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Transcrição de vídeo

-- Eu acho importante ter tantas maneiras quanto possível de se ver um certo tipo de problema, então eu quero te apresentar a uma maneira diferente. Algumas pessoas podem ter ensinado isso antes, mas o jeito como eu ensinei no primeiro vídeo de integral dupla é o jeito como eu sempre penso ao resolver os problemas. Mas as vezes, é mais útil pensar do jeito que vou lhes mostrar, e talvez você não note a diferença, ou talvez você diga, "Ei, Sal, os dois são exatamente as mesma coisa". Alguém me mandou um e-mail dizendo o que eu deveria fazer, que eu posso deslocar as coisas, e eu disse, oh, isso não é. muito difícil de fazer. Então eu fiz isso, e eu desloquei o meu desenho. Enfim, suponha que temos uma superfície em três dimensões. É uma função de x e y. Você dá a coordenada aqui em baixo, e eu vou lhe dizer qual é altura da superfície naquele ponto. E queremos descobrir o volume sob a superfície. Bem. Podemos muito bem descobrir o volume de uma coluna bem pequena debaixo da superfície. Então o volume que estamos tentando descobrir é esse, entre as linhas pontilhadas. Eu acho que dá pra vocês verem. Vocês têm alguma experiência em visualizar isso. Então suponha que eu tenho uma pequena área aqui. Podemos chamá-la de dA. Deixe-me ver se consigo desenhar isso. Digamos que temos uma pequena área aqui em baixo, um pequeno quadrado no plano x-y. E, dependendo de como você o vê, este lado dele é dx, seu comprimento é dx, e a altura, por assim dizer, nesse lado, é dy. Certo? Porque ela é uma pequena variação em y ali, e uma pequena variação em x aqui. E a área disso, essa pequena área, vai ser dx vezes dy. E se quisermos descobrir o volume do sólido entre essa pequena área e a superfície, poderíamos simplesmente multiplicar essa área pela função. Certo? Já que a altura nesse ponto vai ser o valor da função, grosso modo, nesse ponto. Certo? Isso vai ser uma aproximação, e então vamos fazer uma soma infinita. Acho que sabem para onde estamos indo. Mas deixe-me fazer isso. Deixe ao menos eu desenhar a pequena coluna que quero mostrar a vocês. Então esta é uma extremidade dela, essa é a outra extremidade, esta é a extremidade dianteira, essa é a outra extremidade. Então temos uma pequena figura que se parece com isso. Uma pequena coluna, certo? Ela atinje o topo da superfície. E o volume dessa coluna não é muito difícil. Vai ser essa pequena área aqui, que é, podemos chamar de dA. -- As vezes escrita assim. dA. É uma pequena área. E vamos multiplicar essa área pela altura dessa coluna, e ela é a função naquele ponto. É a f de x e y. E é claro, poderíamos também ter escrito isso como, este dA é apenas dx vezes dy, ou dy vezes dx. Vou escrever de todos os jeitos possíveis. Poderíamos também ter escrito f de xy vezes dx vezes dy. E é claro, uma vez que a multiplicação é associativa, eu também poderia ter escrito como f de xy vezes dy dx. Todas são equivalente, e todas representam o volume dessa coluna, que está entre essa pequena área aqui e a superfície. Então, se quisermos descobrir o volume de toda a superfície, temos algumas coisas a fazer. Poderíamos somar todos os volumes na direção x, entre o limite inferior e o superior de x, e então teríamos uma espécie de folha fina, apesar dela já ter uma certa profundidade, porque não estamos somando apenas os x. Tem também o dy ali. Então teríamos o volume de uma figura que se estenderia a partir do x inferior até o x superior, voltando dy, e retornando aqui. Se quiséssemos somar todos os dx. E se quiséssemos fazer isso, qual expressão iríamos usar? Bem, estaríamos somando primeiro em relação a x, então usaríamos essa expressão, certo? - E na verdade, poderíamos escrever aqui, mas ficaria confuso. Se estamos somando em relação a x, mas temos dy antes aqui. Na verdade é errado, mas fica um pouco ambíguo, estamos somando em relação a x ou y? Mas aqui, você poderia dizer, OK. Se queremos somar todos os dx antes, vamos fazer isso. Estamos tomando a soma em relação a x, e deixe-me, eu vou escrever, normalmente eu só escrevo números aqui, mas vou dizer, bem, o limite inferior aqui é x é igual a a, e o limite superior é x é igual a b. - E isso vai nos dar o volume de, como você pode imaginar, uma folha com profundidade, certo? A folha vai ser paralela ao eixo x, certo? E então, uma vez que temos esta folha, em meu vídeo, eu acho que é o pessoal do jornal tentando me vender algo. Enfim. Então uma vez que temos a folha, vou desenhar ela aqui também, eu não quero que o desenho fique confuso, mas uma vez que temos essa folha, então podemos integrar estes, podemos somar os dy, certo? Porque esta largura aqui ainda é dy. Poderíamos somar todos os diferentes dy, e teríamos o volume de toda a figura. Então quando fizermos essa soma, poderíamos tomar essa soma. Onde y vai da sua base, que definimos como c, de y igual a c, até o limite superior, até y, igual a d. Muito bem. E então, quando calcularmos tudo isso, vamos ter o volume deste sólido, o volume abaixo da superfície. Poderíamos ter feito de outro jeito. Eu sei que fica meio complicado, mas acho que vocês entendem o que estou dizendo. Vamos começar com o pequeno dA que tínhamos originalmente. - Em vez de irmos nessa direção, em vez de somarmos todos os dx, e obter essa folha, vamos somar os dy primeiro, certo? Então, estamos somando na direção y primeiro. Nós agora teríamos uma folha que é paralela ao eixo y. Então o topo da folha seria algo desse tipo. Se estamos com os dy primeiro, tomaríamos a soma, a integral em relação a y, e ela seria o limite inferior onde y é igual a c, e o limite superior, onde y é igual a d. E então nós teríamos uma folha com uma pequena profundidade, profundidade dx, e poderíamos ter a soma todos esses, perdão, minha garganta está seca. Acabo de comer várias amêndoas para ter energia para gravar esses vídeos. Mas quando tivermos uma dessas folhas, e se quisermos somar todos os x, então podemos tomar a soma indefinida de infinitas colunas pequenas, ou nesta visão, folhas, de profundidade infinitesimamente pequena, e o limite inferior é x igual a a, e o limite superior é x igual a b. E de novo, teríamos o volume da figura. Tudo o que eu fiz foi mostrar que há dois caminhos para se fazer a ordem da integração. Agora, outro jeito de dizer isso, se esse quadrado original fosse dA, e esse é um atalho que você verá frequentemente, especialmente em livros de física, é que estamos integrando ao longo do domínio, certo? Porque o plano x-y é o nosso domínio. Então vamos fazer uma integral dupla, uma integral de duas dimensões, onde dizemos que o domínio é bidimensional, e vamos fazer isso sobre f de x e y vezes dA. E o motivo de eu querer mostrar isso, é que vocês verão isso nos livros de física a toda hora. Eu não acho que é uma adequada. Porque é um atalho e talvez pareça mais simples, mas pra mim, sempre que eu vejo algo que eu não sei como calcular, ou que não é óbvio pra eu calcular, fica na verdade mais confuso. Então eu queria mostrar que o que vocês veem nos livros de física, quando alguém escreve isso, é exatamente a mesma coisa que isso ou isso. O dA poderia ser tanto dx vezes dy, ou dy vezes dx, e quando eles fazem essa integral dupla sobre o domínio, é a mesma coisa que somar todos esses quadrados. Onde fazemos isso aqui, estamos sendo bem disciplinados, ok? Vamos na direção x, e então somamos todos esses na direção y, e obtemos o volume todo. Ou poderíamos ir pelo outro jeito. Quando dizemos que estamos fazendo uma integral dupla, primeiro que tudo, isso nos diz que estamos fazendo em duas dimensões, sobre um domínio, o que causa um pouco de ambiguidade em termos de como a soma de todos os dA vai ser feita. E eles fazem isso propositalmente nos livros de física, porque você não precisa necessariamente de coordenadas cartesianas pra isso, usando x e y. Você pode fazer com coordenadas polares, em mil formas diferentes. Mas eu queria mostrar, esse é outro jeito de se ter uma noção intuitiva do volume sob a superfície. E essas são exatamente as mesmas notações que vocês podem vir a ver num livro de física. Às vezes, eles não escrevem um domínio, mas sim sobre uma superfície. E vamos fazer essas integrais mais tarde. Aqui a superfície é fácil, é plana, mas às vezes vai ser uma curva ou algo do gênero. Mas enfim, eu estou quase atrasado. Vejo vocês no próximo vídeo. (Legendado por Luis Eduardo)