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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)

Notação para a integração ao longo de uma curva

Há uma maneira muito compacta de expressar integrais de comprimento de arco que estabelece uma base para escrever integrais de linha.

Contexto:

O que estamos construindo

A integral do comprimento de arco
$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

também pode ser escrita como

$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍

em que

C

representa a curva, e

d s

é uma notação abreviada para

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

, que representa o comprimento de uma pequena porção da curva.

Quando a curva paramétrica é dada por uma função vetorial $\vec{r} (t)$ ‍ no intervalo $a \leq t \leq b$ ‍, a integral do comprimento do arco se parece com
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍

Em outras palavras, o pequeno passo

d s

ao longo da curva é a magnitude da derivada de

\vec{r} (t)

Essa é a notação padrão para integrais lineares, introduzidas no próximo artigo.

Descrevendo o comprimento do arco de forma compacta

Quando falamos sobre calcular o comprimento do arco de gráficos de funções e o comprimento do arco de curvas paramétricas, nós começamos criando uma integral da forma.

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

Ao invés de sempre escrever

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

para representar uma pequena mudança no comprimento do arco, uma convenção comum é expressar essa pequena mudança como

d s

Pensamos em

d s

como um pequeno passo ao longo de qualquer curva da qual estejamos falando, da mesma forma que

d x

é um pequeno passo na direção

x

d y

é um pequeno passo na direção

y

Definindo grosseiramente os limites

Ao longo dos últimos artigos, nós procrastinamos colocar limites na integral

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍.

(Que sabemos poder ser escrito simplesmente como

\int d s

Se tudo dentro da integral foi escrito em termos de

x

, os limites irão refletir valores de

x

. Se estiver tudo em termos de

t

, os limites refletem valores de

t

, etc.

Se você estiver desconfortável com a sua integral parecer tão "nua", mas não quiser se comprometer com qual variável detém os limites, aqui está o que você deve fazer. Você diz:

"Seja $C$ ‍ a curva definida por . . ."

e segue definindo sua curva. Então você simplesmente escreve a sua integral com um pequeno

C

embaixo:

$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍

Isso basicamente diz à pessoa que está lendo para encontrar onde a curva

C

é definida e então substituir os valores limites relevantes quando chegar a hora de calcular.

Por um lado, esta notação é tão simples que chega a ser quase insignificante. Você pode ler em voz alta dizendo:

"O comprimento do arco de $C$ ‍ é a integral sobre $C$ ‍ de pequenos passos ao longo de $C$ ‍"

Bobagem, certo? Isso varre completamente pra baixo do tapete os detalhes do que resolver o problema do comprimento do arco acarreta, expandir

d s

e codificar a definição de

C

na integral.

Mas, esse é realmente o ponto. Parte da razão de falar sobre integrais do comprimento do arco é definir o cenário para a ideia mais ampla de integrais lineares. Quando chegarmos às integrais lineares, você não irá sempre querer informações completas sobre a curva e a pequena mudança

d s

no comprimento do arco na sua notação. Haverá outras coisas com as quais lidar. Neste contexto, abstrair o comprimento do arco para algo simples como

\int_{C} d s

será uma simplificação mais do que bem vinda.

Na linguagem do cálculo vetorial

No cálculo vetorial, nos afastamos da ideia de que uma curva paramétrica é um grupo de equações paramétricas como

$x (t) = t \cos (t)$ ‍

$y (t) = t sen (t)$ ‍

Em vez disso, consideramos estas curvas como o resultado de uma única função vetorial,

$\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

A derivada de uma função vetorial como essa gera outra função vetorial

$\begin{array}{r} {\vec{r}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Isso nos dá uma maneira muito boa de expressar

d s

, o comprimento de um pequeno passo ao longo da curva:

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍

Por que isso é verdade? Um jeito é expandir a expressão

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

e simplificar. Tente!

[Resposta]

Como alternativa, pense em como interpretamos derivadas de vetores. Imagine ficar em pé no espaço dado, também conhecido como espaço paramétrico, em

t_{0}

, e tomando uma pequena cutucada

d t

, que leva você para o ponto

t_{0} + d t

O vetor derivada

{\vec{r}}^{'} (t)

é a "cutucada" resultante no espaço de saída ao longo da curva. Quando multiplicamos essa derivada pelo pequeno valor

d t

para conseguir

${\vec{r}}^{'} (t) d t$ ‍,

é útil pensar nisso como um pequeno passo ao longo da curva.

Tecnicamente é um pequeno passo na direção tangente, o que pode ser um pouco fora da curva. No entanto, como

d t

se aproxima de

0

, um passo na direção tangente e um passo ao longo da curva podem ser considerados a mesma coisa.

A magnitude deste vetor é o tamanho do nosso pequeno passo ao longo da curva

d s

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) d t | = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍,

Isso significa que a integral do comprimento do arco de uma curva paramétrica definida pela função

\vec{r} (t)

entre

t = a

t = b

poderá se assemelhar com

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍

Na verdade, calcular isso não será diferente do que pensamos nestas curvas como um conjunto de equações, já que

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

sempre se expandirá para uma forma parecida com

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

. No entanto, as pessoas geralmente preferem esta notação. Primeiro, ela, é compacta, e segundo, ela generaliza bem em dimensões superiores.

Em frente para integrais de linha!

Conhecendo essa notação, e entendendo como visualizar pequenos passos ao longo de uma curva, você agora está pronto para aprender sobre integrais de linha.

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