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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Campos vetoriais conservativos

Especialmente importantes na física, campos vetoriais conservativos são aqueles em que a integração ao longo de dois caminhos que conectam os mesmos dois pontos é igual.

Conhecimentos prévios

Teorema fundamental de integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente.

O que estamos construindo

Um campo vetorial

F (x, y)

é chamado de campo vetorial conservativo se ele satisfaz qualquer uma das três propriedades (as quais são definidas dentro do artigo):

As integrais de linha de $F$ ‍ são independentes do caminho.
As integrais de linha de $F$ ‍ em circuitos fechados são sempre $0$ ‍.
$F$ ‍ é o gradiente de alguma função de valor escalar, ou seja, $F = \nabla g$ ‍ para alguma função $g$ ‍.

Há também outra propriedade equivalente a todas essas:

F

é irrotacional, o que quer dizer que seu rotacional é zero em todos os lugares (com uma pequena ressalva). No entanto, vamos falar sobre isso em um artigo separado que define o rotacional em função das integrais de linha.

A principal lição aqui não é apenas a definição de um campo vetorial conservativo, mas o fato surpreendente de que as condições aparentemente diferentes listadas acima são equivalentes entre si. Que loucura!

Independência do caminho

Imagine que você tenha um campo vetorial pronto

F (x, y)

, e você considera as integrais de linha de

F

de dois caminhos distintos,

C_{1}

C_{2}

, cada um começando em um ponto

A

e terminando em um ponto

B

Para quase todos os campos vetoriais

F

, e para quase todas as opções para os dois caminhos

C_{1}

C_{2}

, estas integrais serão diferentes.

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s \neq \int_{C_{2}} F \cdot d s \leftarrow Isso é quase sempre verdadeiro \end{array}

E isso faz sentido! Cada integral está somando valores completamente diferentes em pontos completamente diferentes no espaço. O que é surpreendente é que existem alguns campos vetoriais onde os caminhos distintos que ligam os mesmos dois pontos serão sempre iguais, não importa a escolha de caminhos (dos quais existem infinitos).

No último artigo sobre o teorema do gradiente, vimos que no caso especial de campos vetoriais que são o gradiente de alguma função de valor escalar,

\nabla f

, essa propriedade mágica é verdadeira. As integrais de linha ao longo de caminhos diferentes conectando os mesmos dois pontos

A

B

irão sempre avaliar a mesma coisa:

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d s = \underset{\begin{array}{c} Resultado do \\ teorema do gradiente \end{array}}{\underset{⏟}{f (B) - f (A)}} = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d s \end{array}

Definição: Essa propriedade é chamada independência do caminho. Especificamente, uma integral de linha através de um campo vetorial

F (x, y)

é considerada independente do caminho se o valor da integral depende somente do ponto em que o caminho começa e do ponto em que ele termina, e não do caminho traçado entre esses dois pontos.

Na verdade, quando você entende corretamente o teorema do gradiente, esta afirmativa não é totalmente mágica, uma vez que integrais de linha contra o gradiente de

f

medem a variação no valor de

f

. Visualizando isso com o gráfico de

f

, ele diz que quaisquer dois caminhos que levam você de um ponto a outro variam sua altitude pelo mesmo valor.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

A conclusão desse resultado é que os campos de gradiente são campos vetoriais muito especiais. Por conta dessa propriedade de independência de caminho ser tão rara, de certo modo, "a maioria" dos campos vetoriais não pode ser campo de gradiente.

Independência de caminho implica campo de gradiente

Ok, então campos de gradiente são especiais devido a essa propriedade de independência de caminho. Mas você pode aparecer com um campo vetorial

F (x, y)

no qual todas as integrais de linha são independentes do caminho, mas que não é o gradiente de alguma função de valor escalar?

Acho que estraguei a resposta com o título da seção e a introdução: Todos os campos vetoriais nos quais as integrais de linha são independentes do caminho devem ser o gradiente de alguma função. Mas por quê?

De fato, por que isso seria verdade? Considere um campo vetorial qualquer

F (x, y)

em que as integrais de linha são independentes do caminho, ou seja

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}

para todos os caminhos

C_{1}

C_{2}

que conectam os mesmos dois pontos

A

B

. O que há nessa propriedade que garante a existência de alguma função

g

tal que

\nabla g = F

Pergunta desafio: Você pode pensar em uma maneira de construir tal função

g

em função de

F

usando o fato de que

F

é independente do caminho?

Esta é uma pergunta complicada, mas o que pode ajudá-lo é dar uma olhada lá no teorema do gradiente como inspiração.

Eu poderia contar logo a resposta aqui, mas é mais divertido e esclarecedor mostrar uma maneira pela qual você mesmo pode descobrir a resposta.

Inspirando-se no teorema do gradiente.

O teorema do gradiente relaciona o valor de uma função à integral de linha do seu gradiente:

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}$ ‍

em que

A

B

são pontos no espaço, e

C

é alguma curva conectando-os.

Suponha que aconteceu de este ser o caso em que

f (A) = 0

, então esta equação seria parecida com

$\begin{array}{r} f (B) = \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}$ ‍

Em outras palavras, para algum ponto

B

no espaço, você poderia calcular

f

usando apenas seu gradiente (juntamente com uma integral de linha).

Uma vez que nosso objetivo é ver como o campo vetorial

F

pode ser visto como um gradiente, isto poderia desencadear em sua mente a ideia de substituir

\nabla f

por

F

, produzindo uma nova função de valor escalar, que chamaremos de

g

$\begin{array}{r} g (B) = \int_{C} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Normalmente, definimos funções usando fórmulas relacionadas às coordenadas

(x, y)

de um ponto, então isso pode parecer uma definição excêntrica de

g

. Para começar,

A

é apenas um ponto escolhido arbitrariamente no espaço. Sendo assim, o valor de

g

em um ponto

B

é definido pegando uma curva qualquer que conecta

A

B

e calculando a integral de linha

F

ao longo dessa curva. Esta é uma definição bastante indireta, mas, ainda assim, é uma definição válida. Afinal de contas, ela dá uma maneira de se calcular

g (x, y)

para qualquer ponto

(x, y)

, não é mesmo?

Note que esta definição não faria sentido para a maioria dos campos vetoriais

F

. A escolha de qual caminho conecta

A

B

mudaria o valor da integral, deixando o valor definido de

g (B)

ambíguo. Entretanto, como as integrais de linha são independentes do caminho em

F

, esta é uma definição real.

Ao definirmos

g

desta maneira, obtemos

$\nabla g = F$ ‍

Isto não deveria ser muito surpreendente se você pensar em como o teorema do gradiente se parece para

g

. Não vou trabalhar a demonstração adequada deste fato aqui, pois acho que os detalhes iriam distraí-lo do ponto principal:

Conclusão importante: se as integrais de linha são independentes do caminho em um campo vetorial $F$ ‍, você pode usar essas integrais de linha para definir uma função $g$ ‍ de tal forma que $\nabla g = F$ ‍.

Circuitos fechados

Definição: Um caminho é chamado fechado se ele começa e termina no mesmo ponto. Normalmente, esses caminhos também são chamados de circuitos fechados.

Por exemplo, o caminho

C

da figura abaixo começa e termina em

A

Se considerarmos um campo vetorial

F

onde todas as integrais de linha são independentes do caminho, a integral de linha de

F

em qualquer circuito fechado será

0

. Por quê?

Considere

C

um circuito fechado começando em

A

e terminando em

A

, e

\tilde{C}

o caminho inverso. Isto é,

C

\tilde{C}

cobrem os mesmos pontos no espaço, mas quando você os parametriza, você deveria andar em sentidos opostos.

Sabemos que a inversão da orientação de um caminho inverte o sinal da integral de linha:

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = - \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Esta é uma afirmativa geral sobre integrais de linha em um campo vetorial, não especificamente para campos vetoriais conservativos. Entretanto, como

F

é independente do caminho, e tanto

C

quanto

\tilde{C}

começam em

A

e terminam em

A

, também deve ser verdade que

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

A única maneira de ambos serem verdadeiros é se a integral for igual a

0

. Você pode aplicar este argumento para qualquer circuito fechado, então a integral de linha sobre qualquer circuito fechado deve ser igual a

0

Pegue qualquer circuito fechado

C

, que começa e termina no ponto

A

. Observe o que o teorema do gradiente diz sobre tal caminho para uma função de valor escalar

f

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (A) - f (A) = 0 \end{array}$ ‍

Portanto, integrais sobre circuitos fechados em um campo de gradiente devem ser sempre iguais a zero. Como acabamos de ver que campos vetoriais nos quais integrais de linha são independentes do caminho também devem ser campos de gradiente, isto responde à pergunta.

O inverso desse fato também é verdadeiro: se as integrais de linha de

F

em todos os circuitos fechados são iguais a

0

, então, todas as integrais de linha devem ser independentes do caminho. Por quê?

Considere dois caminhos separados

C_{1}

C_{2}

, cada um deles indo do ponto

A

ao ponto

B

Agora defina um circuito fechado

C_{3}

como uma certa combinação desses dois caminhos, em que você anda de

A

B

ao longo de

C_{1}

, e então de volta de

B

A

ao longo de

C_{2}

A integral de linha de

F

ao longo desse caminho combinado será

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = \int_{C_{1}} F \cdot d s - \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

O sinal de menos é usado porque estamos fazendo o caminho de volta ao longo de

C_{2}

. Por outro lado, estamos assumindo que a integral de linha em todos os circuitos fechados é igual a

0

, e que

C_{3}

é um circuito fechado, então

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = 0 \end{array}$ ‍

Juntas, estas equações implicam que

$\begin{aligned} \int_{C_{1}} F \cdot d s & - \int_{C_{2}} F \cdot d s = 0 \\ ⇓ \\ \int_{C_{1}} F \cdot d s & = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{aligned}$ ‍

Como

C_{1}

C_{2}

foram escolhidos arbitrariamente, isso mostra que todas as integrais de linha em

F

devem ser independentes do caminho.

Notação não convencional para integrais de circuito fechado.

Às vezes, você verá uma integral de linha sobre um circuito fechado

C

escrito como

\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r \end{array}

Não se preocupe, isso não é uma nova operação que você precisa aprender. É só uma integral de linha, calculada da mesma maneira como fizemos antes, mas que pretende enfatizar para o leitor que

C

é um circuito fechado.

Energia potencial

No artigo apresentando integrais de linha através de um campo vetorial, mencionei brevemente como, na física, o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento é calculado tomando uma integral de linha do campo vetorial da força ao longo do caminho do movimento.

\begin{array}{r} W = \int_{C} F \cdot d s \end{array}

Uma força é chamada de conservativa, se o trabalho que ela realiza em um objeto movendo-se de um ponto

A

para um outro ponto

B

é sempre a mesma, não importando qual caminho é feito. Em outras palavras, se essa integral é sempre independente do caminho. Forças fundamentais, como a gravidade e a força elétrica, são conservativas, e o exemplo mais típico de uma força não conservativa é o atrito.

Isso tem uma consequência interessante com base na nossa discussão acima: se uma força é conservativa, ela deve ser o gradiente de alguma função.

F = \nabla U

Além disso, de acordo com o teorema do gradiente, o trabalho realizado por essa força sobre um objeto, conforme ele se move do ponto

A

ao ponto

B

, pode ser calculado apenas avaliando essa função

U

em cada ponto:

\begin{aligned} W & = \int_{C} F \cdot d s \\ = \int_{C} \nabla U \cdot d s \\ = U (B) - U (A) \end{aligned}

Como os estudantes de física entre vocês provavelmente tenham adivinhado, essa função

U

é energia potencial. Por exemplo, se você tomar o gradiente de potencial gravitacional ou potencial elétrica, você obterá a força gravitacional ou força elétrica, respectivamente. Eis o motivo pelo qual calcular o trabalho realizado por uma força conservativa pode ser simplificado para comparar energias potenciais.

Isso também significa que você nunca poderia ter um "potencial de energia de atrito", uma vez que a força de atrito é não conservativa.

Escher

Indo da física para a arte, este clássico desenho "Ascending and Descending", de M.C. Escher, mostra como o mundo ficaria se a gravidade fosse uma força não conservativa.

Perspectiva do circuito fechado:

Imagine-se caminhando nessa escada no sentido horário. A cada passo, a gravidade faria um trabalho negativo sobre você. Então, integrando o trabalho ao longo do seu circuito circular completo, o trabalho total que a gravidade faz sobre você seria bastante negativo. Entretanto, essa é uma integral em um circuito fechado, então o fato de ser diferente de zero deve significar que a força agindo sobre você não pode ser conservativa .

Perspectiva da independência do caminho

Imagine que você está andando da torre no canto direito ao canto esquerdo. Se você chegar lá ao longo do caminho no sentido horário, a gravidade faz um trabalho negativo sobre você. Se você chegar lá ao longo do caminho no sentido anti-horário, a gravidade faz um trabalho positivo sobre você. Uma vez que ambos os caminhos começam e terminam no mesmo ponto, a independência do caminho falha; então, o campo da força de gravidade não pode ser conservativo.

Perspectiva do gradiente:

No mundo real, o potencial gravitacional tem relação com a altitude, porque o trabalho feito pela gravidade é proporcional à alteração de altura. O que torna o desenho de Escher marcante é que a ideia de que altitude não faz sentido. Muitos passos "para cima" sem nenhum passo para baixo podem levá-lo ao mesmo ponto. Isso corresponde ao fato de que não há nenhuma função de potencial $U$ ‍ tal que $\nabla U$ ‍ forneça o campo de gravidade.

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