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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Integrais de linha para funções escalares (artigos)
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Integrais de linha em um campo escalar

Google Sala de Aula
Aprenda a calcular e interpretar integrais de linha, também conhecidas como integrais de caminho ou integrais de curva.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Da mesma maneira que uma integral comum integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x te leva ao longo do eixo x somando pequenas quantidades específicas no caminho, uma integral de linha integral, start subscript, C, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, s te leva ao longo de uma curva no plano x, y, somando quantidades específicas que dependem da função multivariável f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
  • Se uma curva C é parametrizada por uma função vetorial start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis entre os valores t, equals, a e t, equals, b, a integral de linha é escrita da seguinte forma:
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C {f}\,{ds} = \int_a^b {f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, {|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}
  • Neste caso, f é uma função escalar, então denominamos esse processo de "integração de linha em um campo escalar", para distinguir de uma ideia relacionada que abordaremos a seguir em: integração de linha em um campo vetorial.

O que é uma integral de linha

No último artigo, apresentei algumas notações compactas para uma integral do comprimento do arco:
∫Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
  • O termo d, s representa uma variação bem pequena no comprimento ao longo da curva.
  • C é só um nome que damos à curva. Colocá-lo na base da integral, assim integral, start subscript, C, end subscript, é uma forma de adiarmos a necessidade de colocarmos limites reais na integral.
As integrais de linha estendem essa ideia colocando uma função multivariável dentro da integral,
∫Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}
Você pode pensar nessa integral como se ela dissesse
"Ei, enquanto você está andando ao longo da curva em pequenos passos de tamanho d, s, em vez de apenas somar os tamanhos desses passos, multiplique cada tamanho de passo pelo valor da função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis no ponto em que você está."
A animação a seguir relaciona isso à ideia mais familiar de encontrar a área sob uma curva. Imagine uma cortina solta sob o gráfico tridimensional de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ao longo da curva C no plano x, y. A integral de linha dá a área dessa cortina. (A imagem original é um gráfico de contorno colorido da função f.)
Imagine a área dessa cortina sendo dividida em infinitos retângulos infinitamente finos. A base infinitesimal de cada retângulo é d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, o tamanho de um pequeno passo ao longo da curva. A altura de cada retângulo é f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, a altura do gráfico de f naquele ponto.

Notação vetorial para integrais de linha

No final da animação acima, a integral de linha é escrita assim:
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}
Vamos separar o que cada parte dessa integral de linha significa.

A parametrização de C

start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis é uma função vetorial que parametriza a curva C. Em duas dimensões, ela pode ser mais ou menos assim:
r⃗(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} x(t) \\\\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Os limites da integral, a e b, são valores de t que determinam onde a curva começa e termina.
Em essência, isso significa que, conforme o valor de t varia entre a e b, a ponta do vetor start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis delineia a curva C.

Composição de f com a parametrização

Calcular start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 significa pegar as componentes x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, e utilizá-las como entradas de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis
Você pode pensar nisso assim: um determinado valor de t nos coloca em algum ponto sobre o plano x, y, expresso como a ponta do vetor start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis. Então, start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 dá o valor da função f naquele ponto do plano.

d, s é a magnitude da derivada (multiplicada por d, t)

O termo d, s, que representa um pequeno passo ao longo da curva, é expandido como start color #bc2612, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t, end color #bc2612, a magnitude da derivada de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis multiplicada por d, t.
Intuitivamente, isso acontece porque a derivada responde à pergunta "o que acontece quando você varia levemente a entrada usando o valor d, t?" A resposta é que a saída varia ao longo do vetor start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t no plano x, y. A magnitude dessa varição no espaço de saída lhe dá o tamanho de uma variação d, s ao longo da curva, como uma função do tamanho da variação no espaço de parâmetros d, t
Você também pode ver isso como uma notação vetorial compacta de square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root:
∣r⃗′(t)∣dt=∣[x′(t)y′(t)]∣dt=(x′(t))2+(y′(t))2dt=(x′(t))2dt2+(y′(t))2dt2=(x′(t)dt)2+(y′(t)dt)2=(dx)2+(dy)2\begin{aligned} |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt &= \left|\left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ \\ y'(t) \end{array} \right]\right|dt \\\\ &= \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt \\\\ &= \sqrt{(x'(t))^2 dt^2 + (y'(t))^2dt^2} \\\\ &= \sqrt{(x'(t)dt)^2 + (y'(t)dt)^2} \\\\ &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Ao juntarmos tudo isso obtemos a representação vetorial de uma integral de linha:
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}

Exemplo 1: calcular uma integral de linha simples

Considere C um quarto de um círculo de raio 2 centrado na origem. Esse quarto está no primeiro quadrante, para ser mais específico.
Podemos descrever esse quarto de círculo parametricamente com a seguinte função:
r⃗(t)=[2cos⁡(t)2sen⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ \\ 2\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Se definirmos t como indo de 0 a pi, slash, 2, isso delineia C.
Agora, defina a função multivariável f como
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, y
Nosso objetivo é calcular a integral de linha
∫Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}
O vídeo a seguir mostra a aparência da "cortina" sob o gráfico de f ao longo da curva C. O plano branco translúcido é o gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, y, e a superfície azul é a cortina cuja área estamos calculando.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo

Etapa 1: escrever d, s em função de d, t

Dado que o tamanho de um pequeno passo d, s ao longo da curva é dado pela magnitude da derivada de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis multiplicada por d, t,
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t
encontre o valor de d, s no nosso exemplo.
Para referência, a parametrização da nossa curva é r⃗(t)=[2cos⁡(t)2sen⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}
d, s, equals
d, t

Etapa 2: escrever f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em função de t

Quanto vale f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis neste caso?
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

Etapa 3: escrever a integral completamente em função de t e resolvê-la

A partir das duas etapas anteriores, nossa integral passa a ser
∫Cf(x,y)ds=∫C(2cos⁡(t)+2sen⁡(t))  2dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f(x, y)} \redE{ds} = \int_C (\blueE{2\cos(t) + 2\operatorname{sen}(t)})\; \redE{2dt} \end{aligned}
Como nossa parametrização de C apresenta t indo de 0 a start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, estes são os limites da integral. Agora, resolva-a.
∫0π/2(2cos⁡(t)+2sen⁡(t))  2dt=\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}({2\cos(t) + 2\operatorname{sen}(t)})\; {2dt} \end{aligned} =

Exemplo 2: prática mais complexa

Em princípio, a integração de linha não é tão difícil depois que você se acostuma com ela. Você só precisa saber como expandir o termo d, s, e como reescrever as entradas da função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em função da parametrização. Para saber fazer isso é necessário apenas um pouco de prática, que é o que estamos fazendo aqui.
Dito isso, integrais de linha podem ser bem difíceis de calcular. A maior parte delas acaba em um estado em que você precisa colocar a integral em um computador para conseguir uma resposta, mas, mesmo quando a integral pode ser resolvida, os números envolvidos podem rapidamente crescer e ficar complicados.
O exemplo a seguir mostra como, mesmo para funções relativamente simples, calcular uma integral de linha até o fim pode ser um problema bem complexo. Você definitivamente vai querer ter um lápis e papel de rascunho preparados se escolher seguir por esse exemplo.
Considere C a curva definida pela função
s⃗(t)=[1t+15t5t2]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{5} t^5 \\\\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}
no intervalo 1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2.
Considere f a função
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared
Calcule a integral de linha
∫Cf(x,y)ds\begin{aligned} \int_C f(x, y)ds \end{aligned}

Etapa 1: escrever d, s em função de d, t

d, s, equals
d, t

Etapa 2: substituir f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis por f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis

O que você obtém quando insere os componentes de start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis em f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y, squared?
f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

Etapa 3: calcular a integral

Insira as respostas das duas etapas anteriores na integral, e depois a resolva. Como a curva é definida para 1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, e nossa integral agora é dada em função de t, os limites da integral são 1 e 2.
(Atenção: é bastante trabalhoso calcular isso, então sinta-se à vontade para usar uma calculadora quando chegar a hora.)
∫12f(s⃗(t)) ∣s⃗′(t)∣dt=\begin{aligned} \int_1^2 f(\vec{\textbf{s}}(t))\,|\vec{\textbf{s}}'(t)|dt \end{aligned} =

Observe que a parte difícil deste problema não são os novos princípios da integração de linha ou saber como expandir d, s, nem nada disso. O que o torna difícil é que a complexidade dos termos envolvidos cresce muito rapidamente.
(Além disso, se você acha isso difícil, espere até chegarmos a integrais de superfície.)

Integrais de linha em um campo escalar

Em tudo o que foi escrito acima, a função f é uma função escalar, o que significa que ela retorna um número (ao contrário de um vetor). Existe uma pequena variação em integrais de linha, em que você pode integrar uma função vetorial ao longo de uma curva, o que abordaremos no próximo artigo.
Para fazer uma distinção entre essas ideias, tudo o que acabamos de trabalhar é normalmente chamado de integração de linha em um campo escalar e a alternativa é referida como integração de linha em um campo vetorial. O termo "campo escalar" é apenas uma outra maneira de pensar sobre o que uma função multivariável faz: ela associa cada ponto no plano x, y a algum escalar (isto é, algum número), de maneira que todo o plano seja como um campo de números apenas esperando alguém caminhar ao longo de um trecho por aquele campo e integrar aqueles valores.

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