Integrais duplas 4

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos estudar as integrais duplas. Claro, eu vou tentar fazer isso de forma que fique fácil de visualizar, e não apenas mostrar uma fórmula. Porque visualizar uma integral e saber o que você está calculando é muito importante. Para isso, digamos que eu tenha uma superfície aqui em três dimensões e que é uma função de "x" e "y", ou seja, você me dá uma coordenada neste plano e eu encontro uma altura nesta superfície. E será que é possível descobrir o volume abaixo dela? Para fazer isso, precisamos saber primeiro o volume de uma pequena coluna aqui. Ou seja, uma parte do volume. E como podemos fazer isso? Digamos que nós temos um quadrado aqui, no qual nós conseguimos descobrir a área dele, e que eu posso chamar de dA. Basicamente, é uma variação infinitesimal em "x" e em "y". A área desse quadrado vai ser dx vezes dy. E, para descobrir o volume entre essa área e a superfície, nós simplesmente a multiplicamos pela altura, que neste caso é uma função de xy. Deixe-me desenhar isso aqui para ficar melhor de ver. Então, eu levanto a altura e, com isso, vamos formar uma espécie de coluna entre o plano xy e a superfície e o que queremos saber é este volume. Para calculá-lo, nós pegamos esta área aqui, que eu posso chamar de dA, e multiplicar pela altura da coluna, que, neste caso, é f(x,y). Então, f(x,y) vezes dA. E como dA é igual a dx vezes "y", nós podemos reescrever este volume como f(x,y) vezes dx vezes dy. Você poderia também inverter o dx e o dy aqui, daria a mesma coisa. Para achar o volume entre o plano xy e esta superfície, nós podemos calcular todos os volumes na direção "x". Isso significa que nós vamos pegar vários pedacinhos de área aqui nesta direção, de x = a até x = b, ou seja, vários pedacinhos de área aqui e calculamos o volume de todas as colunas entre "a" e "b" (neste caso, o "y" é sempre constante), e somar estas infinitas colunas. Isso é a mesma coisa que calcular a integral de x = a até x = b deste volume. Ou seja, x = a é o limite inferior e x = b é o limite superior da integral. Para descobrir todo o volume, podemos variar esta coluna de y = c até y = d. Ou seja, utilizamos de novo a integral aqui de y = c até y = d. Esta é uma forma diferente de apresentar integrais duplas. Claro, se você quiser, também pode escrever f(x,y) vezes dy vezes dx. É a mesma coisa, só que a forma de pensar é um pouco diferente. Ao invés de variarmos esta coluna primeiro em relação a "x", podemos variar primeiro em relação a "y". Ou seja, uma pequena variação na superfície de y = c até y = d. Algo mais ou menos assim. E a soma desses volumes é a mesma coisa que a integral de y = c até y = d de f(x,y) vezes dy vezes dx. Para calcular todo esse volume, nós devemos aplicar a integral de x = a até x = b desta integral aqui. Uma outra maneira de pensar nisso, também, é que nós estamos resolvendo a integral dupla do domínio que, neste caso, é o plano xy, de f(x,y) vezes dA. Mas claro, esta forma de escrever geralmente aparece mais nos livros de Física. É uma forma abreviada de escrever a integral dupla. Ou seja, o dA é igual a dx vezes dy, que é a mesma coisa que dy vezes dx. E claro, eu só queria mostrar essa outra maneira de pensar nesta integral dupla. Meio que nós utilizamos estas colunas aqui. E nós podemos variar primeiro em relação a "x" e depois em relação a "y", ou então variarmos primeiro em relação a "y" e depois em relação a "x". Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!