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Transcrição de vídeo

Bem vindos de volta. No ultimo video estávamos calculando o volume sob uma superficie, e definimos esses limites para a integral. Vamos entao ver como calcula-la. E veja só Acabei de perceber que posso movimentar a tela, o que é muito útil poque agora tenho mais espaco no quadro. Então, como calculamos esta integral? Bom, esta primeira integral estou integrando em relação a x Certo? Estou adicionando estes pequenos elementos de x Então estou formando este retângulo bem aqui Certo? Estou deixando y constante e integrando ao longo do eixo x Eu deveria trocar de cores. Então, qual é a antiderivada(primitiva) de xy² em relação a x? Bem, é somente x² sobre 2 E ainda tenho y²--o que é somente uma constante --tudo sobre 2. E vou avaliar de x igual a 1 até x igual a raiz quadrada de y, o que pode lhe assustar, mas você verá que na verdade não é tão ruim uma vez que você faz os cálculos. Agora deixe-me desenhar a parte de fora da integral. Isto é y igual a 0 até y igual a 1. dy. Agora, se x é igual a 1, esta expressão se torna y ao quadrado sobre 2. Certo? y ao quadrado sobre 2, menos--agora se x é igual a raiz quadrada de y, o que esta expressão se torna? Se x é igual a raiz quadrada de y, então x ao quadrado é só y. E então y vezes y ao quadrado é y ao cubo. Certo? Então isto é y ao cubo sobre 2 (um erro que será corrigo ainda neste video). Até agora tudo bem. E agora eu pego a integral em relação a y Então agora eu somo todos estes retângulos em relação à direção y. 0,1. Isto é em relação a y. E está legal, certo? Porque quando você pega a primeira integral em relação a x você obtêm uma função de y, então seus limites de integração serão função de y. Isso não dificulta Mas de qualquer forma, de volta ao problema Qual a antiderivada(primitiva) de y ao quadrado sobre 2 menos y elevado ao cubo sobre 3? Bem, a antiderivada do y ao quadradado -- e você deve dividir por 3, então, é y ao cubo sobre 6. Menos y elevado a quatro -- você deve dividir por 4. Menos y elevado a quatro sobre -- errei em algum lugar? Não, acho que está certo. Y elevado a quatro sobre 12. Espere. Como eu cheguei nesse 3 aqui? Foi aqui que eu errei; Aqui é um 2, certo? Vamos ver. x é a raiz quadrada de y Isso, isso é 2. Não sei como terminei. Certo? Raiz quadrada de y ao quadrado é y, vezes y ao quradrado y ao cubo sobre 2. Certo. Então, eu faço a integral disso. é 4 vezes 2. 8 Tenho que ter certeza que não errei Que é a parte mais difícil. Essa é a parte mais difícil Odeio quando faço isso. Mas eu não quero regravar o vídeo inteiro. Então quando eu substituir isso -- certo. Está certo, e então eu faço a antiderivada de y ao cubo sobre 2, eu pego y elevado a quarta sobre 8. E agora eu substituo isso em 1 e 0 E isso nos traz o que? 1/6 menos 1/8 -- bem, quando você substituir ambos será 0. Então isso será outro 0 menos 0. Então você não deve se preocupar com isso. Quanto é 1/6 menos 1/8/ Vamos ver. 24. É 4 menos 3 sobre 24, o que é igual a 1/24 -- isso é o volume da figura. Dessa vez, a maneira que nós fizemos, nós fizemos a integral primeiro com respeito a x, e depois nós fizemos com respeito a y. Deixe me fazer de outra maneira. Vamos apagar algumas coisas. e tomara que eu não cometa erros. Vou manter essa figura, mas vou apagar essa. Deixe-me apagar tudo isso. Temos espaço para trabalhar Então vou manter essa figura. Deixe-me re-desenhar o plano xy, para termos a visualização correta. É mais importante visualizar o plano xy nesses problemas do que visualizar tudo em 3d. Esse é o eixo y, e esse é o eixo x. OK. Nosso limite superior, você pode dizer, é o gráfico em y igual a x ao quadrado. Ou, você pode ver isso como o limite x é igual a raiz quadrada de y. Isso é x igual a 1, e y igual a 1. E nós nos preocupamos com o volume acima da região hachurada. Certo? Essa região hachurada é a região amarela aqui. Vamos desenhar nosso da Vou desenhar isso um pouco quadrado na verdade. Vou fazer em vermelho Então esse é o nosso pequeno da. E a altura é dy. Isso é um y dy. E isso com esse dx. Certo? Então o volume abaixo desse pequeno quadrado -- o mesmo que esse pequeno quadrado. Assim como nós dissemos antes, o volume acima é igual ao valor da função Certo? A altura é o valor da função, que é x y ao quadrado. E depois nós multiplicamos isso pela área da base. Bem, a área da base, é da, mas nós sabemos que é dy vezes dx. Eu não devia ter escrito esse vezes aqui. você pode ignorar isso. E eu escrevi o y primeiro porque nós vamos integrar com respeito a y primeiro. Nós vamos somar na direção de y. O que significa somar na direção de y? Significa que nós vamos somar esse quadrado a esse quadrado [TOSSE] Desculpa. Enato nós estamos somando todos os "dy" juntos, certo? Então minha pergunta para você é: Qual limite superior em y? Bem, mais uma vez, nós esbarramos na curva. Certo? Então a curva é o limite superior quando nós subimos. E o que é o limite superior na curva? Nós estamos mantendo x fixo, então para todo x qual é esse ponto? Bem, isso será x ao quadrado. Certo? Porque esse é o gráfico do y igual a x ao quadrado. Então nosso limite superior é y que é igual a x ao quadrado. E qual nosso limite inferior? Nós podemos deixar esses quadrados aqui embaixo. Nós estamos somando todas as mudanças em y. Qual o limite inferior? Bem, nosso limite superior é apenas 0. Isso foi bem simples. Então, essa expressão, como foi escrita agora, é o volume acima desse retângulo. Certo? Deixe-me desenhar isso. É o volume acima desse retângulo. São os mesmos retângulos. O volume acima desse retângulo. Agora o que nós queremos fazer é somar todos os "dx" juntos, e nós vamos encontrar o volume acima de toda superfície. Então, aquele retângulo, agora nós vamos somá-lo com outro dx um, dx um desse jeito. Quais os limites superior e inferior em x? Nós vamos de x igual a 0, certo? Nós não encontramos no gráfico quando vamos para baixo. Então nós vamos de x igual a 0. e então nosso limite superior x igual a 1. Então é x igual a 0, x igual a 1. E em geral, uma maneira de pensar sobre isso é quando vocé está fazendo a última soma ou a última integral, você realmente não deve ter limites variáveis nesse ponto. Certo? Porque nossa resposta final deve ser um número, assumindo que nós não estamos lidando com algo muito, muito abstrato. Mas nossa resposta final será numérica. Então se você tem algumas variáveis aqui, você provavelmente fez algo errado. E é sempre útil, eu acho, desenhar o pequeno da e depois descobrir -- Ok, estou somando o dy primeiro. Qual eu subo eu encontro a curva. Qual é o limite superior se x é uma constante? Oh, é x ao quadrado, y é igual a x ao quadrado. Se eu descer eu encontro o eixo x, ou y igual a 0. E assim por diante. Agora deixe-me substituir isso e confirmar que nós teremos a mesma resposta. Então nós estamos integrando primeiramente com respeito a y Então isso é x y ao cubo sobre 3. No x ao quadrado e 0. E então temos o nosso integrante exterior dx. Se nós substituirmos x ao quadrado por y. x ao quadrado elevado ao cubo é igual a x elevado a 6. X elevado a 6 vezes x -- Deixe-me escrever isso. Então nós temos x vezes x ao quadrado elevado ao cubo, sobre 3. Isso é igual a x elevado a 7. Certo? x ao quadrado elevado ao cubo -- você multiplica os expoentes, e depois você soma isso: x elevado a 7 sobre 3 menos isso substituído por y é 0. Mas será somente 0. Certo? E depois nós substituímos isso de 0 a 1, dx. Estamos quase lá. aumente o expoente. Você terá x elevado a 8 sobre 8. E nós já temos 3 aqui embaixo, então é sobre 24. Então você substitui isso de 0 a 1. E eu acho que nós temos a mesma resposta. Quanto você substitui isso em 1 você terá 1/24 menos 0. Então, mais uma vez, quando nós integramos na outra ordem você continua tendo o volume da figura, sendo 1/4. Qualquer coisa, unidades cúbicas. De qualquer forma, te vejo no próximo vídeo.