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Conteúdo principal

Como construir um vetor normal unitário a uma curva

Dada uma curva em duas dimensões, como podemos encontrar uma função que retorna um vetor normal unitário a essa curva?

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões é um vetor com módulo igual a 1 que é perpendicular à curva em algum ponto.
  • Normalmente, você procura por uma função que te dê todos os possíveis vetores normais unitários de uma dada curva, e não somente um único vetor.
  • Para encontrar um vetor normal unitário de uma curva de duas dimensões, siga os seguintes passos:
    • Encontre o vetor tangente, que requer pegar a derivada de uma função paramétrica que defina a curva.
      • Rotacione esse vetor tangente em 90, o que envolve trocar as coordenadas e tornar uma delas negativa.
      • Normalize o resultado, o que requer dividi-lo por seu próprio módulo.
  • Do ponto de vista abstrato, o resultado que você vai obter fica assim:
    1ds[dydx]
    Para um pequeno passo dado ao longo da curva, considere dx como o componente x desse passo, dy como o componente y desse passo, e ds como o comprimento desse passo.

Exemplo: Vetor Normal a uma senoide

Considere o gráfico da função f(x)=sen(x).
Imagine que você queira uma função que te dê vetores normais unitários a essa curva (talvez porque você deseja calcular o fluxo através da curva). Em outras palavras, para qualquer ponto na curva, você quer poder dar as coordenadas de um vetor perpendicular a essa curva com módulo igual a 1.
Isto significa que você quer uma expressão que possa pegar qualquer ponto na curva e retornar um vetor com módulo igual a 1, que seja perpendicular a essa curva nesse ponto.

Etapa 0: Parametrize

Antes de mais nada, precisamos ter certeza de que nossa curva está na forma paramétrica. Transformar um gráfico de função em uma função paramétrica é bastante simples. Deixamos o parâmetro t fazer o papel de x:
v(t)=[tsen(t)]
Eu chamo isto de "Etapa 0" porque muitas vezes a curva é inicialmente definida de forma paramétrica, então, isso seria dado de graça para você.
O que isto significa para nosso vetor normal unitário é que precisamos encontrar uma segunda função vetorial que também utilize t, mas, em vez de retornar pontos na curva senoidal, ela retornará vetores normais unitários à curva no ponto v(t).

Etapa 1: Encontre o vetor tangente

Quando você pega a derivada da função paramétrica, ela te dará um vetor tangente à curva:
Se isto não parece familiar, considere revisar o artigo derivadas de funções vetoriais.
No nosso exemplo, fica assim:
dvdt=[ddt(t)ddt(sen(t))]=[1cos(t)]
Por exemplo, se você inserir t=π nessa função, você obterá o seguinte vetor:
dvdt(π)=[1cos(π)]=[11]
Quando você move esse vetor para que sua extremidade inferior esteja no ponto v(π), que, na nossa curva senoidal, é (π,0), ele será tangente à curva.

Etapa 2: Rotacione esse vetor em 90

Para transformar um vetor tangente em um vetor normal, rotacione-o em 90. Como fazer isso? Troque uma componente pelo outro e faça um deles ser negativo:
[xy][yx]
Como você escolhe qual dos componentes você vai tornar negativo? Se você está rotacionando no sentido anti-horário, faça o primeiro componente ser negativo. Se você está rotacionando no sentido horário, faça o segundo componente ser negativo.
No nosso exemplo, vamos rotacionar o vetor tangente no sentido anti-horário para que ele aponte para cima:
[1cos(t)]Vetor Tangente[cos(t)1]Vetor Normal

Etapa 3: Faça-o com módulo igual a 1

Ótimo! Temos um vetor normal. Porém, para fazer com que ele seja um vetor normal unitário, devemos dividi-lo pelo seu próprio módulo. No nosso exemplo, o módulo é o seguinte:
||[cos(t)1]||=cos2(t)+12
Portanto, nossa função de vetor normal unitário n^(t) fica assim:
n^(t)=[cos(t)/cos2(t)+121/cos2(t)+12]

Resumo

Vamos generalizar os passos desse exemplo para ver como eles se aplicam a qualquer curva paramétrica.
  • Etapa 0: Certifique-se de que a curva dada esteja na forma parametrizada
  • Etapa 1: Encontre um vetor tangente a sua curva por meio do cálculo da derivada da função paramétrica:
    dvdt=[x(t)y(t)]
  • Etapa 2: Rotacione este vetor em 90 trocando as coordenadas e fazendo com que uma delas seja negativa.
    [x(t)y(t)]Vetor Tangente[y(t)x(t)]Vetor Normal
  • Etapa 3: Para fazer com que este seja um vetor normal unitário, divida-o pelo seu próprio módulo:
    1x(t)2+y(t)2[y(t)x(t)]
Se preferir, você pode pensar em termos de diferenciais, com um pequeno passo dado ao longo da curva sendo representado pelo vetor [dxdy]. O módulo deste passo é ds=dx2+dy2. Nessa terminologia, você pode escrever o vetor normal unitário desta forma:
n^=1ds[dydx]

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