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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Campos vetoriais conservativos

Especialmente importantes na física, campos vetoriais conservativos são aqueles em que a integração ao longo de dois caminhos que conectam os mesmos dois pontos é igual.

Conhecimentos prévios

Teorema fundamental de integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente.

O que estamos construindo

Um campo vetorial start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é chamado de campo vetorial conservativo se ele satisfaz qualquer uma das três propriedades (as quais são definidas dentro do artigo):

As integrais de linha de start bold text, F, end bold text são independentes do caminho.
As integrais de linha de start bold text, F, end bold text em circuitos fechados são sempre 0.
start bold text, F, end bold text é o gradiente de alguma função de valor escalar, ou seja, start bold text, F, end bold text, equals, del, g para alguma função g.

Há também outra propriedade equivalente a todas essas: start bold text, F, end bold text é irrotacional, o que quer dizer que seu rotacional é zero em todos os lugares (com uma pequena ressalva). No entanto, vamos falar sobre isso em um artigo separado que define o rotacional em função das integrais de linha.

A principal lição aqui não é apenas a definição de um campo vetorial conservativo, mas o fato surpreendente de que as condições aparentemente diferentes listadas acima são equivalentes entre si. Que loucura!

Independência do caminho

Imagine que você tenha um campo vetorial pronto start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, e você considera as integrais de linha de start bold text, F, end bold text de dois caminhos distintos, C, start subscript, 1, end subscript e C, start subscript, 2, end subscript, cada um começando em um ponto A e terminando em um ponto B

Para quase todos os campos vetoriais start bold text, F, end bold text, e para quase todas as opções para os dois caminhos C, start subscript, 1, end subscript e C, start subscript, 2, end subscript, estas integrais serão diferentes.

\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \ne \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \quad \leftarrow \text{Isso é quase sempre verdadeiro} \end{aligned}

E isso faz sentido! Cada integral está somando valores completamente diferentes em pontos completamente diferentes no espaço. O que é surpreendente é que existem alguns campos vetoriais onde os caminhos distintos que ligam os mesmos dois pontos serão sempre iguais, não importa a escolha de caminhos (dos quais existem infinitos).

No último artigo sobre o teorema do gradiente, vimos que no caso especial de campos vetoriais que são o gradiente de alguma função de valor escalar, del, f, essa propriedade mágica é verdadeira. As integrais de linha ao longo de caminhos diferentes conectando os mesmos dois pontos A e B irão sempre avaliar a mesma coisa:

\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{s} = \underbrace{ f(B) - f(A) }_{\substack{ \text{Resultado do} \\\\ \text{teorema do gradiente} }} = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Definição: Essa propriedade é chamada independência do caminho. Especificamente, uma integral de linha através de um campo vetorial start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é considerada independente do caminho se o valor da integral depende somente do ponto em que o caminho começa e do ponto em que ele termina, e não do caminho traçado entre esses dois pontos.

Na verdade, quando você entende corretamente o teorema do gradiente, esta afirmativa não é totalmente mágica, uma vez que integrais de linha contra o gradiente de f medem a variação no valor de f. Visualizando isso com o gráfico de f, ele diz que quaisquer dois caminhos que levam você de um ponto a outro variam sua altitude pelo mesmo valor.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

A conclusão desse resultado é que os campos de gradiente são campos vetoriais muito especiais. Por conta dessa propriedade de independência de caminho ser tão rara, de certo modo, "a maioria" dos campos vetoriais não pode ser campo de gradiente.

Independência de caminho implica campo de gradiente

Ok, então campos de gradiente são especiais devido a essa propriedade de independência de caminho. Mas você pode aparecer com um campo vetorial start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis no qual todas as integrais de linha são independentes do caminho, mas que não é o gradiente de alguma função de valor escalar?

Acho que estraguei a resposta com o título da seção e a introdução: Todos os campos vetoriais nos quais as integrais de linha são independentes do caminho devem ser o gradiente de alguma função. Mas por quê?

De fato, por que isso seria verdade? Considere um campo vetorial qualquer start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em que as integrais de linha são independentes do caminho, ou seja

\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} = \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

para todos os caminhos C, start subscript, 1, end subscript e C, start subscript, 2, end subscript que conectam os mesmos dois pontos A e B. O que há nessa propriedade que garante a existência de alguma função g tal que del, g, equals, start bold text, F, end bold text?

Pergunta desafio: Você pode pensar em uma maneira de construir tal função g em função de start bold text, F, end bold text usando o fato de que start bold text, F, end bold text é independente do caminho?

Esta é uma pergunta complicada, mas o que pode ajudá-lo é dar uma olhada lá no teorema do gradiente como inspiração.

[Resposta]

Circuitos fechados

Definição: Um caminho é chamado fechado se ele começa e termina no mesmo ponto. Normalmente, esses caminhos também são chamados de circuitos fechados.

Por exemplo, o caminho C da figura abaixo começa e termina em A.

Se considerarmos um campo vetorial start bold text, F, end bold text onde todas as integrais de linha são independentes do caminho, a integral de linha de start bold text, F, end bold text em qualquer circuito fechado será 0. Por quê?

[Resposta]

[Uma outra resposta]

O inverso desse fato também é verdadeiro: se as integrais de linha de start bold text, F, end bold text em todos os circuitos fechados são iguais a 0, então, todas as integrais de linha devem ser independentes do caminho. Por quê?

[Resposta]

Notação não convencional para integrais de circuito fechado.

Às vezes, você verá uma integral de linha sobre um circuito fechado C escrito como

\begin{aligned} \oint_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

Não se preocupe, isso não é uma nova operação que você precisa aprender. É só uma integral de linha, calculada da mesma maneira como fizemos antes, mas que pretende enfatizar para o leitor que C é um circuito fechado.

Energia potencial

No artigo apresentando integrais de linha através de um campo vetorial, mencionei brevemente como, na física, o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento é calculado tomando uma integral de linha do campo vetorial da força ao longo do caminho do movimento.

\begin{aligned} W = \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Uma força é chamada de conservativa, se o trabalho que ela realiza em um objeto movendo-se de um ponto A para um outro ponto B é sempre a mesma, não importando qual caminho é feito. Em outras palavras, se essa integral é sempre independente do caminho. Forças fundamentais, como a gravidade e a força elétrica, são conservativas, e o exemplo mais típico de uma força não conservativa é o atrito.

Isso tem uma consequência interessante com base na nossa discussão acima: se uma força é conservativa, ela deve ser o gradiente de alguma função.

start bold text, F, end bold text, equals, del, U

Além disso, de acordo com o teorema do gradiente, o trabalho realizado por essa força sobre um objeto, conforme ele se move do ponto A ao ponto B, pode ser calculado apenas avaliando essa função U em cada ponto:

\begin{aligned} W &= \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \\\\ &= \int_C \nabla U \cdot d\textbf{s} \\\\ &= U(B) - U(A) \end{aligned}

Como os estudantes de física entre vocês provavelmente tenham adivinhado, essa função U é energia potencial. Por exemplo, se você tomar o gradiente de potencial gravitacional ou potencial elétrica, você obterá a força gravitacional ou força elétrica, respectivamente. Eis o motivo pelo qual calcular o trabalho realizado por uma força conservativa pode ser simplificado para comparar energias potenciais.

Isso também significa que você nunca poderia ter um "potencial de energia de atrito", uma vez que a força de atrito é não conservativa.

Escher

Indo da física para a arte, este clássico desenho "Ascending and Descending", de M.C. Escher, mostra como o mundo ficaria se a gravidade fosse uma força não conservativa.

Perspectiva do circuito fechado:

Imagine-se caminhando nessa escada no sentido horário. A cada passo, a gravidade faria um trabalho negativo sobre você. Então, integrando o trabalho ao longo do seu circuito circular completo, o trabalho total que a gravidade faz sobre você seria bastante negativo. Entretanto, essa é uma integral em um circuito fechado, então o fato de ser diferente de zero deve significar que a força agindo sobre você não pode ser conservativa .

Perspectiva da independência do caminho

Imagine que você está andando da torre no canto direito ao canto esquerdo. Se você chegar lá ao longo do caminho no sentido horário, a gravidade faz um trabalho negativo sobre você. Se você chegar lá ao longo do caminho no sentido anti-horário, a gravidade faz um trabalho positivo sobre você. Uma vez que ambos os caminhos começam e terminam no mesmo ponto, a independência do caminho falha; então, o campo da força de gravidade não pode ser conservativo.

Perspectiva do gradiente:

No mundo real, o potencial gravitacional tem relação com a altitude, porque o trabalho feito pela gravidade é proporcional à alteração de altura. O que torna o desenho de Escher marcante é que a ideia de que altitude não faz sentido. Muitos passos "para cima" sem nenhum passo para baixo podem levá-lo ao mesmo ponto. Isso corresponde ao fato de que não há nenhuma função de potencial U tal que del, U forneça o campo de gravidade.

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