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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 14: Fluxo em 3D (artigos)

Vetor normal unitário de uma superfície

Aprenda como encontrar o vetor perpendicular ou "normal" à superfície. Você vai precisar desse conhecimento para calcular o fluxo em três dimensões.

Conhecimentos prévios

Derivadas parciais de superfícies paramétricas
- Em particular, certifique-se de ter um bom entendimento sobre as derivadas parciais de uma função que parametriza uma superfície, e o que elas representam.
Produto vetorial (vídeo)

O que estamos construindo

Se uma superfície é parametrizada por uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, o vetor normal unitário a essa superfície é dada pela expressão
$\begin{aligned} \pm \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}$
Você sempre tem duas opções para uma função de vetor unitário. Se uma superfície é fechada, como uma esfera ou um toro, essas opções podem ser interpretadas como vetores que apontam para fora e vetores que apontam para dentro.
Isto é relevante para a ideia de fluxo tridimensional, abordada no próximo artigo.

Vetor normal unitário

Digamos que você tenha uma superfície S. Se um vetor em algum ponto de S é perpendicular a S naquele ponto, ele é chamado de vetor normal (de S naquele ponto). Mais precisamente, você pode dizer que ele é perpendicular ao plano tangente de S naquele ponto, ou que ele é perpendicular a todos os possíveis vetores tangentes de S naquele ponto.

Quando um vetor normal tem magnitude 1, ele é chamado de vetor normal unitário. Observe que sempre haverá dois vetores normais unitários, cada um deles apontando em sentidos opostos:

Por que nos preocupamos? Para calcular integrais de superfície em um campo vetorial, também conhecido como fluxo tridimensional, você precisará encontrar uma expressão para os vetores normais unitários em uma dada superfície. Isso terá a forma de uma função vetorial com múltiplas variáveis, cujas entradas vivem em três dimensões (onde a superfície vive), e cujas saídas são vetores tridimensionais.

Exemplo: como calcular um vetor normal unitário

Considere a superfície descrita pela seguinte função paramétrica:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

No intervalo em que minus, 2, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 e minus, 2, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, a superfície é mais ou menos assim:

Para o que se segue, estou supondo que você sabe que as duas derivadas parciais de uma superfície paramétrica geram vetores tangentes à superfície, mas em sentidos diferentes.

Etapa 1: encontrar um vetor normal (não necessariamente unitário)

Verificação de conceito: qual das seguintes opções gerará um vetor perpendicular à superfície parametrizada por start bold text, v, end bold text, with, vector, on top no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1, -2) \right) + \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1, -2) \right) \end{aligned}$

[Resposta]

Esta é uma expressão muito complicada, com duas derivadas parciais de valor vetorial e um produto vetorial. Se você já tiver calculado integrais de superfície antes, então estará bem familiarizado com a expressão e com quão difícil pode ser calculá-la.

Mais uma vez, é assim que start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis é definida:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Verificação de conceito: agora, calcule o produto vetorial das derivadas parciais de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Faça isso para um ponto geral left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, ou seja, cada componente de sua resposta será uma função de t e s. Conforme descrito no problema anterior, isso lhe dará uma função para vetores normais da superfície.

$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) = \end{aligned}$
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Por exemplo, se definíssemos que left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis, obteríamos:

$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2(1) \\ -2(-2) \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Esse é um vetor perpendicular à superfície no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis. No entanto, ele não é um vetor unitário, como você pode conferir calculando sua magnitude:

square root of, 2, squared, plus, 4, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 4, plus, 16, plus, 1, end square root, equals, square root of, 21, end square root

Etapa 2: transformá-lo em um vetor normal unitário

Então, temos esta expressão

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2t \\ -2s \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}

que nos dá um vetor normal para cada ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis. A próxima etapa é manipulá-la um pouco para obter uma expressão para um vetor normal unitário.

Verificação de conceito: qual é o vetor normal unitário à nossa superfície no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, minus, 2, right parenthesis?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Verificação de conceito: de forma mais geral, qual é o vetor normal unitário à nossa superfície em um ponto arbitrário start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, como uma função de t e s?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Uhuuuu! Você conseguiu um vetor normal unitário.

Se você inserir qualquer valor left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis nesta expressão, você obterá um vetor com magnitude 1 e ele será normal à superfície parametrizada pela função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Escolha da orientação

Observe que se você multiplicar sua função de vetor normal unitário por minus, 1, ela ainda produzirá vetores normais unitários. Todos eles vão simplesmente apontar para o sentido oposto. A escolha do sentido para os vetores normais unitários da sua superfície é chamada de orientação dessa superfície.

Você verá a importância disto no próximo artigo sobre fluxo tridimensional. Em suma, orientar sua superfície é análogo a dar uma direção para uma curva unidimensional.

Quando sua superfície é fechada, como uma esfera ou um toro, as duas opções para vetores normais unitários são frequentemente chamadas de vetor normal unitário que aponta para fora e vetor normal unitário que aponta para dentro.

Resumo

Dada uma superfície parametrizada por uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, para encontrar uma expressão para o vetor normal unitário a esta superfície, siga as seguintes etapas:
Etapa 1: obtenha um vetor normal (não necessariamente unitário) pegando o produto vetorial de ambas as derivadas parciais de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis:
$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \end{aligned}$
Etapa 2: transforme esta expressão vetorial em um vetor unitário dividindo-a por sua própria magnitude:

$\begin{aligned} \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}$

Você também pode multiplicar esta expressão por minus, 1, e ainda obterá vetores normais unitários.
A principal razão para aprender esta habilidade é para calcular fluxos tridimensionais.

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