Integrais duplas 5

o Olá pessoal tudo bem em todas as integrais duplas que fizemos até aqui os contornos de x e y eram fixos agora vamos ver o que acontece se os contornos de x e y são variáveis vamos dizer que temos uma superfície somente figurativamente vai ser o mesmo que fizemos anteriormente mas o ponto não é mostrar como integrar um ponto mas sim como visualizar e pensar nesses problemas e francamente em problemas de duplo integral O mais difícil é pensar sobre o problema em si e descobrir os contornos mais uma vez que você consegue fazer isso a integração é bem direta e bem simples não muito diferente de uma integração de variável única mas pois bem nosso superfície aqui vai ser z = x e y ao quadrado depois vamos ter que nossos eixos aqui ó peixes ê Esse é não chover e esse é no eixo Y e você provavelmente já deve ter visto esse gráfico em frente em um de nossos vídeos onde pegamos o gráfico e r rotacionamos coisas porém quero destacar que isso é somente uma representação abstrata já que o ponto aqui é entender as fronteiras da integração e pois bem antes de desenhar a superfície vamos voltar um pouco lembrar de como foi trabalhado esse problema tivemos a noção de que tudo bem x vai de zero para 2 Y vai de 0 a 1 depois descobrimos o volume acima do domínio agora vamos fazer algo diferente vamos dizer que x vai de 0 a 1 e que o volume que queremos descobrir sobre a superfície não vende um Y fixo a um y e domine a semana ele é Curvo e tudo isso aqui está dentro do nosso plano XY nós podemos ver nessa curva de dois jeitos diferentes um é Y como função de X Y = X ao quadrado ou x = raiz quadrada de y não precisamos escrever mais ou menos já que estamos no primeiro quadrante e é 10 em cima que queremos descobrir o volume e esse é o nosso domínio e depois vem x vai de 0 a 1 e por isso esse ponto vai ser um vezes um ao quadrado é igual então sabemos que esse ponto em y é igual a um Y igual a 1 e Como disse antes eu só quero dar para você a noção do volume dessa figura e depois vem o topo é uma superfície arbitrária e eu vou fazer de uma coisa diferente para visualizar melhor temos essa linha que vai na vertical na direção Z e temos essa parte de cima que é uma curva e essa curva aqui vai ser como uma parede por isso vou pintar para ficar melhor a visualização desenhar esse daqui é bem mais difícil do que parece parece mais que uma aula de desenho mas enfim o exemplo que temos aqui é z = x e y ao quadrado e queremos saber o quanto de volume tem abaixo disso neste caso podemos usar a lógica que acabamos de ver pegamos o de aqui é um pequeno quadrado aqui embaixo e essa pequena área é o mesmo que deixes Presidente e tema E aí isso por f de x y que essa parte de cima por cada área e depois somar ou na direção x ou na direção Y mas antes de fazer isso só para ter certeza que você realmente pegou a ideia da coisa já que os contornos só a parte chata disso tudo eu vou desenhar aqui o nosso plano XY e vou rotacionar e temos nosso eixo Y e nosso eixo X a curva é Y igual a x ao quadrado nesse ponto Y = 11 e esse outro é onde x é igual a nós queremos descobrir como vamos tomar esse dxdy ou de a ao longo desse domínio Então vamos desenhar ele e deixar visível e não tem problema fazer isso na hora de resolver o problema já que essa é a parte mais difícil e essa área aqui é o mesmo que essa área então o sua base helix e sua altura de y você pode imaginar como se fosse essa parte da esquerda da vista por cima e essa é a superfície agora vamos dizer que queremos pegar a integral em e esse queremos o Google né cima dessa coluna primeiro de tudo vamos fazer essa área vezes dxdy e o valor mas a coluna vai ser o valor da função a altura neste ponto o que é x y ao quadrado vezes dxdy e essa expressão nos dá o volume acima dessa área ou dessa coluna e agora vamos somar na direção x e minha questão aqui é qual é o limite inferior de integração pois bem Estamos aqui com o nosso Y constante e se formos para esquerda diminuímos cada vez mais x e meio que batemos na curva e isso significa que o limite de integração é a curva e o que vai ser essa curva se escrevermos x como função de y essa curva é Y igual a x ao quadrado ou x = raiz quadrada de y Então se integramos em relação a x para qualquer um dos y fixos na direção horizontal Nossa Fronteira inferior é x = raiz quadrada de y e eu acho que essa é a primeira vez que você viu uma a variável e integral mas faz sentido por causa dessa Ferreira o contorno disse minha fácil é x igual a um porém a fronteira inferior é x = raiz quadrada de y Porque conforme você vai para trás você bate com a curva e a curva é x = raiz quadrada de y porque não sabemos qual Y pegamos e isso nos dá volume desse retângulo e agora queremos adicionar o de y e se lembra que tem todo o volume em cima disso que eu desenhei que é somente um plano XY e essa expressão que temos a direita superior responde o ao é o volume em cima desse retângulo agora se queremos todo o volume do sólido nós integramos ao longo do eixo Y ou somamos todos os de y e qual a fronteira inferior no eixo Y eu vou somar esses retângulos e bem y = 0 então vamos de y = 0 e para fronteiras superior Y = 1 daí a dupla integral vai ser x igual à raiz quadrada de Y Ax = 1 x ipd o quadrado dxdy daí na fronteira Y vai de 0 a y aun e para não alongar muito vamos encerrar por aqui e é isso Pessoal espero que tenham aprendido e até a próxima