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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 14: Fluxo em 3D (artigos)

Exemplo de fluxo em três dimensões

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Após aprender o que é o fluxo em três dimensões, aqui você terá a chance de praticar com um exemplo.

Conhecimentos prévios

Fluxo em três dimensões
Vetor normal unitário
Integral de superfície

Os passos

No último artigo falei como o fluxo de um líquido fluindo através de uma superfície é a medida de quanto líquido passa por aquela superfície por unidade de tempo. Se aquele líquido é representado por um campo vetorial

F (x, y, z)

, e se

S

representa a própria superfície, o fluxo é calculado com a seguinte integral de superfície:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

A função vetorial

\hat{n} (x, y, z)

nos dá o vetor normal unitário para

S

. Para superfícies fechadas, você normalmente escolhe um vetor normal unitário voltado para fora.

Na prática, há muita coisa envolvida na solução dessa integral.

Etapa 1: reescreva a integral nos termos de uma parametrização de $S$ ‍, como você faria para qualquer integral de superfície.
Etapa 2: insira a expressão para o vetor normal $\hat{n} (x, y, z)$ ‍. É melhor fazer isso antes que você realmente calcule o vetor normal unitário, já que parte dele é cancelada por um termo da integral de superfície.
Etapa 3: simplifique os termos dentro da integral.
Etapa 4: calcule a integral dupla.

O problema

Considere o gráfico de um paraboloide definido pela seguinte equação:

$z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

Seja

S

a parte dessa parábola que fica acima do plano $x y$ ‍:

Uou, aquilo acabou se parecendo muito mais com uma ogiva nuclear do que eu pretendia. Ah, bem, pelo menos deixa claro de qual superfície estamos falando.

Para integrais de fluxo, devemos definir a orientação dessa superfície. Vamos orientá-la com vetores normais apontando para fora, de forma que os vetores

\hat{i}

\hat{j}

\hat{k}

estejam todos apontando para fora da região abaixo do paraboloide.

Agora, imagine que existe um líquido fluindo no espaço tridimensional. Digamos que ele flui ao longo do campo vetorial definido pela função

$\begin{array}{r} F (x, y, z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] \end{array}$ ‍

Pergunta-chave: qual é o fluxo deste fluido através da superfície $S$ ‍?

Etapa 1: reescreva a integral do fluxo usando parametrização

Agora, a superfície

S

foi definida como um gráfico sujeito a uma limitação em

z

Gráfico: $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

Restrição: $z \geq 0$ ‍

Mas, para calcular integrais de superfície, precisamos descrever essa superfície parametricamente. Por sorte, essa conversão não é muito difícil. Você basicamente deixa um dos parâmetros assumir o papel de

x

, enquanto o outro parâmetro assume o papel de

y

$\begin{array}{r} v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Depois de escrever esta função, você ainda precisará especificar qual região do plano

t s

corresponde à nossa superfície

S

. Isto requer traduzir a restrição

z \geq 0

em uma restrição sobre

t

s

Verificação de conceito: qual é a restrição sobre

t

s

que garantirá que a componente

z

\vec{v} (t, s)

seja maior ou igual a

0

? Escreva sua resposta como uma desigualdade.

[Resposta]

Uma vez que essa região é um disco de raio

2

, vamos chamá-la de

D_{2}

Mais adiante, iremos defini-la com uma série de limites para

t

s

, mas, enquanto trabalhamos nas partes internas da integral, é melhor usarmos apenas uma representação simbólica.

Escrevendo nossa integral de superfície do fluxo como uma integral dupla no espaço paramétrico, temos:

$\begin{aligned} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \\ = \underset{\begin{array}{c} Integral dupla em \\ espaço paramétrico plano \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{D_{2}}}} F (v (t, s)) \cdot \hat{n} (v (t, s)) \underset{d Σ}{\underset{⏟}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A}} \end{aligned}$ ‍

Se essa transição para uma integral dupla no espaço parametrizado parecer estranha, considere revisar o artigo sobre integrais de superfície, ou o sobre a área de superfícies.

Etapa 2: insira a expressão para um vetor normal unitário

Em um artigo anterior, eu falei sobre como você pode encontrar uma função que dá o vetor normal unitário a uma superfície com base em sua parametrização

v (t, s)

. Basicamente, você normaliza o produto vetorial das derivadas parciais de $v (t, s)$ ‍ (nossa, isso é um bocado para dizer):

$\begin{array}{r} \frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |} \end{array}$ ‍

Agora, para aqueles de vocês que simplesmente amam calcular a magnitude de produtos entre vetores de derivadas parciais, esperem um pouco. Quando nós inserirmos isso na integral de fluxo, aquele termo de magnitude se cancela:

$\begin{aligned} \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot \hat{n} (v (t, s)) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{aligned}$ ‍

[Compreensão geométrica desta integral de fluxo simplificada]

Etapa 3: faça a expansão do integrando

Vamos começar descobrindo o termo do produto vetorial:

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}$ ‍

Para referência, eu defini

v (t, s)

assim:

$\begin{array}{r} v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Agora, calcule cada derivada parcial, e, depois, encontre seus produtos vetoriais.

$\frac{\partial v}{\partial t} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

$\frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

Verificação de conceito: a expressão para

\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}

que você acabou de encontrar fornece um vetor normal apontando para fora ou um vetor normal apontando para dentro?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Apontando para fora
(Escolha B)
Apontando para dentro

[Resposta]

Depois, escreva o termo

F (v (t, s))

apenas em função de

t

s

. Para referência,

F

\vec{v}

estão definidos assim:

$\begin{aligned} F (x, y, z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] & v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

$F (v (t, s)) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

Ótimo! Agora nós temos todas as partes internas de nossa integral.

$\begin{array}{r} \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{array}$ ‍

Depois de calcular o produto escalar das duas respostas anteriores, escreva a parte interna dessa integral puramente em função dos parâmetros

t

s

. Simplificar sua resposta o máximo possível, vai ajudá-lo a calcular a integral na próxima seção.

$\iint_{D_{2}}$ ‍
$d A$ ‍

[Resposta]

Etapa 4: calcule a integral

Até agora, nós estávamos escrevendo um pequeno

D_{2}

embaixo da integral dupla para indicar que a região do plano

t s

, sobre a qual vamos integrar, é o disco com raio

2

. Agora, que vamos calcular a integral, precisamos escrever isso em limites concretos sobre os parâmetros

t

s

Para fazer isso, crie você mesmo uma imagem de

D_{2}

, e se imagine cortando-o em tiras verticais.

O valor

t

tem um intervalo de

- 2

2

. O intervalo de

s

depende do valor de

t

, o qual você pode encontrar utilizando o teorema de Pitágoras.

A partir do diagrama, você pode ver que

s

tem um intervalo de

- \sqrt{4 - t^{2}}

até

+ \sqrt{4 - t^{2}}

. Ao aplicarmos esses limites à nossa integral dupla, obtemos:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{- \sqrt{4 - t^{2}}}^{+ \sqrt{4 - t^{2}}} s (2 t^{2} + (2 t + 1) (4 - t^{2} - s^{2})) d s d t \end{array}$ ‍

A partir daqui, existem algumas maneiras com as quais você pode terminar o problema.

Dolorosamente: calcule essa integral dupla inteiramente à mão (aff!).
Pragmaticamente: coloque-a em uma calculadora ou em uma ferramenta computacional algébrica, como Wolfram Alpha.
Inteligentemente: você pode perceber que o integrando é uma função ímpar em relação a $s$ ‍. Distribua o $s$ ‍, e perceba que todos os termos ou possuem um $s$ ‍ ou um $s^{3}$ ‍. Isso significa que a integral interna na parte entre $- \sqrt{4 - t^{2}}$ ‍ e $0$ ‍ vai cancelar a parte entre $0$ ‍ e $\sqrt{4 - t^{2}}$ ‍. Portanto, a integral como um todo vale $0$ ‍.

Resumo

Uma integral de fluxo começa a vida mais ou menos com essa aparência:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Resolver isso envolve os quatro passos a seguir:

Etapa 1: parametrizar a superfície, e traduzir essa integral de superfície para uma integral dupla sobre o espaço paramétrico.
Etapa 2: aplicar a fórmula para um vetor normal unitário.
Etapa 3: simplificar o integrando, que envolve duas derivadas parciais vetoriais, um produto vetorial e um produto escalar.
Etapa 4: calcular a integral dupla (na prática, um computador pode assumir a partir daqui).

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