Vetor normal unitário de uma superfície

Conhecimentos prévios

• Derivadas parciais de superfícies paramétricas
  • Em particular, certifique-se de ter um bom entendimento sobre as derivadas parciais de uma função que parametriza uma superfície, e o que elas representam.
• Produto vetorial (vídeo)

O que estamos construindo

• Se uma superfície é parametrizada por uma função $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍, o vetor normal unitário a essa superfície é dada pela expressão

  $\begin{array}{r}\pm {\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))}{|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))|}}\end{array}$‍

• Você sempre tem duas opções para uma função de vetor unitário. Se uma superfície é fechada, como uma esfera ou um toro, essas opções podem ser interpretadas como vetores que apontam para fora e vetores que apontam para dentro.
• Isto é relevante para a ideia de fluxo tridimensional, abordada no próximo artigo.

Vetor normal unitário

Exemplo: como calcular um vetor normal unitário

Etapa 1: encontrar um vetor normal (não necessariamente unitário)

Escolha 1 resposta:

Escolha 1 resposta:

• (Escolha A)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍
• (Escolha B)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍
• (Escolha C)  

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))+({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))+({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

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Resposta

A primeira opção de resposta está correta:

$\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2))\end{array}$‍

Se isso parece confuso, considere assistir novamente ao vídeo sobre produtos vetoriais.

Os dois vetores das derivadas parciais, ${\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(1,-2)$‍ e ${\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(1,-2)$‍, são tangentes à superfície no ponto $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(1,-2)$‍. Seu produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular à ambos, e que é, portanto, normal à superfície naquele ponto.

$\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))=\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Resposta

Comece por calcular cada derivada parcial. Primeiro, vamos fazê-lo em relação a $t$‍:

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(t+1)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}(s^2-t^2+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2t\end{array}\right]\end{array}$‍

Em seguida, em relação a $s$‍:

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(t+1)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}(s^2-t^2+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2s\end{array}\right]\end{array}$‍

Agora, calcule o produto vetorial:

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2t\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2s\end{array}\right]& =\text{det}\left(\begin{array}{ccc}\widehat{\mathbf{\text{i}}}& \widehat{\mathbf{\text{j}}}& \widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ 1& 0& -2t\\ 0& 1& 2s\end{array}\right)\\ \\ & =(0-(-2t))\widehat{\mathbf{\text{i}}}+(0-2s)\widehat{\mathbf{\text{j}}}+(1-0)\widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ \\ & =2t\widehat{\mathbf{\text{i}}}+-2s\widehat{\mathbf{\text{j}}}+1\widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ \end{array}$‍

Ou, escrito como um vetor vertical, é isso o que obtemos:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t\\ -2s\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

Etapa 2: transformá-lo em um vetor normal unitário

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Resposta

Como eu disse na seção anterior, quando inserimos $(t,s)=(1,-2)$‍ em nossa expressão geral para um vetor normal, obtemos:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2(1)\\ -2(-2)\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

E esse vetor tem a seguinte magnitude:

$\sqrt{2^2+4^2+1^2}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$‍

Para torná-lo um vetor unitário, nós vamos redimensionar seu comprimento de $\sqrt{21}$‍ para $1$‍. Para fazer isso, divida cada componente por $\sqrt{21}$‍:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2/\sqrt{21}\\ 4/\sqrt{21}\\ 1/\sqrt{21}\end{array}\right]\leftarrow \text{Vetor unitário}\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Resposta

Nossa expressão geral para um vetor normal (não necessariamente unitário) é

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t\\ -2s\\ 1\end{array}\right]\end{array}$‍

Como uma função de $t$‍ e $s$‍, este vetor tem magnitude

$\sqrt{(2t{)}^2+(-2s{)}^2+1}=\sqrt{4t^2+4s^2+1}$‍

Para transformar nossa expressão de vetor normal em uma expressão de vetor normal unitário, divida cada termo por esta magnitude:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2t/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\\ -2s/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\\ 1/\sqrt{4t^2+4s^2+1}\end{array}\right]\end{array}$‍

Escolha da orientação

Resumo

• Dada uma superfície parametrizada por uma função $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍, para encontrar uma expressão para o vetor normal unitário a esta superfície, siga as seguintes etapas:
• Etapa 1: obtenha um vetor normal (não necessariamente unitário) pegando o produto vetorial de ambas as derivadas parciais de $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍:

  $\begin{array}{r}({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s))\end{array}$‍

• Etapa 2: transforme esta expressão vetorial em um vetor unitário dividindo-a por sua própria magnitude:

• Você também pode multiplicar esta expressão por $-1$‍, e ainda obterá vetores normais unitários.
• A principal razão para aprender esta habilidade é para calcular fluxos tridimensionais.