" primeiro e, depois, em relação a "y". Porém, é possível fazer o inverso, e é bem legal conseguir a mesma resposta por dois métodos diferentes. Aumenta seu leque de opções na hora de resolver este tipo de problema. E para facilitar a visualização, vou refazer todo o desenho do gráfico Eu tenho o meu eixo "x", o meu eixo "y", e o meu eixo "z". E embaixo é o meu plano (x, y). "y" vai de zero a 1. "x" vai de zero a 2. Em um ponto "x" é igual a 1, e no outro, "x" é igual a 2. E o nosso gráfico vai para cima e depois para baixo. E o volume que é relevante para nós está embaixo deste gráfico. E esta é a parte debaixo da superfície. Agora, para integrar em relação a "y" primeiro, vamos manter o "x" constante. Por isso, dado o "x" que vai ter esta representação no gráfico, podemos ver como função de (x, y). E se "x" é uma constante e, neste caso, temos noção que seria "z = y²". E é bem fácil descobrir a área desta forma. Todo dado "x", vamos ter uma curva igual a esta que eu desenhei. E o que podemos tentar primeiro é descobrir a área desta curva. Para isso, como eu disse antes, podemos ver a nossa função na esquerda superior, em que "z = xy²". Mas como "x" na situação é uma constante, para descobrir a área, precisamos pegar "dy", uma mudança em "y", daí multiplicamos isso pela altura que é xy². E faremos esta integração de "y = 0" até "y = 1". Agora, para o volume debaixo de toda esta superfície, nós multiplicamos a área vezes "dx". E dada a limitação que temos, nós integramos de "x = 0" a "x = 2". E se lembramos bem, na área que começamos, temos uma função de "x", já que o nosso "x" é constante. Mas uma informação importante sobre isso é que caso fosse um "x" diferente, a área também iria mudar. Então, ao calcular a integral de dentro em relação a "y", vamos conseguir uma função de "x". E, a partir disso, recebemos a informação do volume. Assim, ao calcular a nossa integral, a primitiva de y² é y³/3. E por "x" ser constante, xy³/3. Calculamos isso de zero a 1, e a integral de fora ainda é em relação a "x". Por fim, colocamos um "dx". Nosso "y" é igual a 1, 1³ é 1. E ao calcular vezes zero, tudo se torna zero. Por isso, a nossa expressão fica x/3. Ainda temos a integral de fora de zero a 2, e o "dx". Isso significa que a área que iniciamos é x/3. E isto é a variável do "x" que você pega. Se "x = 1", esta área se torna 1/3. Mas, agora que temos essa informação, vamos integrar ao longo de toda a superfície. Vamos pegar o nosso volume e como função de "x", vamos calcular do jeito de sempre. A primitiva de "x" é x²/2. Temos 1/3, e isso se torna x² sobre 2 vezes 3, ou seja, 6. Calculamos em zero e 2. Ao calcular em 2, vamos ter 4/6. Depois ao calcular em zero, vamos ter zero. Então, menos zero. 4/6 é o mesmo que 2/3. De forma simplificada. E 2/3 é o volume que está debaixo da superfície. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!