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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 14: Fluxo em 3D (artigos)Fluxo em três dimensões
Também conhecido como integral de superfície em um campo vetorial, o fluxo em três dimensões mede o quanto um líquido flui através de uma dada superfície.
Conhecimentos prévios
Não totalmente necessário, mas útil para analogias:
O que estamos construindo
- Quando você tem uma corrente de fluido em um espaço tridimensional, e uma superfície ocupando aquele espaço, o fluxo por aquela superfície é uma medida da taxa na qual o fluido está correndo por ela.
- O fluxo pode ser calculado com a seguinte integral de superfície:em que
Variação da massa do fluido em uma gota
Pense em um campo vetorial tridimensional, representado por uma função
Como gostamos de fazer com campos vetoriais, imagine que isso está descrevendo um fluxo de fluido tridimensional. E, para este tópico, é útil imaginar a aparência desse fluxo em um breve instante. Quem sabe, imagine partículas de fluido que se deslocam da cauda de cada vetor para sua ponta ao longo de um espaço de tempo
Agora, pense em uma gota tridimensional, com o fluido passando pela sua superfície.
Vamos chamar a superfície dessa gota de
Questão-chave: qual é a quantidade de fluido que está saindo/entrando nessa gota à medida que ela flui ao longo do campo vetorial definido por?
Para ser mais preciso, poderíamos dizer isso em termos da massa saindo/entrando na gota. Por uma questão de simplicidade (quem não gosta de simplicidade, não é mesmo?), vamos supor que o fluido tem uma densidade de
Formulação mais rigorosa: qual é a taxa de variação da massa no interior da gota em função do tempo? Suponha que a velocidade de cada partícula do fluido é dada pelo vetor, onde são as coordenadas da partícula. Suponha também que o fluido tem uma densidade uniforme de ao longo da superfície.
Fluxo através de cada pequeno pedaço da superfície
Abaixo, confira a essência da resolução do problema:
- Etapa 1: divida a superfície
- Etapa 2: veja a quantidade de fluido que sai/entra em cada pedaço
- Etapa 3: some todas essas quantidades com uma integral de superfície.
Etapa 1: dividir a superfície
Em princípio, você deve pensar em cada pedaço como sendo infinitesimalmente pequeno. Afinal, isso é o que gostamos de fazer com integrais. Uma notação comum para usar com superfícies é denotar a área infinitesimal de um desses pedaços como "
Além disso, como cada pedaço é realmente pequeno e estamos pensando na superfície
Etapa 2: medir o fluxo do fluido através de cada pedaço
Como cada um desses pedaços é realmente minúsculo, todo o fluido que flui por ele estará basicamente se movendo na mesma velocidade e no mesmo sentido. Especificamente, se você escolher um ponto arbitrário
Isso significa que o fluido que passa por ele durante um curto período de tempo
O vetor deslocamento para cada uma dessas partículas será a sua velocidade multiplicada pela variação no tempo:
Agora, digamos que
Verificação de conceito: qual é o volume de fluido que sai do pequeno pedaço ao longo do tempo
Observe que, como estamos supondo que a densidade do fluido é
Observação: a orientação importa
Observe que, se tivéssemos escolhido o vetor normal unitário que aponta no sentido oposto, o sinal dessa expressão
Com superfícies fechadas, a convenção é escolher um vetor normal unitário que aponta para fora. Isso significa que nossa expressão para a taxa de fluxo será positiva quando o fluido estiver indo para fora da região ao longo do pequeno pedaço, e negativa se o fluido estiver indo para dentro daquela região.
Etapa 3: some tudo com uma integral
O objetivo é medir a taxa na qual o fluido flui através da superfície inteira como um todo:
(Observe que, nesta animação, todo o fluido está indo para fora da superfície. Em geral, ele pode estar indo para dentro da região em alguns pontos).
Para obter esta taxa de fluxo mais global, some a taxa na qual a massa flui através de cada pequeno pedaço de
Agora, coloque-o em uma integral de superfície:
Repare que há duas funções dentro dessa integral:
Ambas são funções de valor vetorial, e seu produto escalar é uma função de valor escalar.
Você poderia escrever isso como a derivada negativa da massa do fluido em
No próximo artigo, você pode trabalhar em um exemplo que calcula uma dessas integrais. Isso envolve encontrar uma expressão para o vetor normal unitário, reestruturar a integral em função de uma parametrização para
Fluxo
Essa medida da quantidade de fluido que está passando por uma superfície é chamada de fluxo. No exemplo acima, isso foi concebido no contexto de uma superfície fechada que é a fronteira de uma região, no caso em que o fluxo também foi uma medida da massa variando nessa região. Em princípio, no entanto, o fluxo é algo que você pode calcular para qualquer superfície, fechada ou não.
Muitas coisas em física podem ser pensadas como algum tipo de fluxo, não apenas o fluido. O calor, e mesmo em algumas forças de sentido, também flui pelo espaço. E, como tal, não é raro encontrar-se calculando o fluxo através de uma superfície em um problema sobre o calor ou, digamos, o eletromagnetismo.
Resumo
Dado um fluxo de fluido tridimensional, o raciocínio para calcular seu fluxo por uma superfície é:
- Imagine-se dividindo a superfície em muitos pedaços pequenos, tão pequenos que cada pedaço pode ser considerado plano.
- Calcule a quantidade de fluido que flui através de cada pedaço em função da área
- "Some" todas estas taxas de fluxo com uma integral de superfície para obter o fluxo como um todo.
- Se você alterar a orientação de sua superfície, escolhendo vetores normais unitários que apontem para o sentido oposto, o sinal dessa integral deverá ser trocado.
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