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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Integrais de linha para funções escalares (artigos)
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Gráficos da função comprimento de arco, exemplos

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Treine como encontrar o comprimento de arco de vários gráficos de funções.

Conhecimentos prévios

Exemplo 1: prática com um semicírculo

Considere um semicírculo de raio 1, com centro na origem, conforme mostrado à direita. Da geometria, sabemos que o comprimento dessa curva é pi. Vamos usar nosso recém-descoberto método de cálculo do comprimento do arco para redescobrir o comprimento de um semicírculo.
Por definição, todos os pontos left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis na circunferência estão a uma distância de 1 da origem, por isso temos que
x, squared, plus, y, squared, equals, 1
Ao reorganizarmos para escrever y como uma função de x, temos
y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root
Para definir a integral do comprimento do arco, é útil aproximar essa curva imaginando-a como um punhado de pequenas retas.
Ao escrevermos a integral do comprimento do arco, ignorando os limites por um estante, obtemos:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}.
Como feito anteriormente, pensamos o integrando square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root como a representação do comprimento de uma dessas pequenas retas que se aproximam da curva (pelo Teorema de Pitágoras).
Agora, começamos inserindo a definição de nossa curva específica na integral.

Etapa 1: escreva d, y em função de d, x

Use o fato de que y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root para escrever d, y em função de d, x.
d, y, equals
d, x

Etapa 2: substitua d, y na integral

Insira essa expressão encontrada para d, y na integral para escrever completamente o integrando em função de x e d, x.
integral
d, x

Etapa 3: defina os limites da integral e resolva

Como a curva está definida entre x, equals, minus, 1 e x, equals, 1, defina esses valores como os limites de sua integral e a resolva.
(Desculpe, não há nenhuma caixa de entrada com um símbolo de verificação verde e feliz. Nós sabemos, a partir da geometria, que o comprimento do arco é igual a pi, mas a parte interessante é trabalhar para ver como pi aparece ao se utilizar a integral do comprimento do arco.)

Pratique configurar integrais do comprimento do arco

A integral real que você obtém para o comprimento do arco é muitas vezes difícil de calcular. No entanto, é importante praticar a habilidade de configurar essa integral. Então, vamos praticar isso algumas vezes sem nos preocupar com o cálculo da integral final (você pode usar uma calculadora ou Wolfram Alpha caso obtenha uma integral real).

Exemplo 2: curva do seno

Qual integral representa o comprimento do arco do gráfico de y, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis entre x, equals, 0 e x, equals, 2, pi?
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, x
a, equals
b, equals

Exemplo 3: para cima, não para a direita

Considere a curva que representa
y, equals, plus minus, square root of, x, end square root
para todos os valores em que x, is less than or equal to, 4. Encontre uma integral que expresse esse comprimento do arco da curva. Mas, dessa vez, escreva tudo na integral em função de y, e não em função de x.
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, y
a, equals
b, equals

Exemplo​ 4: generalidade completa

Suponha que você tenha qualquer função arbitrária f, left parenthesis, x, right parenthesis, com derivada f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Qual das seguintes opções representa o comprimento do arco do gráfico
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
entre os pontos x, equals, a e x, equals, b?
Escolha 1 resposta:

Com frequência, as pessoas vão começar a ensinar o comprimento do arco apresentando essa fórmula. Pessoalmente, acho que isso tira toda a graça de descobri-la por si próprio e de ter uma sensação genuína do que ela realmente representa.

Resumo

  • Usamos as palavras comprimento do arco para descrever o comprimento de uma curva. Se você imaginar a curva como um cordão, esse é o comprimento do cordão depois de esticado.
  • Você pode encontrar o comprimento do arco de uma curva com uma integral na forma
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Se a curva for o gráfico de uma função y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, substitua o termo d, y por f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x na integral, e em seguida coloque o d, x em evidência. Os valores dos limites da integral serão os valores de x nas extremidades esquerda e direita da curva.
  • Ao configurar a integral do comprimento de um arco, é útil pensar sobre como você realmente escolheria seguir ao longo da curva.

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