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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 5: Integrais duplas- Integrais duplas 1
- Integrais duplas 2
- Integrais iteradas
- Integrais duplas 3
- Integrais duplas 4
- Integrais duplas 5
- Integrais duplas 6
- Integrais duplas com limites variáveis
- Como encontrar o limites de regiões
- Mudança de limites em integrais duplas
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Integrais duplas 6
Vamos calcular as integrais duplas com y=x^2 como um dos limites. Versão original criada por Sal Khan.
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- Por que não colocaram ainda questões da parte de integrais múltiplas? Existe alguma previsão para isso? Eu gostaria de formar uma turma com questões nesta área de integração múltipla.(2 votos)
- Gente, com relação a independência do caminho em uma integral de linha, quais são as maneiras que eu posso provar que ela é ou não dependente? Obrigado.(1 voto)
- podes mudar o idioma(inglês/ Português .?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a
mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar
conversando sobre as integrais duplas. Apenas como
uma forma de revisão, no último vídeo calculamos
o volume sob uma superfície e definimos esses limites
para a integral. Agora, vamos ver como
podemos realizar esse cálculo. Então, como calculamos
essa integral? Como você pode perceber,
nessa primeira integral eu estou integrando em
relação a x, certo? Eu estou adicionando
esses pequenos elementos de x e, com isso, estou formando
esse retângulo bem aqui. Eu considero y sendo uma constante
e integro ao longo do eixo x. Sabendo disso, qual é
a antiderivada, ou seja, a primitiva, de x vezes y² em relação a x? Bem, vai ser (x² sobre 2) vezes y², que é somente uma constante
nesse caso. E eu vou avaliar isso aqui de x igual a 1
até x igual à raiz quadrada de y, o que pode assustar um pouco, mas você vai
ver que não é tão difícil assim fazer esse cálculo. Agora eu vou colocar aqui
a parte de fora da integral. Aqui temos y indo
de zero até 1, dy. Se x for igual a 1, essa expressão
se torna a (y² sobre 2). Então colocamos aqui
(y² sobre 2) menos... Se x, agora, é a raiz quadrada de y,
como essa expressão vai ficar? Se x é igual à raiz quadrada de y,
então x² é só y e isso vezes y²,
que vai ser igual a y³, não é? Sendo assim,
temos aqui (y³ sobre 2). Até agora, tudo bem. Agora a gente calcula
a integral em relação a y, ou seja, agora eu somo todos esses
retângulos em relação à direção y. Ah, eu estou integrando de zero a 1,
e isso em relação a y. Isso é interessante porque quando
calcula a primeira integral em relação a x, você obtém uma função de y. Então seus limites de integração
serão em função de y. Enfim, qual é a antiderivada,
ou seja, a primitiva, de (y² sobre 2)
menos (y³ sobre 2)? Bem, a antiderivada de y²
é igual a... Você pode dividir por 3
e somar 1 no expoente. Assim, teremos (y³ sobre 6)
menos y⁴ dividido por 4. Assim, teremos aqui esse 4 multiplicando
o outro 2, que já estava no denominador, e, com isso, ficaremos
com (y⁴ dividido por 8). É isso. A antiderivada
de (y³ sobre 2) é (y⁴ sobre 8). Agora eu pego tudo isso aqui e
substituto por 1 e por zero. Sendo assim,
teremos o que aqui? Teremos ⅙ menos ⅛. Quando você substituir o zero
em ambas as expressões, teremos isso tudo aqui
-0 menos 0. Bem, zero menos zero é zero, então não precisamos nos preocupar
com essa segunda parte. Assim, ficamos apenas com
⅙ menos ⅛. E quanto é isso? Fazendo MMC com os denominadores, teremos 24. Assim, teremos aqui (4 menos 3)
sobre 24, que é apenas 1/24, e isso é o volume da figura. A forma que fizemos esse cálculo
foi integrar primeiro em relação a x para depois integrar em relação a y. Agora, vamos fazer de outra forma.
Vamos apagar algumas coisas aqui. Agora, eu vou redesenhar o plano xy
para que a gente tenha a visualização correta. É mais importante visualizar o plano xy
nesses problemas do que visualizar tudo em 3D. Esse é o eixo y e
esse é o eixo x. Você pode ver o limite superior
sendo em y igual a x² ou você também pode ver isso como tendo um limite
superior em x igual à raiz quadrada de y. Isso aqui é x igual a 1
e y igual a 1. O que queremos aqui é o volume
acima da região demarcada, certo? Eu vou desenhar um pequeno quadrado
e isso é o nosso pequeno dA. A altura é dy
e a base é dx, ok? Então, qual será o volume
acima desse pequeno quadrado até uma altura igual
ao valor da função? Não podemos esquecer que a altura
é o valor da função, que é x vezes y², e depois nós multiplicamos isso
aqui pela área da base. Bem, a área da base é dA, mas
nós sabemos que dA é igual a dy/dx. Eu escrevi o y primeiro porque
nós vamos somar na direção y. E o que significa somar
na direção y? Significa que nós vamos somar
esse quadrado a esse quadrado, ou seja, nós vamos tomar
todos os dy, ok? Sabendo disso, qual é
o limite superior em y? Mais uma vez, é onde
esbarramos aqui na curva. Sendo assim, a curva é o limite
superior quando nós subimos. E o que é o limite superior na curva?
Nós estamos de mantendo o x fixo, então para todo x,
qual é esse ponto? Bem, isso será x² porque esse
é o gráfico de y igual a x². Então o nosso limite superior
é y, que é igual a x². E qual é o nosso limite inferior? Nós podemos começar pegando
esse aqui embaixo. Sendo assim, o nosso
limite inferior é o zero. Essa expressão, como foi escrita agora,
é o volume acima desse retângulo, ok? Então vamos desenhar isso aqui. É o volume acima desse retângulo.
São os mesmos retângulos. Agora, o que vamos
fazer é somar todos os dx e, ao fazer, isso, vamos encontrar
o volume acima de toda a superfície. Então, em relação ao retângulo, nós vamos somá-lo com
cada um dos dx, desse jeito. Sabendo disso, qual é o limite
superior e o limite inferior em x? Nós vamos de x igual a zero, afinal não temos nada no gráfico
antes de x igual a zero, até x igual a 1, ou seja, nosso
limite inferior é zero e o nosso limite superior
é x igual a 1. Em geral, uma maneira
de pensar sobre isso é que quando está fazendo
a última soma ou a última integral, você realmente não deve
ter limites variáveis nesse ponto porque nossa resposta final
deve ser um número, assumindo que não estamos lidando
com algo muito, muito abstrato. Sendo assim, a nossa resposta
final será numérica. Assim, se tiver
alguma variável aqui, provavelmente você
fez algo errado. Eu acho sempre útil
desenhar o pequeno dy porque estamos pegando-o primeiro e depois somando com o
restante até encontrar a curva. Sabendo disso, qual é o limite superior
sendo x uma constante? É x², já que y
é igual a x². Se eu descer, encontro o eixo x,
ou y igual a zero, e assim por diante. Agora, que tal substituir isso aqui
e confirmar se a gente tem a mesma resposta? Primeiro, nós integramos
em relação a y. Sendo assim, temos aqui
que isso é (x vezes y³) sobre 3, indo de zero a x². Agora integramos
o exterior, dx. Se nós substituirmos x²
por y, teremos o quê? (x²)³ é igual a x⁶. x⁶ vezes x.
Então vamos escrever isso. Teremos aqui x vezes
(x²)³ sobre 3, que é igual a x⁷. Para saber quanto é (x²)³,
você deve multiplicar os expoentes. Só que ainda teremos
uma multiplicação, então repetimos a base
e somamos os expoentes. Com isso, teremos
(x⁷ sobre 3) menos isso substituído
por y sendo igual a zero, que acaba sendo zero. Assim, ficamos apenas
com essa expressão aqui e então integramos isso
de zero a 1 dx. Qual é a antiderivada
de (x⁷ sobre 3)? Teremos aqui
(x⁸ sobre 8), mas como já tínhamos 3 no denominador,
ficaremos com 24 no denominador. Assim, calculamos isso
indo de zero a 1. Bem, eu acho que teremos
a mesma resposta. Quando substituir isso aqui
por 1, você vai ter 1/24 e isso menos zero, pois ao substituir
por zero, teremos zero. Então, mais uma vez,
ao integrar em outra ordem, continuaremos tendo
o mesmo volume para a figura, ou seja, 1/24 alguma coisa,
alguma unidade cúbica. Enfim, eu espero que você
tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!