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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Como construir um vetor normal unitário a uma curva

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Dada uma curva em duas dimensões, como podemos encontrar uma função que retorna um vetor normal unitário a essa curva?

Conhecimentos prévios

Derivadas de funções vetoriais

O que estamos construindo

Um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões é um vetor com módulo igual a $1$ ‍ que é perpendicular à curva em algum ponto.
Normalmente, você procura por uma função que te dê todos os possíveis vetores normais unitários de uma dada curva, e não somente um único vetor.
Para encontrar um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões, siga os seguintes passos:
- Encontre o vetor tangente, que requer pegar a derivada de uma função paramétrica que defina a curva.
  - Rotacione esse vetor tangente em $90^{\circ}$ ‍, o que envolve trocar as coordenadas e tornar uma delas negativa.
  - Normalize o resultado, o que requer dividi-lo por seu próprio módulo.
Do ponto de vista abstrato, o resultado que você vai obter fica assim:
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍
Para um pequeno passo dado ao longo da curva, considere $d x$ ‍ como o componente $x$ ‍ desse passo, $d y$ ‍ como o componente $y$ ‍ desse passo, e $d s$ ‍ como o comprimento desse passo.

Exemplo: Vetor Normal a uma senoide

Considere o gráfico da função

f (x) = sen (x)

Imagine que você queira uma função que te dê vetores normais unitários a essa curva (talvez porque você deseja calcular o fluxo através da curva). Em outras palavras, para qualquer ponto na curva, você quer poder dar as coordenadas de um vetor perpendicular a essa curva com módulo igual a

1

Isto significa que você quer uma expressão que possa pegar qualquer ponto na curva e retornar um vetor com módulo igual a

1

, que seja perpendicular a essa curva nesse ponto.

Etapa 0: Parametrize

Antes de mais nada, precisamos ter certeza de que nossa curva está na forma paramétrica. Transformar um gráfico de função em uma função paramétrica é bastante simples. Deixamos o parâmetro

t

fazer o papel de

x

$\vec{v} (t) = [\begin{matrix} t \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Eu chamo isto de "Etapa

0

" porque muitas vezes a curva é inicialmente definida de forma paramétrica, então, isso seria dado de graça para você.

O que isto significa para nosso vetor normal unitário é que precisamos encontrar uma segunda função vetorial que também utilize

t

, mas, em vez de retornar pontos na curva senoidal, ela retornará vetores normais unitários à curva no ponto

\vec{v} (t)

Etapa 1: Encontre o vetor tangente

Quando você pega a derivada da função paramétrica, ela te dará um vetor tangente à curva:

Se isto não parece familiar, considere revisar o artigo derivadas de funções vetoriais.

No nosso exemplo, fica assim:

$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t) \\ \frac{d}{d t} (sen (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Por exemplo, se você inserir

t = π

nessa função, você obterá o seguinte vetor:

$\frac{d \vec{v}}{d t} (π) = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (π) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Quando você move esse vetor para que sua extremidade inferior esteja no ponto

\vec{v} (π)

, que, na nossa curva senoidal, é

(π, 0)

, ele será tangente à curva.

Etapa 2: Rotacione esse vetor em $90^{\circ}$ ‍

Para transformar um vetor tangente em um vetor normal, rotacione-o em

90^{\circ}

. Como fazer isso? Troque uma componente pelo outro e faça um deles ser negativo:

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]$ ‍

Como você escolhe qual dos componentes você vai tornar negativo? Se você está rotacionando no sentido anti-horário, faça o primeiro componente ser negativo. Se você está rotacionando no sentido horário, faça o segundo componente ser negativo.

No nosso exemplo, vamos rotacionar o vetor tangente no sentido anti-horário para que ele aponte para cima:

$\underset{Vetor Tangente}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Vetor Normal}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}]}}$ ‍

Etapa 3: Faça-o com módulo igual a $1$ ‍

Ótimo! Temos um vetor normal. Porém, para fazer com que ele seja um vetor normal unitário, devemos dividi-lo pelo seu próprio módulo. No nosso exemplo, o módulo é o seguinte:

$| | [\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}] | | = \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}}$ ‍

Portanto, nossa função de vetor normal unitário

\hat{n} (t)

fica assim:

$\hat{n} (t) = [\begin{matrix} - \cos (t) / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \\ 1 / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \end{matrix}]$ ‍

Resumo

Vamos generalizar os passos desse exemplo para ver como eles se aplicam a qualquer curva paramétrica.

Etapa 0: Certifique-se de que a curva dada esteja na forma parametrizada
Etapa 1: Encontre um vetor tangente a sua curva por meio do cálculo da derivada da função paramétrica:
$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍
Etapa 2: Rotacione este vetor em $90^{\circ}$ ‍ trocando as coordenadas e fazendo com que uma delas seja negativa.
$\underset{Vetor Tangente}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Vetor Normal}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]}}$ ‍
Etapa 3: Para fazer com que este seja um vetor normal unitário, divida-o pelo seu próprio módulo:
$\frac{1}{\sqrt{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}} [\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍

Se preferir, você pode pensar em termos de diferenciais, com um pequeno passo dado ao longo da curva sendo representado pelo vetor

[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]

. O módulo deste passo é

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

. Nessa terminologia, você pode escrever o vetor normal unitário desta forma:

$\hat{n} = \frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍

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