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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)Como construir um vetor normal unitário a uma curva
Dada uma curva em duas dimensões, como podemos encontrar uma função que retorna um vetor normal unitário a essa curva?
Conhecimentos prévios
O que estamos construindo
- Um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões é um vetor com módulo igual a
que é perpendicular à curva em algum ponto. - Normalmente, você procura por uma função que te dê todos os possíveis vetores normais unitários de uma dada curva, e não somente um único vetor.
- Para encontrar um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões, siga os seguintes passos:
- Encontre o vetor tangente, que requer pegar a derivada de uma função paramétrica que defina a curva.
- Rotacione esse vetor tangente em
, o que envolve trocar as coordenadas e tornar uma delas negativa. - Normalize o resultado, o que requer dividi-lo por seu próprio módulo.
- Rotacione esse vetor tangente em
- Encontre o vetor tangente, que requer pegar a derivada de uma função paramétrica que defina a curva.
- Do ponto de vista abstrato, o resultado que você vai obter fica assim:Para um pequeno passo dado ao longo da curva, considere
como o componente desse passo, como o componente desse passo, e como o comprimento desse passo.
Exemplo: Vetor Normal a uma senoide
Considere o gráfico da função .
Imagine que você queira uma função que te dê vetores normais unitários a essa curva (talvez porque você deseja calcular o fluxo através da curva). Em outras palavras, para qualquer ponto na curva, você quer poder dar as coordenadas de um vetor perpendicular a essa curva com módulo igual a .
Isto significa que você quer uma expressão que possa pegar qualquer ponto na curva e retornar um vetor com módulo igual a , que seja perpendicular a essa curva nesse ponto.
Etapa 0: Parametrize
Antes de mais nada, precisamos ter certeza de que nossa curva está na forma paramétrica. Transformar um gráfico de função em uma função paramétrica é bastante simples. Deixamos o parâmetro fazer o papel de :
Eu chamo isto de "Etapa " porque muitas vezes a curva é inicialmente definida de forma paramétrica, então, isso seria dado de graça para você.
O que isto significa para nosso vetor normal unitário é que precisamos encontrar uma segunda função vetorial que também utilize , mas, em vez de retornar pontos na curva senoidal, ela retornará vetores normais unitários à curva no ponto .
Etapa 1: Encontre o vetor tangente
Quando você pega a derivada da função paramétrica, ela te dará um vetor tangente à curva:
Se isto não parece familiar, considere revisar o artigo derivadas de funções vetoriais.
No nosso exemplo, fica assim:
Por exemplo, se você inserir nessa função, você obterá o seguinte vetor:
Quando você move esse vetor para que sua extremidade inferior esteja no ponto , que, na nossa curva senoidal, é , ele será tangente à curva.
Etapa 2: Rotacione esse vetor em
Para transformar um vetor tangente em um vetor normal, rotacione-o em . Como fazer isso? Troque uma componente pelo outro e faça um deles ser negativo:
Como você escolhe qual dos componentes você vai tornar negativo? Se você está rotacionando no sentido anti-horário, faça o primeiro componente ser negativo. Se você está rotacionando no sentido horário, faça o segundo componente ser negativo.
No nosso exemplo, vamos rotacionar o vetor tangente no sentido anti-horário para que ele aponte para cima:
Etapa 3: Faça-o com módulo igual a
Ótimo! Temos um vetor normal. Porém, para fazer com que ele seja um vetor normal unitário, devemos dividi-lo pelo seu próprio módulo. No nosso exemplo, o módulo é o seguinte:
Portanto, nossa função de vetor normal unitário fica assim:
Resumo
Vamos generalizar os passos desse exemplo para ver como eles se aplicam a qualquer curva paramétrica.
- Etapa 0: Certifique-se de que a curva dada esteja na forma parametrizada
- Etapa 1: Encontre um vetor tangente a sua curva por meio do cálculo da derivada da função paramétrica:
- Etapa 2: Rotacione este vetor em
trocando as coordenadas e fazendo com que uma delas seja negativa. - Etapa 3: Para fazer com que este seja um vetor normal unitário, divida-o pelo seu próprio módulo:
Se preferir, você pode pensar em termos de diferenciais, com um pequeno passo dado ao longo da curva sendo representado pelo vetor . O módulo deste passo é . Nessa terminologia, você pode escrever o vetor normal unitário desta forma:
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