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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Integrais de linha para funções escalares (artigos)
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Comprimento de arco de curvas parametrizadas

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Como encontrar o comprimento de uma curva parametrizada? Isso levará à ideia de integral de linha.

Contexto:

O que estamos construindo

  • Para calcular o comprimento de arco de uma curva, usa-se uma integral na forma
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Agora, vamos analisar o caso em que a curva é parametrizada, ou seja, x e y são definidos como funções de uma nova variável t. Para aplicar a integral do comprimento do arco, primeiro devemos obter as derivadas das duas funções para obter d, x e d, y em termos de d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
Substitua essas expressões na integral e fatore o termo d, t, squared para fora do radical.

O comprimento de uma curva parametrizada

Considere a curva parametrizada definida pelo seguinte conjunto de equações:
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, e, start superscript, minus, t, squared, end superscript
Se considerarmos t variando no intervalo minus, 1, comma, 5 a 1, comma, 5, a curva resultante será assim:
Pergunta chave: qual o comprimento dessa curva?
Ou seja, imagine que você pega a linha e a puxa para ficar reta, como se estivesse endireitando um pedaço de corda, e então mede a linha com uma régua. Que valor você teria?
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
No último artigo, vimos como encontrar o comprimento de arco de gráficos de funções, e não de curvas parametrizadas. Nós começávamos escrevendo a seguinte integral:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}.
Vamos recapitular rapidamente o significado por trás dessa integral.
  • Imagine aproximar a curva a um monte de pequenas linhas retas.
  • O comprimento de cada pequena reta é obtido usando o teorema de Pitágoras,
    square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root
    d, x e d, y representam a pequena variação dos valores x e y do início da reta até o fim dela.
Essa mesma integral pode ser aplicada tanto em curvas parametrizadas quanto em gráficos de funções. Dessa vez, como x e y são dados como funções de t, nós podemos escrever d, x e d, y, em termos de d, t, calculando as derivadas dessas duas funções.
Por exemplo, derivando a função que define x, nós obtemos
x=t3−td(x)=d(t3−t)dx=(3t2−1)dt\begin{aligned} x &= t^3 - t \\\\ d(x) &= d(t^3 - t) \\\\ \blueE{dx} &\blueE{= (3t^2 - 1)dt} \\\\ \end{aligned}
E, da mesma forma, com y:
y=2e−t2d(y)=d(2e−t2)dy=(2(−2t)e−t2) dtdy=−4te−t2 dt\begin{aligned} y &= 2e^{-t^2} \\\\ d(y) &= d(2e^{-t^2}) \\\\ dy &= (2(-2t)e^{-t^2})\,dt \\\\ \redE{dy} &\redE{= -4te^{-t^2}\,dt} \\\\ \end{aligned}
Você pode pensar nessas expressões como respostas à pergunta: "Se você pega algum valor de t, e o aumenta ligeiramente por algum valor bem pequeno d, t, quanto x e y mudam?" A resposta é expressa em termos de t e d, t.
Substituindo essas expressões na integral, nós obtemos
∫(dx)2+(dy)2=∫((3t2−1)dt)2+((−4te−t2)dt)2=∫((3t2−1)2+(−4te−t2)2)dt2=∫9t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int \sqrt{(\blueE{dx})^2 + \redE{(dy)}^2} &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}dt)^2 + (\redE{(-4te^{-t^2})}dt)^2} \\ \\ &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}^2 + \redE{(-4te^{-t^2})}^2)dt^2} \\ \\ &= \int \sqrt{\blueE{9t^4 -6t^2 + 1} + \redE{16t^2e^{-2t^2}}}\;dt \\ \\ \end{aligned}
Agora, tudo dentro da integral está escrito em termos de t, então os limites da integral correspondem aos valores inicial e final do parâmetro t. Nesse caso, deixamos t variar de minus, 1, comma, 5 até 1, comma, 5, assim temos
∫−1,51,59t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \sqrt{9t^4 -6t^2 + 1 + 16t^2e^{-2t^2}}\;dt \\ \end{aligned}
Essa é uma integral bem desagradável de se calcular. Eu nem sei se uma primitiva dela existe. No entanto, nós pelo menos reduzimos o problema do comprimento de arco a um estado que é possível passar para o computador calcular.

Treino de integrais do comprimento de arco

Vamos examinar a curva parametrizada definida por
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, 3, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, t, squared
Considere o segmento desta curva entre os pontos em que t, equals, minus, 2 e t, equals, 2.
Qual é o comprimento desse segmento?
Como nossa curva é definida em termos de x e y, a integral do comprimento de nosso arco começa como
∫dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
Para obter essa integral em termos de t, nós devemos escrever tanto d, x quanto d, y como alguma expressão de t

Etapa 1: escrever d, x e d, y em termos de t

Como é d, x em termos de t?
d, x, equals
d, t

Como é d, y em termos de t?
d, y, equals
d, t

Etapa 2: colocar as expressões na integral

Como fica nossa integral depois de colocarmos as expressões para d, x e d, y? Simplifique a integral até que não haja radical.
integral
d, t

Etapa 3: definir os limites apropriados para a integral e resolver

O problema afirma que a curva vai de minus, 2 até 2. Resolva a integral considerando esses limites.

E agora?

O comprimento do arco de curvas paramétricas é um ponto de partida natural para aprender sobre integrais de linha, um conceito central no cálculo de múltiplas variáveis. Para evitar que as coisas fiquem muito confusas como em geral ficam, primeiro preciso passar por algumas notações mais compactas dessas integrais de comprimento do arco, que você pode encontrar no próximo artigo.

Resumo

  • Para calcular o comprimento de arco de uma curva, usa-se uma integral na forma
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Quando a curva é parametrizada, com x e y definidos em função de t, calcule a derivada das duas funções para ter d, x e d, y em termos de d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
substitua essas expressões na integral e coloque o termo d, t, squared do radical em evidência.

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