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Gráficos da função comprimento de arco, exemplos

Treine como encontrar o comprimento de arco de vários gráficos de funções.

Exemplo 1: prática com um semicírculo

Considere um semicírculo de raio 1, com centro na origem, conforme mostrado à direita. Da geometria, sabemos que o comprimento dessa curva é π. Vamos usar nosso recém-descoberto método de cálculo do comprimento do arco para redescobrir o comprimento de um semicírculo.
Por definição, todos os pontos (x,y) na circunferência estão a uma distância de 1 da origem, por isso temos que
x2+y2=1
Ao reorganizarmos para escrever y como uma função de x, temos
y=1x2
Para definir a integral do comprimento do arco, é útil aproximar essa curva imaginando-a como um punhado de pequenas retas.
Ao escrevermos a integral do comprimento do arco, ignorando os limites por um estante, obtemos:
(dx)2+(dy)2.
Como feito anteriormente, pensamos o integrando (dx)2+(dy)2 como a representação do comprimento de uma dessas pequenas retas que se aproximam da curva (pelo Teorema de Pitágoras).
Agora, começamos inserindo a definição de nossa curva específica na integral.

Etapa 1: escreva dy em função de dx

Use o fato de que y=1x2 para escrever dy em função de dx.
dy=
dx

Etapa 2: substitua dy na integral

Insira essa expressão encontrada para dy na integral para escrever completamente o integrando em função de x e dx.
dx

Etapa 3: defina os limites da integral e resolva

Como a curva está definida entre x=1 e x=1, defina esses valores como os limites de sua integral e a resolva.
(Desculpe, não há nenhuma caixa de entrada com um símbolo de verificação verde e feliz. Nós sabemos, a partir da geometria, que o comprimento do arco é igual a π, mas a parte interessante é trabalhar para ver como π aparece ao se utilizar a integral do comprimento do arco.)

Pratique configurar integrais do comprimento do arco

A integral real que você obtém para o comprimento do arco é muitas vezes difícil de calcular. No entanto, é importante praticar a habilidade de configurar essa integral. Então, vamos praticar isso algumas vezes sem nos preocupar com o cálculo da integral final (você pode usar uma calculadora ou Wolfram Alpha caso obtenha uma integral real).

Exemplo 2: curva do seno

Qual integral representa o comprimento do arco do gráfico de y=sen(x) entre x=0 e x=2π?
ab
dx
a=
b=

Exemplo 3: para cima, não para a direita

Considere a curva que representa
y=±x
para todos os valores em que x4. Encontre uma integral que expresse esse comprimento do arco da curva. Mas, dessa vez, escreva tudo na integral em função de y, e não em função de x.
ab
dy
a=
b=

Exemplo​ 4: generalidade completa

Suponha que você tenha qualquer função arbitrária f(x), com derivada f(x). Qual das seguintes opções representa o comprimento do arco do gráfico
y=f(x)
entre os pontos x=a e x=b?
Escolha 1 resposta:

Com frequência, as pessoas vão começar a ensinar o comprimento do arco apresentando essa fórmula. Pessoalmente, acho que isso tira toda a graça de descobri-la por si próprio e de ter uma sensação genuína do que ela realmente representa.

Resumo

  • Usamos as palavras comprimento do arco para descrever o comprimento de uma curva. Se você imaginar a curva como um cordão, esse é o comprimento do cordão depois de esticado.
  • Você pode encontrar o comprimento do arco de uma curva com uma integral na forma
    (dx)2+(dy)2
  • Se a curva for o gráfico de uma função y=f(x), substitua o termo dy por f(x)dx na integral, e em seguida coloque o dx em evidência. Os valores dos limites da integral serão os valores de x nas extremidades esquerda e direita da curva.
  • Ao configurar a integral do comprimento de um arco, é útil pensar sobre como você realmente escolheria seguir ao longo da curva.

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