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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)

Notação para a integração ao longo de uma curva

Há uma maneira muito compacta de expressar integrais de comprimento de arco que estabelece uma base para escrever integrais de linha.

Contexto:

O que estamos construindo

A integral do comprimento de arco
$\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}$

também pode ser escrita como

$\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}$

em que C representa a curva, e d, s é uma notação abreviada para square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, que representa o comprimento de uma pequena porção da curva.

Quando a curva paramétrica é dada por uma função vetorial start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis no intervalo a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b, a integral do comprimento do arco se parece com
$\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}$

Em outras palavras, o pequeno passo d, s ao longo da curva é a magnitude da derivada de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis

Essa é a notação padrão para integrais lineares, introduzidas no próximo artigo.

Descrevendo o comprimento do arco de forma compacta

Quando falamos sobre calcular o comprimento do arco de gráficos de funções e o comprimento do arco de curvas paramétricas, nós começamos criando uma integral da forma.

$\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}$

Ao invés de sempre escrever square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root para representar uma pequena mudança no comprimento do arco, uma convenção comum é expressar essa pequena mudança como d, s.

Pensamos em d, s como um pequeno passo ao longo de qualquer curva da qual estejamos falando, da mesma forma que d, x é um pequeno passo na direção x ou d, y é um pequeno passo na direção y.

Definindo grosseiramente os limites

Ao longo dos últimos artigos, nós procrastinamos colocar limites na integral

$\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}$ .

(Que sabemos poder ser escrito simplesmente como integral, d, s.)

Se tudo dentro da integral foi escrito em termos de x, os limites irão refletir valores de x. Se estiver tudo em termos de t, os limites refletem valores de t, etc.

Se você estiver desconfortável com a sua integral parecer tão "nua", mas não quiser se comprometer com qual variável detém os limites, aqui está o que você deve fazer. Você diz:

"Seja C a curva definida por . . ."

e segue definindo sua curva. Então você simplesmente escreve a sua integral com um pequeno C embaixo:

$\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}$

Isso basicamente diz à pessoa que está lendo para encontrar onde a curva C é definida e então substituir os valores limites relevantes quando chegar a hora de calcular.

Por um lado, esta notação é tão simples que chega a ser quase insignificante. Você pode ler em voz alta dizendo:

"O comprimento do arco de C é a integral sobre C de pequenos passos ao longo de C"

Bobagem, certo? Isso varre completamente pra baixo do tapete os detalhes do que resolver o problema do comprimento do arco acarreta, expandir d, s e codificar a definição de C na integral.

Mas, esse é realmente o ponto. Parte da razão de falar sobre integrais do comprimento do arco é definir o cenário para a ideia mais ampla de integrais lineares. Quando chegarmos às integrais lineares, você não irá sempre querer informações completas sobre a curva e a pequena mudança d, s no comprimento do arco na sua notação. Haverá outras coisas com as quais lidar. Neste contexto, abstrair o comprimento do arco para algo simples como integral, start subscript, C, end subscript, d, s será uma simplificação mais do que bem vinda.

Na linguagem do cálculo vetorial

No cálculo vetorial, nos afastamos da ideia de que uma curva paramétrica é um grupo de equações paramétricas como

x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis

y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis

Em vez disso, consideramos estas curvas como o resultado de uma única função vetorial,

$\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

A derivada de uma função vetorial como essa gera outra função vetorial

$\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

Isso nos dá uma maneira muito boa de expressar d, s, o comprimento de um pequeno passo ao longo da curva:

d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t

Por que isso é verdade? Um jeito é expandir a expressão vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t e simplificar. Tente!

[Resposta]

Como alternativa, pense em como interpretamos derivadas de vetores. Imagine ficar em pé no espaço dado, também conhecido como espaço paramétrico, em t, start subscript, 0, end subscript, e tomando uma pequena cutucada d, t, que leva você para o ponto t, start subscript, 0, end subscript, plus, d, t.

O vetor derivada start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis é a "cutucada" resultante no espaço de saída ao longo da curva. Quando multiplicamos essa derivada pelo pequeno valor d, t para conseguir

start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t,

é útil pensar nisso como um pequeno passo ao longo da curva.

Tecnicamente é um pequeno passo na direção tangente, o que pode ser um pouco fora da curva. No entanto, como d, t se aproxima de 0, um passo na direção tangente e um passo ao longo da curva podem ser considerados a mesma coisa.

A magnitude deste vetor é o tamanho do nosso pequeno passo ao longo da curva d, s.

d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, vertical bar, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t,

Isso significa que a integral do comprimento do arco de uma curva paramétrica definida pela função start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis entre t, equals, a e t, equals, b poderá se assemelhar com

$\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}$

Na verdade, calcular isso não será diferente do que pensamos nestas curvas como um conjunto de equações, já que vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t sempre se expandirá para uma forma parecida com square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root. No entanto, as pessoas geralmente preferem esta notação. Primeiro, ela, é compacta, e segundo, ela generaliza bem em dimensões superiores.

Em frente para integrais de linha!

Conhecendo essa notação, e entendendo como visualizar pequenos passos ao longo de uma curva, você agora está pronto para aprender sobre integrais de linha.

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