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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 14: Fluxo em 3D (artigos)

Fluxo em três dimensões

Também conhecido como integral de superfície em um campo vetorial, o fluxo em três dimensões mede o quanto um líquido flui através de uma dada superfície.

Conhecimentos prévios

Não totalmente necessário, mas útil para analogias:

Fluxo bidimensional

O que estamos construindo

Quando você tem uma corrente de fluido em um espaço tridimensional, e uma superfície ocupando aquele espaço, o fluxo por aquela superfície é uma medida da taxa na qual o fluido está correndo por ela.
O fluxo pode ser calculado com a seguinte integral de superfície:
$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍
em que
- $S$ ‍ denota a superfície através da qual estamos medindo o fluxo.
- $F (x, y, z)$ ‍ é um campo vetorial tridimensional, considerado como a descrição de um fluxo de fluido.
- $\hat{n} (x, y, z)$ ‍ é uma função que dá um vetor normal unitário em cada ponto de $S$ ‍.
- $d Σ$ ‍ pode ser pensada como uma pequena unidade de área na superfície $S$ ‍.

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Variação da massa do fluido em uma gota

Pense em um campo vetorial tridimensional, representado por uma função

F (x, y, z)

de valor vetorial.

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Como gostamos de fazer com campos vetoriais, imagine que isso está descrevendo um fluxo de fluido tridimensional. E, para este tópico, é útil imaginar a aparência desse fluxo em um breve instante. Quem sabe, imagine partículas de fluido que se deslocam da cauda de cada vetor para sua ponta ao longo de um espaço de tempo

Δ t

muito curto.

Agora, pense em uma gota tridimensional, com o fluido passando pela sua superfície.

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Vamos chamar a superfície dessa gota de

S

Questão-chave: qual é a quantidade de fluido que está saindo/entrando nessa gota à medida que ela flui ao longo do campo vetorial definido por $F (x, y, z)$ ‍?

Para ser mais preciso, poderíamos dizer isso em termos da massa saindo/entrando na gota. Por uma questão de simplicidade (quem não gosta de simplicidade, não é mesmo?), vamos supor que o fluido tem uma densidade de

1 kg / m^{3}

. Confira uma formulação mais quantificável de nossa questão-chave:

Formulação mais rigorosa: qual é a taxa de variação da massa no interior da gota em função do tempo? Suponha que a velocidade de cada partícula do fluido é dada pelo vetor $F (x, y, z)$ ‍, onde $(x, y, z)$ ‍ são as coordenadas da partícula. Suponha também que o fluido tem uma densidade uniforme de $1 kg / m^{3}$ ‍ ao longo da superfície.

Fluxo através de cada pequeno pedaço da superfície

Abaixo, confira a essência da resolução do problema:

Etapa 1: divida a superfície $S$ ‍ em muitos pedaços minúsculos.
Etapa 2: veja a quantidade de fluido que sai/entra em cada pedaço
Etapa 3: some todas essas quantidades com uma integral de superfície.

Etapa 1: dividir a superfície

Em princípio, você deve pensar em cada pedaço como sendo infinitesimalmente pequeno. Afinal, isso é o que gostamos de fazer com integrais. Uma notação comum para usar com superfícies é denotar a área infinitesimal de um desses pedaços como "

d Σ

Além disso, como cada pedaço é realmente pequeno e estamos pensando na superfície

S

como sendo lisa, você pode tratar esses pedaços como se eles fossem planos.

Etapa 2: medir o fluxo do fluido através de cada pedaço

Como cada um desses pedaços é realmente minúsculo, todo o fluido que flui por ele estará basicamente se movendo na mesma velocidade e no mesmo sentido. Especificamente, se você escolher um ponto arbitrário

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

nesse pedaço, as partículas de fluido que passam por ele terão um vetor velocidade de

\approx F (x_{0}, y_{0}, z_{0})

Isso significa que o fluido que passa por ele durante um curto período de tempo

Δ t

vai formar uma espécie de prisma inclinado:

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O vetor deslocamento para cada uma dessas partículas será a sua velocidade multiplicada pela variação no tempo:

$\underset{Vetor que descreve a aresta inclinada do prisma}{\underset{⏟}{F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t}}$ ‍

Agora, digamos que

\hat{n}

denote o vetor normal unitário para o nosso pequeno pedaço de área:

Verificação de conceito: qual é o volume de fluido que sai do pequeno pedaço ao longo do tempo

Δ t

? (O pequeno pedaço tem área

d Σ

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍
(Escolha B)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍

A segunda opção está correta:
$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍
O prisma inclinado formado pelo fluido que sai de nosso pequeno pedaço tem uma base de área $d Σ$ ‍. Para obtermos seu volume, precisamos multiplicar essa área da base pela altura do prisma.
O deslocamento $F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t$ ‍ de uma partícula de fluido não nos dá exatamente a altura. O que queremos é a componente daquele vetor que é perpendicular ao pequeno pedaço, então pegamos o produto escalar entre esse vetor e o vetor normal unitário:
$(F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) Δ t) \cdot \hat{n}$ ‍
Eu escolhi reorganizar isso na forma da expressão equivalente $(F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) Δ t$ ‍ porque a próxima coisa a fazer envolve dividir esse $Δ t$ ‍.

Observe que, como estamos supondo que a densidade do fluido é

1

, essa expressão também dá a massa de fluido que está saindo do pequeno pedaço. Se você dividir pela variação no tempo

Δ t

, você poderá obter a taxa na qual a massa está passando por esse pequeno pedaço de área:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Fluxo de massa por unidade de tempo \end{array}$ ‍

Observação: a orientação importa

Observe que, se tivéssemos escolhido o vetor normal unitário que aponta no sentido oposto, o sinal dessa expressão

(F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ)

estaria trocado.

Com superfícies fechadas, a convenção é escolher um vetor normal unitário que aponta para fora. Isso significa que nossa expressão para a taxa de fluxo será positiva quando o fluido estiver indo para fora da região ao longo do pequeno pedaço, e negativa se o fluido estiver indo para dentro daquela região.

Etapa 3: some tudo com uma integral

O objetivo é medir a taxa na qual o fluido flui através da superfície inteira como um todo:

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(Observe que, nesta animação, todo o fluido está indo para fora da superfície. Em geral, ele pode estar indo para dentro da região em alguns pontos).

Para obter esta taxa de fluxo mais global, some a taxa na qual a massa flui através de cada pequeno pedaço de

S

. Como estamos somando quantidades associadas a pequenos pedaços de área em uma superfície, a ferramenta apropriada é uma integral de superfície. Pegue o resultado da última seção:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Taxa de fluxo pelo pequeno pedaço \end{array}$ ‍

Agora, coloque-o em uma integral de superfície:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Repare que há duas funções dentro dessa integral:

$F (x, y, z)$ ‍, que dá a velocidade de uma partícula de fluido em um ponto.
$\hat{n} (x, y, z)$ ‍, que fornece o vetor normal unitário que aponta para fora em um ponto arbitrário sobre a superfície.

Ambas são funções de valor vetorial, e seu produto escalar é uma função de valor escalar.

Você poderia escrever isso como a derivada negativa da massa do fluido em

R

; negativa porque a integral de superfície será positiva quando o fluido estiver saindo da região.

$\underset{Taxa na qual o fluido sai R}{\underset{⏟}{- \frac{d (massa do fluido em R)}{d t}}} = \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

No próximo artigo, você pode trabalhar em um exemplo que calcula uma dessas integrais. Isso envolve encontrar uma expressão para o vetor normal unitário, reestruturar a integral em função de uma parametrização para

S

etc.

Fluxo

Essa medida da quantidade de fluido que está passando por uma superfície é chamada de fluxo. No exemplo acima, isso foi concebido no contexto de uma superfície fechada que é a fronteira de uma região, no caso em que o fluxo também foi uma medida da massa variando nessa região. Em princípio, no entanto, o fluxo é algo que você pode calcular para qualquer superfície, fechada ou não.

Muitas coisas em física podem ser pensadas como algum tipo de fluxo, não apenas o fluido. O calor, e mesmo em algumas forças de sentido, também flui pelo espaço. E, como tal, não é raro encontrar-se calculando o fluxo através de uma superfície em um problema sobre o calor ou, digamos, o eletromagnetismo.

Resumo

Dado um fluxo de fluido tridimensional, o raciocínio para calcular seu fluxo por uma superfície é:

Imagine-se dividindo a superfície em muitos pedaços pequenos, tão pequenos que cada pedaço pode ser considerado plano.
Calcule a quantidade de fluido que flui através de cada pedaço em função da área $d Σ$ ‍ desse pedaço, do vetor normal unitário $\hat{n}$ ‍ para esse pedaço e da velocidade do fluido $F$ ‍ nessa região.
"Some" todas estas taxas de fluxo com uma integral de superfície para obter o fluxo como um todo.
$\begin{array}{r} \underset{Fluxo por S}{\underset{⏟}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}} \end{array}$ ‍
Se você alterar a orientação de sua superfície, escolhendo vetores normais unitários que apontem para o sentido oposto, o sinal dessa integral deverá ser trocado.

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