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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Como construir um vetor normal unitário a uma curva

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Dada uma curva em duas dimensões, como podemos encontrar uma função que retorna um vetor normal unitário a essa curva?

Conhecimentos prévios

Derivadas de funções vetoriais

O que estamos construindo

Um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões é um vetor com módulo igual a 1 que é perpendicular à curva em algum ponto.
Normalmente, você procura por uma função que te dê todos os possíveis vetores normais unitários de uma dada curva, e não somente um único vetor.
Para encontrar um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões, siga os seguintes passos:
- Encontre o vetor tangente, que requer pegar a derivada de uma função paramétrica que defina a curva.
  - Rotacione esse vetor tangente em 90, degrees, o que envolve trocar as coordenadas e tornar uma delas negativa.
  - Normalize o resultado, o que requer dividi-lo por seu próprio módulo.
Do ponto de vista abstrato, o resultado que você vai obter fica assim:
$\displaystyle \dfrac{1}{ds} \left[ \begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$
Para um pequeno passo dado ao longo da curva, considere d, x como o componente x desse passo, d, y como o componente y desse passo, e d, s como o comprimento desse passo.

Exemplo: Vetor Normal a uma senoide

Considere o gráfico da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.

Imagine que você queira uma função que te dê vetores normais unitários a essa curva (talvez porque você deseja calcular o fluxo através da curva). Em outras palavras, para qualquer ponto na curva, você quer poder dar as coordenadas de um vetor perpendicular a essa curva com módulo igual a 1.

Isto significa que você quer uma expressão que possa pegar qualquer ponto na curva e retornar um vetor com módulo igual a 1, que seja perpendicular a essa curva nesse ponto.

Etapa 0: Parametrize

Antes de mais nada, precisamos ter certeza de que nossa curva está na forma paramétrica. Transformar um gráfico de função em uma função paramétrica é bastante simples. Deixamos o parâmetro t fazer o papel de x:

$\displaystyle \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]$

Eu chamo isto de "Etapa 0" porque muitas vezes a curva é inicialmente definida de forma paramétrica, então, isso seria dado de graça para você.

O que isto significa para nosso vetor normal unitário é que precisamos encontrar uma segunda função vetorial que também utilize t, mas, em vez de retornar pontos na curva senoidal, ela retornará vetores normais unitários à curva no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Etapa 1: Encontre o vetor tangente

Quando você pega a derivada da função paramétrica, ela te dará um vetor tangente à curva:

Se isto não parece familiar, considere revisar o artigo derivadas de funções vetoriais.

No nosso exemplo, fica assim:

$\displaystyle \dfrac{d \vec{\textbf{v}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(t) \\\\ \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen}(t)) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(t) \end{array} \right]$

Por exemplo, se você inserir t, equals, pi nessa função, você obterá o seguinte vetor:

$\displaystyle \dfrac{d \vec{\textbf{v}}}{dt}(\pi) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(\pi) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]$

Quando você move esse vetor para que sua extremidade inferior esteja no ponto start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, right parenthesis, que, na nossa curva senoidal, é left parenthesis, pi, comma, 0, right parenthesis, ele será tangente à curva.

Etapa 2: Rotacione esse vetor em 90, degrees

Para transformar um vetor tangente em um vetor normal, rotacione-o em 90, degrees. Como fazer isso? Troque uma componente pelo outro e faça um deles ser negativo:

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right]$

Como você escolhe qual dos componentes você vai tornar negativo? Se você está rotacionando no sentido anti-horário, faça o primeiro componente ser negativo. Se você está rotacionando no sentido horário, faça o segundo componente ser negativo.

No nosso exemplo, vamos rotacionar o vetor tangente no sentido anti-horário para que ele aponte para cima:

$\displaystyle \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(t) \end{array} \right] }_{\text{Vetor Tangente}} \rightarrow \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) \\ 1 \end{array} \right] }_{\text{Vetor Normal}}$

Etapa 3: Faça-o com módulo igual a 1

Ótimo! Temos um vetor normal. Porém, para fazer com que ele seja um vetor normal unitário, devemos dividi-lo pelo seu próprio módulo. No nosso exemplo, o módulo é o seguinte:

$\displaystyle \left|\left| \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) \\ 1 \end{array} \right] \right|\right| = \sqrt{\cos^2(t) + 1^2}$

Portanto, nossa função de vetor normal unitário start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis fica assim:

$\displaystyle \greenE{\hat{\textbf{n}}}(t) = \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) / \sqrt{\cos^2(t) + 1^2} \\\\ 1 / \sqrt{\cos^2(t) + 1^2} \end{array} \right]$

Resumo

Vamos generalizar os passos desse exemplo para ver como eles se aplicam a qualquer curva paramétrica.

Etapa 0: Certifique-se de que a curva dada esteja na forma parametrizada
Etapa 1: Encontre um vetor tangente a sua curva por meio do cálculo da derivada da função paramétrica:
$\displaystyle \dfrac{d\vec{\textbf{v}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right]$
Etapa 2: Rotacione este vetor em 90, degrees trocando as coordenadas e fazendo com que uma delas seja negativa.
$\displaystyle \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] }_{\text{Vetor Tangente}} \rightarrow \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} -y'(t) \\ x'(t) \end{array} \right] }_{\text{Vetor Normal}}$
Etapa 3: Para fazer com que este seja um vetor normal unitário, divida-o pelo seu próprio módulo:
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \left[ \begin{array}{c} -y'(t) \\ x'(t) \end{array} \right]$

Se preferir, você pode pensar em termos de diferenciais, com um pequeno passo dado ao longo da curva sendo representado pelo vetor

\left[\begin{array}{c} dx \\dy \end{array}\right]

. O módulo deste passo é d, s, equals, square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root. Nessa terminologia, você pode escrever o vetor normal unitário desta forma:

$\displaystyle \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \dfrac{1}{ds} \left[ \begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$

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