If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 14: Fluxo em 3D (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Fluxo em 3D (artigos)
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Exemplo de fluxo em três dimensões

Google Sala de Aula
Após aprender o que é o fluxo em três dimensões, aqui você terá a chance de praticar com um exemplo.

Conhecimentos prévios

Fluxo em três dimensões
Vetor normal unitário
Integral de superfície

Os passos

No último artigo falei como o fluxo de um líquido fluindo através de uma superfície é a medida de quanto líquido passa por aquela superfície por unidade de tempo. Se aquele líquido é representado por um campo vetorial start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, e se start color #bc2612, S, end color #bc2612 representa a própria superfície, o fluxo é calculado com a seguinte integral de superfície:
∬SF⋅n^ dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
A função vetorial start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f nos dá o vetor normal unitário para start color #bc2612, S, end color #bc2612. Para superfícies fechadas, você normalmente escolhe um vetor normal unitário voltado para fora.
Na prática, há muita coisa envolvida na solução dessa integral.
  • Etapa 1: reescreva a integral nos termos de uma parametrização de start color #bc2612, S, end color #bc2612, como você faria para qualquer integral de superfície.
  • Etapa 2: insira a expressão para o vetor normal start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f. É melhor fazer isso antes que você realmente calcule o vetor normal unitário, já que parte dele é cancelada por um termo da integral de superfície.
  • Etapa 3: simplifique os termos dentro da integral.
  • Etapa 4: calcule a integral dupla.

O problema

Considere o gráfico de um paraboloide definido pela seguinte equação:
z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
Seja start color #bc2612, S, end color #bc2612 a parte dessa parábola que fica acima do plano x, y:
Uou, aquilo acabou se parecendo muito mais com uma ogiva nuclear do que eu pretendia. Ah, bem, pelo menos deixa claro de qual superfície estamos falando.
Para integrais de fluxo, devemos definir a orientação dessa superfície. Vamos orientá-la com vetores normais apontando para fora, de forma que os vetores start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top e start bold text, k, end bold text, with, hat, on top estejam todos apontando para fora da região abaixo do paraboloide.
Agora, imagine que existe um líquido fluindo no espaço tridimensional. Digamos que ele flui ao longo do campo vetorial definido pela função
F(x,y,z)=[xyxzyz]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] \end{aligned}
Pergunta-chave: qual é o fluxo deste fluido através da superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612?

Etapa 1: reescreva a integral do fluxo usando parametrização

Agora, a superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 foi definida como um gráfico sujeito a uma limitação em z.
Gráfico: z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
Restrição: z, is greater than or equal to, 0
Mas, para calcular integrais de superfície, precisamos descrever essa superfície parametricamente. Por sorte, essa conversão não é muito difícil. Você basicamente deixa um dos parâmetros assumir o papel de x, enquanto o outro parâmetro assume o papel de y:
v(t,s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
Depois de escrever esta função, você ainda precisará especificar qual região do plano t, s corresponde à nossa superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612. Isto requer traduzir a restrição z, is greater than or equal to, 0 em uma restrição sobre t e s.
Verificação de conceito: qual é a restrição sobre t e s que garantirá que a componente z de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis seja maior ou igual a 0? Escreva sua resposta como uma desigualdade.

Uma vez que essa região é um disco de raio 2, vamos chamá-la de D, start subscript, 2, end subscript.
Mais adiante, iremos defini-la com uma série de limites para t e s, mas, enquanto trabalhamos nas partes internas da integral, é melhor usarmos apenas uma representação simbólica.
Escrevendo nossa integral de superfície do fluxo como uma integral dupla no espaço paramétrico, temos:
∬SF⋅n^ dΣ=∬D2⏟Integral dupla emespaço parameˊtrico plano ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣F(v(t,s))⋅n^(v(t,s))  ∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA⏟dΣ\begin{aligned} &\quad \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} \\\\ &= \underbrace{ \iint_{D_2} }_{\substack{ \text{Integral dupla em}\\ \text{espaço paramétrico plano} }} \!\!\!\!\!\!\! \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t, s)) \; \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA }_{\redE{d\Sigma}} \end{aligned}
Se essa transição para uma integral dupla no espaço parametrizado parecer estranha, considere revisar o artigo sobre integrais de superfície, ou o sobre a área de superfícies.

Etapa 2: insira a expressão para um vetor normal unitário

Em um artigo anterior, eu falei sobre como você pode encontrar uma função que dá o vetor normal unitário a uma superfície com base em sua parametrização start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis. Basicamente, você normaliza o produto vetorial das derivadas parciais de start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis (nossa, isso é um bocado para dizer):
∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣\begin{aligned} \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \end{aligned}
Agora, para aqueles de vocês que simplesmente amam calcular a magnitude de produtos entre vetores de derivadas parciais, esperem um pouco. Quando nós inserirmos isso na integral de fluxo, aquele termo de magnitude se cancela:
∬D2F(v(t,s))⋅n^(v(t,s))∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t,s))⋅(∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣)∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t,s))⋅(∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣)∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t,s))⋅(∂v∂t×∂v∂s) dA\begin{aligned} &\quad \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t, s)) \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \right)} \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{\cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| }} \right)} \cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}

Etapa 3: faça a expansão do integrando

Vamos começar descobrindo o termo do produto vetorial:
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction
Para referência, eu defini start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis assim:
v(t,s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
Agora, calcule cada derivada parcial, e, depois, encontre seus produtos vetoriais.
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Verificação de conceito: a expressão para start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction que você acabou de encontrar fornece um vetor normal apontando para fora ou um vetor normal apontando para dentro?
Escolha 1 resposta:

Depois, escreva o termo start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis apenas em função de t e s. Para referência, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 e start bold text, v, end bold text, with, vector, on top estão definidos assim:
F(x,y,z)=[xyxzyz]v(t,s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] & & \textbf{v}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Ótimo! Agora nós temos todas as partes internas de nossa integral.
∬D2F(v(t,s))⋅(∂v∂t×∂v∂s) dA\begin{aligned} \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t, s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}
Depois de calcular o produto escalar das duas respostas anteriores, escreva a parte interna dessa integral puramente em função dos parâmetros t e s. Simplificar sua resposta o máximo possível, vai ajudá-lo a calcular a integral na próxima seção.
\iint, start subscript, D, start subscript, 2, end subscript, end subscript
d, A

Etapa 4: calcule a integral

Até agora, nós estávamos escrevendo um pequeno D, start subscript, 2, end subscript embaixo da integral dupla para indicar que a região do plano t, s, sobre a qual vamos integrar, é o disco com raio 2. Agora, que vamos calcular a integral, precisamos escrever isso em limites concretos sobre os parâmetros t e s.
Para fazer isso, crie você mesmo uma imagem de D, start subscript, 2, end subscript, e se imagine cortando-o em tiras verticais.
O valor t tem um intervalo de minus, 2 a 2. O intervalo de s depende do valor de t, o qual você pode encontrar utilizando o teorema de Pitágoras.
A partir do diagrama, você pode ver que s tem um intervalo de minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root até plus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root. Ao aplicarmos esses limites à nossa integral dupla, obtemos:
∫02∫−4−t2+4−t2s(2t2+(2t+1)(4−t2−s2)) ds dt\begin{aligned} \int_0^2 \int_{-\sqrt{4-t^2}}^{+\sqrt{4-t^2}} s\Big(2t^2+(2t+1)(4-t^2-s^2)\Big) \,ds \,dt \end{aligned}
A partir daqui, existem algumas maneiras com as quais você pode terminar o problema.
  1. Dolorosamente: calcule essa integral dupla inteiramente à mão (aff!).
  2. Pragmaticamente: coloque-a em uma calculadora ou em uma ferramenta computacional algébrica, como Wolfram Alpha.
  3. Inteligentemente: você pode perceber que o integrando é uma função ímpar em relação a s. Distribua o s, e perceba que todos os termos ou possuem um s ou um s, cubed. Isso significa que a integral interna na parte entre minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root e 0 vai cancelar a parte entre 0 e square root of, 4, minus, t, squared, end square root. Portanto, a integral como um todo vale 0.

Resumo

Uma integral de fluxo começa a vida mais ou menos com essa aparência:
∬SF⋅n^ dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Resolver isso envolve os quatro passos a seguir:
  • Etapa 1: parametrizar a superfície, e traduzir essa integral de superfície para uma integral dupla sobre o espaço paramétrico.
  • Etapa 2: aplicar a fórmula para um vetor normal unitário.
  • Etapa 3: simplificar o integrando, que envolve duas derivadas parciais vetoriais, um produto vetorial e um produto escalar.
  • Etapa 4: calcular a integral dupla (na prática, um computador pode assumir a partir daqui).

Quer participar da conversa?

Entrar
Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.