Integrais duplas 5

RKA8JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Em todas as integrais duplas que fizemos até aqui, os contornos de "x" e "y" eram fixos. Agora, vamos ver o que acontece se os contornos de "x" e "y" são variáveis. Vamos dizer que temos uma superfície, somente figurativamente. Vai ser o mesmo que fizemos anteriormente, mas o ponto não é mostrar como integrar um ponto, mas sim como visualizar e pensar nesses problemas. E francamente, em problemas de dupla integral, o mais difícil é pensar sobre o problema em si, e descobrir os contornos. Mas uma vez que você consegue fazer isso, a integração é bem direta e bem simples, não muito diferente de uma integração de variável única. Pois bem, nossa superfície aqui vai ser z = xy², depois, vamos ter aqui nossos eixos. Aqui é o eixo "x", esse é o eixo "z" e este é o eixo "y". Você provavelmente já deve ter visto este gráfico anteriormente em um de nossos vídeos, onde pegamos o gráfico "er" e rotacionamos coisas. Porém, quero destacar que isso é somente uma representação abstrata, já que o ponto aqui é entender as fronteiras da integração. Pois bem, antes de desenhar a superfície, vamos voltar um pouco lembrar de como foi trabalhado esse problema. Tivemos a noção de que, tudo bem, "x" vai de zero a 2, "y" vai de zero a 1, depois descobrimos o volume acima do domínio. Agora, vamos fazer algo diferente. Vamos dizer que "x" vai de zero a 1 e que o volume que queremos descobrir sobre a superfície não vem de um "y" fixo a um "y" de domínio acima, ele é curvo, e tudo isso aqui está dentro do nosso plano XY. Nós podemos ver esta curva de dois jeitos diferentes. Um é "y" como função de xy, igual a x², ou x = √y. Não precisamos escrever mais ou menos, já que estamos no primeiro quadrante. E é desta área em cima que queremos descobrir o volume. Este é o nosso domínio. E pois bem, "x" vai de zero a 1 e, por isso, este ponto vai ser 1. 1 vezes 1² = 1. Então, sabemos que esse ponto em ''y'' é igual a 1, y = 1. Como disse antes, eu só quero dar para você a noção do volume desta figura. Pois bem, o topo é uma superfície arbitrária, e eu vou fazer de uma cor diferente para visualizar melhor. Temos esta linha que vai na vertical na direção "z", e temos essa parte de cima que é uma curva. E esta curva aqui vai ser como uma parede, por isso, eu vou pintar para ficar melhor a visualização. Desenhar isto aqui é bem mais difícil do que parece, parece mais que é uma aula de desenho. Mas enfim, o exemplo que temos aqui é z = xy², e queremos saber o quanto de volume tem abaixo disso. Neste caso, podemos usar a lógica que acabamos de ver. Pegamos o "da", que é um pequeno quadrado aqui embaixo, e esta pequena área é o mesmo que "dxdy", e temos que multiplicar isso por f(xy), que é esta parte de cima, por cada área, e depois somar, ou na direção "x" ou na direção "y". Mas, antes de fazer isso, só para ter certeza que você realmente pegou a ideia da coisa, já que os contornos são a parte chata disso tudo, eu vou desenhar aqui o nosso plano XY e vou rotacioná-lo. Temos nosso eixo "y" e nosso eixo "x". A curva é y = x². Nesse ponto, "y" é igual a 1, e esse outro é onde ''x" é igual a 1. Nós queremos descobrir como vamos tomar esse "dx" vezes "dy", ou "da", ao longo desse domínio, então, vamos desenhá-lo e deixar visível. E não tem problema fazer isso na hora de resolver o problema, já que essa é a parte mais difícil. Esta área aqui é o mesmo que essa área, então, sua base é "dx" e sua altura "dy". Você pode imaginar como se fosse essa parte da esquerda vista por cima, e essa é a superfície. Agora vamos dizer que queremos pegar a integral em relação a "x". E se queremos o volume acima desta coluna, primeiro de tudo, vamos fazer essa área vezes dxdy, e o volume da coluna vai ser o valor da função, a altura neste ponto, que é xy², vezes dxdy. Esta expressão nos dá o volume acima dessa área ou dessa coluna. E agora, vamos somar na direção "x". Minha questão aqui é: qual é o limite inferior de integração? Pois bem, estamos aqui com o nosso "y" constante, e se formos para a esquerda, diminuímos cada vez mais "x", e meio que batemos na curva, e isso significa que o limite de integração é a curva. E o que vai ser essa curva se escrevermos "x" como função de "y"? Essa curva é y = x² ou x = √y. Então, se integramos em relação a "x" para qualquer um dos "y" fixos na direção horizontal, nossa fronteira inferior é x = √y. Eu acho que essa é a primeira vez que você viu uma fronteira variável e integral, mas faz sentido, por causa desta fileira. O contorno de cima é fácil, é x = 1, porém, a fronteira inferior é x = √y, porque conforme você vai para trás, você bate com a curva, e a curva é x = √y, porque não sabemos qual "y" pegamos, e isso nos dá o volume deste retângulo. E, agora, queremos adicionar o "dy". E se lembre que tem todo o volume em cima disso que eu desenhei, que é somente o plano XY. E essa expressão que temos à direita superior responde qual é o volume em cima deste retângulo. Agora, se queremos todo o volume do sólido, nós integramos ao longo do eixo "y", ou somamos todos os "dy". E qual a fronteira inferior no eixo "y"? Eu vou somar esses retângulos e, bem, "y" é igual a zero, então, vamos de "y" igual a zero. E para a fronteira superior, "y" é igual a 1. Daí, a dupla integral vai ser x = √y a x = 1, xy² dxdy. Daí, na fronteira, "y" vai de zero a 1. Para não alongar muito, vamos encerrar por aqui. É isso pessoal, eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!