Integrais duplas 6

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos continuar conversando sobre as integrais duplas e apenas como uma forma de revisão no último vídeo calculamos o volume sobre uma superfície e definimos esses limites para integral agora vamos ver como podemos realizar esse cálculo Então como calculamos essa integral como você pode perceber nessa primeira integral eu estou integrando em relação a x certo eu estou adicionando esses pequenos elementos de x e com isso estou formando esse retângulo bem aqui eu considero o y sendo uma constante e integra ao longo do eixo X sabendo disso Qual é a anti derivada ou seja primitiva de x e y ao quadrado em relação a x bem vai ser x ao quadrado sobre 2x Y ao quadrado que a sua mente uma constante nesse caso e eu vou avaliar isso aqui de x igual a um até x = raiz quadrada de y o que pode te assustar um pouco mas você vai ver que não é tão difícil assim fazer esse cálculo agora eu vou colocar aqui a parte de fora da integral aqui temos Y do de 0 até um de y cx for igual a 1 essa expressão se torna a y ao quadrado sobre dois então colocamos aqui y ao quadrado sobre 2 menos x agora é a raiz quadrada de y como essa expressão vai ficar se x = raiz quadrada de y então x ao quadrado é só y e isso vezes y ao quadrado que vai ser igual a y Ao Cubo não é sendo assim temos aqui Y Ao Cubo sobre dois até agora tudo bem agora a gente calcule a integral em relação à Y ou seja agora eu somos todos esses retângulos em relação a direção Y ai eu estou integrando de 0 a 1 e os em relação a y o Sante porque quando você calcula primeiro integral em relação a x você obtém uma função de y então seus limites de integração serão a função de y enfim Qual é a anti derivada ou seja primitiva de y ao quadrado sobre 2 menos y elevado ao cubo sobre dois bem antes de elevada do Y ao quadrado = você pode dividir por 3 o somar um expoente assim teremos Y Ao Cubo sobre 6 menos y elevado a quarta potência / 4 assim teremos aqui esse quatro multiplicando o outro dois que já estava no denominador E com isso ficaremos com y elevado a quarta potência dividido por 8 isso aí antes derivada de y Ao Cubo sobre dois é y a quarta potência sobre oito agora eu pego tudo isso aqui e o substituto por um e por zero sendo assim teremos o que aqui teremos um cesto menos um oitavo e quando você substituir 10 em ambas as expressões teremos isso tudo aqui - 01 - 10 Ben 10 - 100 então não precisamos nos preocupar com essa segunda parte Assim ficamos apenas com um cesto menos um oitavo enquanto é isso fazendo MMC com os denominadores teremos 24 assim teremos aqui quatro ou menos 3 sobre 24 que é apenas um 24 avos e isso é o volume da figura a forma que fizemos esse cálculo foi integrar primeiro em relação a x para depois integrar em relação à Y agora vamos fazer de outra forma vamos Apagar algumas coisas aqui agora eu vou redesenhar aqui o plano XY para que a gente tem a visualização correta é mais importante visualizar o plano XY nesses problemas do que visualizar tudo em 3D Esse é o eixo Y e esse é o eixo X ok Você pode ver o limite o superior sendo em Y igual a x ao quadrado E você também pode ver isso como tendo um limite superior em x = raiz quadrada de y isso aqui é x igual a 1 e y = 11 e o que queremos aqui é o volume acima da região demarcada certo eu vou desenhar aqui um pequeno quadrado e o seu nosso pequeno de ar a altura de y e a base é DX Ok então qual será o volume acima desse pequeno quadrado aqui até uma altura igual ao valor da função não podemos esquecer que a altura o valor da função que é x e y ao quadrado e depois nós multiplicamos isso aqui pela área da base bem área da base é de ah mas nós sabemos que de a = dydx eu escrevi o y primeiro porque nós vamos tomar na direção y e o que significa sua mar na direção Y significa que nós vamos somar esse quadrado a esse quadrado ou seja nós vamos tomar todos os de y soc sabendo disso Qual é o limite superior em Y é bem mais uma vez é onde de Bahamas aqui na curva sendo assim a curva é o limite superior quando nós Subimos e o que é o limite superior na curva nós estamos de mantendo o x fixo então para todo x Qual é esse ponto bem isso será x ao quadrado porque esse é o gráfico de Y igual a x ao quadrado então nosso limite superior é y que é igual a x ao quadrado e qual é o nosso limite inferior nós podemos começar pegando esse aqui embaixo sendo assim o nosso limite inferior é o zero é essa expressão como foi escrito agora o volume assim uma desse retângulo Ok então vamos desenhar isso aqui é o volume acima desse retângulo são os mesmos retângulos agora o que vamos fazer a somar todos os DX e ao fazer isso vamos encontrar o volume acima de toda a superfície então em relação ao retângulo nós vamos somá-lo com cada um dos The Sims desse jeito sabendo disso Qual é o limite superior eo limite inferior e nós vamos ver x igual a zero afinal não temos nada no gráfico antes de x = 0 até x igual a 1 ou seja nosso limite inferior é zero e o nosso limite superior é x igual a 1 em geral uma maneira de pensar sobre isso é que quando você está fazendo a última soma ou a última integral você realmente não deve ter limites variáveis nesse ponto ok Porque Nossa resposta final deve ser um número assumindo que não estamos lidando com algo muito muito abstrato sendo assim a nossa resposta é final será numérica aí se você tiver alguma variável aqui Provavelmente você fez algo errado eu acho sempre útil desenhar o pequeno de y porque estamos pegando ele primeiro e depois somando com o restante até encontrar a curva sabendo disso Qual é o limite superior sendo X uma constante é x ao quadrado já que Y igual a x ao quadrado se eu descer eu encontro o eixo X ou Y = Ah e assim por diante agora que tal a gente substituir isso aqui e confirmar que a gente tem a mesma resposta primeiro nós integramos em relação à Y sendo assim temos aqui que isso é XY Ao Cubo sobre três indo de 0 a x ao quadrado agora integramos o exterior deixes se não substituir o x ao quadrado por y teremos o que x ao quadrado elevado ao cubo é igual a x elevado a sexta potência X elevado a 6 vezes x Então vamos escrever isso teremos aqui x vezes x ao quadrado elevado ao cubo sobre três que é igual a x elevado a sétima potência para saber quanto que é x ao quadrado elevado ao cubo você deve multiplicar os expoentes Só que ainda teremos uma multiplicação então repetimos a base e somamos os expoentes com isso teremos X elevado a sétima potência sobre 3 menos isso substituído por y100 10 que acaba sendo zero Assim ficamos apenas com essa expressão aqui e aí integramos isso de 0 a 1 deixes Qual é a anti derivada de x elevado a 7 sobre 3 teremos aqui X elevado a 8 sobre oito Mas como já tínhamos o treino denominador ficaremos com 24 no denominador aí calculamos isso indo de 0 a 1 bem eu acho que teremos a mesma resposta quando você substituir isso aqui por um você vai ter um sobre 24 aí isso menos 10 pois ao substituir por zero teremos 10 é então mais uma vez ao integrar em outra ordem continuaremos tendo o mesmo volume para a figura ou seja um sobre 24 Alguma coisa Alguma unidade cúbica enfim eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você aqui Um grande abraço e até a próxima