Integrais duplas 4

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula Vamos estudar as integrais duplas claro eu vou tentar fazer isso de forma que fique fácil de visualizar e não apenas mostrar uma fórmula Porque sim visualizar uma integral e saber o que você está calculando é muito importante para isso Digamos que eu tenha uma superfície aqui em três dimensões e que é uma função de x e y ou seja você me dá uma coordenada aqui nesse plano e eu encontro uma altura aqui nessa superfície e será que é possível descobrir o volume abaixo dela para fazer isso precisamos saber primeiro o volume de uma pequena coluna aqui ou seja uma parte do volume e como podemos fazer isso Digamos que nós temos um quadrado aqui no qual nós conseguimos descobrir a área dele e que eu posso chamar de ID a base O que é uma variação infinitesimal em X em y e a área desse quadrado vai ser dxdy e para descobrir o volume entre essa área e a superfície nós simplesmente multiplicamos ela pela altura que nesse caso é uma função de x e y deixa eu desenhar isso aqui para ficar melhor de ver então eu levanto altura e com isso vamos formar uma espécie de coluna entre o plano XY e a superfície e o que queremos saber é esse volume e para calcular ele nós pegamos essa área aqui que eu posso chamar de de ar e multiplicar pela altura da coluna que nesse caso é o f de x y então f de x e y vezes de Ah e como de a = dxy nós podemos reescrever esse volume como o fim de X Y vezes dxdy e você poderia também inverter o deixe seu de y aqui daria a mesma coisa e para achar o volume entre o plano XY e essa superfície e nós podemos calcular todos os volumes na direção x Isso significa que nós vamos pegar vários pedacinhos de área aqui nessa direção de X = até x igual a Bi ou seja vários pedacinhos diária aqui e calculamos o volume de todas as colunas entre a e b nesse caso o y é sempre constante e somar essas infinitas colunas isso é a mesma coisa que calcular a integral de X = até x igual a Bi desse volume ou seja o X = é o limite inferior e hoje e o AB é o limite superior da integral e para descobrir todo o volume podemos variar essa coluna de y = c até Y = de ou seja utilizamos de novo a integral aqui de y = c até a y = de essa é uma forma diferente de apresentar integrais duplas e claro se você quiser você também pode escrever f de x y vezes de y x destinos é a mesma coisa só que a forma de pensar é um pouco diferente ao invés de variar mas essa coluna primeiro é em relação achei podemos variar primeiro em relação à Y ou seja uma pequena variação na superfície de y = c até Y = de algo mais ou menos assim e a soma desses ver é a mesma coisa que é integral de y = c até y = d d f de x y x de y x DX e para calcular todo esse volume nós devemos aplicar a integral de X = até x igual a Bi peça integral aqui e uma outra maneira de pensar nisso também é que nós estamos resolvendo a integral dupla do domínio que nesse caso é o plano XY de f de x y vezes dá mais claro essa forma de escrever geralmente aparece mais nos livros de física tá é uma forma abreviada de escrever a integral dupla ou seja o de a = dxdy que a mesma coisa que de y é um vezes 10x e claro eu só queria mostrar essa outra maneira de pensar nessa integral du o meio que nós utilizamos essas colunas aqui e nós podemos variar primeiro em relação a x e depois em relação à Y ou então variar nos primeiro em relação a y e depois em relação a x e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal