Fluxo em três dimensões

Conhecimentos prévios

• Campos vetoriais
• Integrais de superfície
• Vetor normal unitário de uma superfície

• Fluxo bidimensional

O que estamos construindo

• Quando você tem uma corrente de fluido em um espaço tridimensional, e uma superfície ocupando aquele espaço, o fluxo por aquela superfície é uma medida da taxa na qual o fluido está correndo por ela.
• O fluxo pode ser calculado com a seguinte integral de superfície:

  $\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

  em que
  • $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 denota a superfície através da qual estamos medindo o fluxo.
  • $\blueE{F(x, y,z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 é um campo vetorial tridimensional, considerado como a descrição de um fluxo de fluido.
  • $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y, z)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f é uma função que dá um vetor normal unitário em cada ponto de $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612.
  • $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 pode ser pensada como uma pequena unidade de área na superfície $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612.

Variação da massa do fluido em uma gota

Questão-chave: qual é a quantidade de fluido que está saindo/entrando nessa gota à medida que ela flui ao longo do campo vetorial definido por $\blueE{F(x, y, z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99?

Formulação mais rigorosa: qual é a taxa de variação da massa no interior da gota em função do tempo? Suponha que a velocidade de cada partícula do fluido é dada pelo vetor $\blueE{\textbf{F}(x, y, z)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, onde $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis são as coordenadas da partícula. Suponha também que o fluido tem uma densidade uniforme de $1 \, \text{kg}/\text{m}^3$1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed ao longo da superfície.

Fluxo através de cada pequeno pedaço da superfície

• Etapa 1: divida a superfície $S$S em muitos pedaços minúsculos.
• Etapa 2: veja a quantidade de fluido que sai/entra em cada pedaço
• Etapa 3: some todas essas quantidades com uma integral de superfície.

Etapa 1: dividir a superfície

Etapa 2: medir o fluxo do fluido através de cada pedaço

Escolha 1 resposta:

Escolha 1 resposta:

• (Escolha A)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$
• (Escolha B)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

Verificar

[Resposta]

Observação: a orientação importa

Etapa 3: some tudo com uma integral

• $\blueE{\textbf{F}}(x, y,z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, que dá a velocidade de uma partícula de fluido em um ponto.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y, z)$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, que fornece o vetor normal unitário que aponta para fora em um ponto arbitrário sobre a superfície.

Fluxo

Resumo

• Imagine-se dividindo a superfície em muitos pedaços pequenos, tão pequenos que cada pedaço pode ser considerado plano.
• Calcule a quantidade de fluido que flui através de cada pedaço em função da área $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 desse pedaço, do vetor normal unitário $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f para esse pedaço e da velocidade do fluido $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 nessa região.
• "Some" todas estas taxas de fluxo com uma integral de superfície para obter o fluxo como um todo.

  $\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Fluxo por $\redE{S}$}} \end{aligned}$

• Se você alterar a orientação de sua superfície, escolhendo vetores normais unitários que apontem para o sentido oposto, o sinal dessa integral deverá ser trocado.