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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 5: Integrais duplas- Integrais duplas 1
- Integrais duplas 2
- Integrais iteradas
- Integrais duplas 3
- Integrais duplas 4
- Integrais duplas 5
- Integrais duplas 6
- Integrais duplas com limites variáveis
- Como encontrar o limites de regiões
- Mudança de limites em integrais duplas
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Integrais duplas 4
Outra forma de conceitualizar a integral dupla. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos estudar
as integrais duplas. Claro, eu vou tentar fazer isso
de forma que fique fácil de visualizar, e não apenas mostrar uma fórmula. Porque visualizar uma integral e saber o que você está calculando
é muito importante. Para isso, digamos que eu tenha
uma superfície aqui em três dimensões e que é uma função de "x" e "y", ou seja, você me dá uma coordenada neste plano e eu encontro uma altura nesta superfície. E será que é possível descobrir
o volume abaixo dela? Para fazer isso, precisamos saber primeiro
o volume de uma pequena coluna aqui. Ou seja, uma parte do volume.
E como podemos fazer isso? Digamos que nós temos um quadrado aqui, no qual nós conseguimos descobrir
a área dele, e que eu posso chamar de dA. Basicamente, é uma variação infinitesimal
em "x" e em "y". A área desse quadrado vai ser dx vezes dy. E, para descobrir o volume
entre essa área e a superfície, nós simplesmente a multiplicamos
pela altura, que neste caso é uma função de xy. Deixe-me desenhar isso aqui
para ficar melhor de ver. Então, eu levanto a altura e, com isso, vamos formar uma espécie
de coluna entre o plano xy e a superfície e o que queremos saber é este volume. Para calculá-lo, nós pegamos
esta área aqui, que eu posso chamar de dA, e multiplicar pela altura da coluna,
que, neste caso, é f(x,y). Então, f(x,y) vezes dA. E como dA é igual a dx vezes "y", nós podemos reescrever este volume
como f(x,y) vezes dx vezes dy. Você poderia também inverter
o dx e o dy aqui, daria a mesma coisa. Para achar o volume entre o plano xy
e esta superfície, nós podemos calcular
todos os volumes na direção "x". Isso significa que nós vamos pegar vários
pedacinhos de área aqui nesta direção, de x = a até x = b, ou seja, vários pedacinhos de área aqui e calculamos o volume
de todas as colunas entre "a" e "b" (neste caso, o "y" é sempre constante), e somar estas infinitas colunas. Isso é a mesma coisa que calcular a integral de x = a
até x = b deste volume. Ou seja, x = a é o limite inferior e x = b é o limite superior da integral. Para descobrir todo o volume, podemos
variar esta coluna de y = c até y = d. Ou seja, utilizamos de novo
a integral aqui de y = c até y = d. Esta é uma forma diferente
de apresentar integrais duplas. Claro, se você quiser, também
pode escrever f(x,y) vezes dy vezes dx. É a mesma coisa, só que a forma de pensar
é um pouco diferente. Ao invés de variarmos
esta coluna primeiro em relação a "x", podemos variar primeiro em relação a "y". Ou seja, uma pequena variação
na superfície de y = c até y = d. Algo mais ou menos assim. E a soma desses volumes é a mesma coisa que a integral de y = c até y = d de f(x,y) vezes dy vezes dx. Para calcular todo esse volume, nós devemos aplicar a integral
de x = a até x = b desta integral aqui. Uma outra maneira de pensar nisso, também, é que nós estamos resolvendo
a integral dupla do domínio que, neste caso, é o plano xy,
de f(x,y) vezes dA. Mas claro, esta forma de escrever geralmente
aparece mais nos livros de Física. É uma forma abreviada
de escrever a integral dupla. Ou seja, o dA é igual a dx vezes dy,
que é a mesma coisa que dy vezes dx. E claro, eu só queria mostrar essa outra
maneira de pensar nesta integral dupla. Meio que nós utilizamos
estas colunas aqui. E nós podemos variar primeiro em relação
a "x" e depois em relação a "y", ou então variarmos primeiro em relação a "y"
e depois em relação a "x". Eu espero que esta aula tenha
te ajudado e até a próxima, pessoal!