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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)
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Fluxo em duas dimensões

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Como integrais de linha podem medir a taxa de fluxo através de uma curva. Aprender isso é uma boa base para o teorema da divergência de Green.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Dada uma região delimitada por uma curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, e um fluxo de fluido determinado pelo campo vetorial start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, a taxa na qual o fluido está deixando a região (supondo que sua densidade seja 1) pode ser medida com a seguinte integral de linha:
    −d(massa do fluıˊdo na regia˜o)dt⏟Taxa na qual a massa deixa a regia˜o=∮CF⋅n^  ds\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{massa do fluído na região})}{dt} }_{\text{Taxa na qual a massa deixa a região}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}
    Aqui, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f é uma função que retorna o vetor normal unitário voltado para fora em todos os pontos sobre a curva start color #bc2612, C, end color #bc2612.
  • Essa integral integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 é chamada de integral de fluxo, ou às vezes de "integral de fluxo bidimensional", já que existe um outro conceito similar em três dimensões.
  • Em qualquer contexto bidimensional em que podemos considerar que algo esteja fluindo, como um líquido, o fluxo bidimensional é uma medida da taxa de fluxo através de uma curva. Em geral, a curva não é necessariamente um circuito fechado.

Variação da massa de fluido em uma região

Suponha que você tenha um campo vetorial bidimensional, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99
E considere uma curva fechada C vagando por esse campo.
Como gostamos de fazer com campos vetoriais, digamos que isso representa algum tipo de fluxo de fluido. Mas vamos nos limitar em pensar sobre o que acontece em um curto período de tempo, apenas um pequeno instante, na verdade. Por exemplo, você pode imaginar cada partícula do fluido se movendo da cauda de um dos vetores até sua ponta.
Pergunta-chave: como podemos medir a taxa de variação instantânea da massa do fluido dentro da região delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612?
Especificamente, vamos dizer que nosso fluido tem uma densidade constante em todo o plano, talvez 1 kg/m². Se o deixarmos fluir por um curto espaço de tempo, delta, t, qual é o total de massa do fluido que deixa/entra na região? A resposta, claro, será alguma função do campo vetorial start bold text, F, end bold text e a curva C.
Se essa pergunta te lembra da intuição sobre divergência, é por uma razão muito boa. Na verdade, em outro artigo, usaremos a fórmula que agora estamos derivando para dar a definição formal de divergência e para mostrar uma relação especial que a divergência tem com integrais de linha em duas dimensões.

Um pouco de cada vez

Uma maneira de responder a essa pergunta é dividir a curva em vários segmentos pequenos e considerar a quantidade de fluido que entra ou sai de cada segmento. Se usarmos um segmento pequeno o bastante, podemos tratá-lo, basicamente, como uma linha reta, e todas as partículas do fluido passando por ela estão basicamente se movendo na mesma velocidade e mesmo sentido.
Conforme deixamos o fluido fluir pela pequena variação de tempo delta, t, o fluido que está passando por esse segmento vai formar um paralelogramo.
(Aconteceu de eu desenhar um caso em que o fluido está saindo da região, mas você poderia facilmente imaginar o fluido entrando na região se os vetores velocidade naquele ponto estivessem apontados para o outro lado.)
Já que estamos supondo uma densidade uniforme de 1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, squared para o fluido, a massa de fluido que deixa a região é igual à área desse paralelogramo. Vamos desmembrar a área.
  • A base do paralelogramo é o comprimento do nosso pequeno segmento. Vamos chamá-lo de delta, s.
  • O vetor deslocamento de uma partícula de fluido que começa em algum ponto no pequeno segmento será start bold text, v, end bold text, delta, t, em que start bold text, v, end bold text é o vetor velocidade do fluido naquele ponto e delta, t é a quantidade de tempo que o líquido fluiu.
  • A altura do paralelogramo será o componente do vetor deslocamento start bold text, v, end bold text, delta, t perpendicular ao segmento. Você pode extrair isso calculando o produto escalar entre start bold text, v, end bold text, delta, t e um vetor unitário normal à curva start color #bc2612, C, end color #bc2612. Vamos nomear esse vetor normal unitário start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f.
Verificação de conceito: qual é a massa total que sai do pequeno segmento de comprimento delta, s ao longo do curto período de tempo delta, t?
Escolha 1 resposta:

Ao dividir por delta, t, temos a quantidade de massa que passa por esse pequeno segmento de reta por unidade de tempo:
Massa saindo por unidade de tempo equals, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, dot, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, left parenthesis, delta, s, right parenthesis

Juntando isso com uma integral

Agora, considere todos os pequenos segmentos que compõem a curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, cada um com uma pequena quantidade de massa saindo ou entrando por ele por unidade de tempo. Se você quiser somar todas essas pequenas variações de massa ao longo da curva, existe ferramenta melhor do que a integral de linha?
Especificamente, a integral de linha ficará assim:
∮CF⋅n^  ds\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}
em que
  • O campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 dá a velocidade do fluido em cada ponto ao longo da curva.
  • O termo start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f deveria ser considerado uma função, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f, que insere um ponto em start color #bc2612, C, end color #bc2612 e retorna o vetor normal unitário para start color #bc2612, C, end color #bc2612 naquele ponto.
  • Usar o símbolo \oint ao invés de integral é apenas uma maneira de enfatizar que a integral é ao redor de um círculo fechado.
  • start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 indica uma pequena mudança no comprimento do arco ao longo da curva. Conceitualmente, isso não é diferente do termo delta, s na seção anterior, mas agora estamos considerando-o como uma quantidade infinitesimal usada para integração.
  • Conforme você se move ao longo da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, o valor start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f mede a quantidade do fluido que está entrando/saindo da região delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612 em cada ponto. É positivo quando o fluido está saindo e negativo quando o fluido está entrando, então a integral como um todo nos dará o total de massa deixando a região delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612 por unidade de tempo.
Mais elaboradamente, você pode escrever:
−d(massa do fluido na regia˜o)dt⏟Taxa na qual a massa sai da regia˜o=∮CF⋅n^  ds⏟Massa saindo de cada pequeno pedaço de tamanho ds\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{massa do fluido na região})}{dt} }_{\text{Taxa na qual a massa sai da região}} = \oint_{\redE{C}} \underbrace{ \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }_{\substack{ \text{Massa saindo de cada }\\ \text{pequeno pedaço de tamanho $\redE{ds}$} }} \end{aligned}
Definição: essa taxa de fluido que passa por uma curva é chamada de fluxo. Mais especificamente, eu deveria dizer que a componente da taxa do fluido que é perpendicular à curva é chamada de fluxo.
Muitas coisas, além de líquidos, na física são consideradas "fluidos", assim como o calor, e (vagamente falando) o campo eletromagnético, e a palavra fluxo é usada de maneira muito ampla fazendo referência a qualquer uma dessas circunstâncias. É mais comum a palavra "fluxo" ser usada para fazer referência ao fluxo do fluido através de uma superfície tridimensional. Falarei mais sobre isso no contexto das integrais de superfície. Como tal, você pode chamar essa taxa de fluxo através de uma curva de "fluxo bidimensional".
Essa integral \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 , às vezes, é chamada de "integral de fluxo" e, tal como acontece com todas as novas operações, a melhor maneira de sentir como ela é de verdade, é trabalhar através de um exemplo.

Exemplo: fluxo através de um círculo

Considere o campo vetorial
F(x,y)=[x2y]\begin{aligned} \textbf{F}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x^2 \\ y \end{array} \right] \end{aligned}
E desenhe um círculo de raio 3 centrado na origem.
Por meio dessa foto você é capaz de adivinhar que o fluxo do fluido ao longo do campo vetorial tende a ir para fora do círculo. Mas quanto? Para aplicar a integral da última seção, precisamos fazer duas coisas primeiro:
  • Parametrizar o círculo.
  • Encontrar uma função para start bold text, n, end bold text, with, hat, on top no círculo.
Parametrizamos o círculo usando nossa querida vizinha, a parametrização seno-cosseno:
r(t)=[3cos⁡(t)3sen⁡(t)]←Desenha um cıˊrculo com 3 de raio\begin{aligned} \textbf{r}(t) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) \\ 3\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \quad \leftarrow \text{Desenha um círculo com $3$ de raio} \end{aligned}
Para que a parametrização percorra o círculo apenas uma vez, deixe t variar de 0 a 2, pi.
Qual das seguintes funções nos dá o vetor normal unitário?
Escolha 1 resposta:

Agora, podemos aplicar esses dados à integral de linha que encontramos na última seção. (Se você não se sente confortável com o cálculo da integral de linha, considere fazer uma revisão do artigo sobre integrais de linha em um campo escalar).
∮CF⋅n^  ds=∫02πF(r(t))⋅⏟Velocidadeem um ponton^(r(t))⏞Vetor normalem um ponto  ∣∣r′(t)∣∣dt⏟ds=∫02π([(3cos⁡(t))2(3sen⁡(t))]⋅[(3cos⁡(t))/3(3sen⁡(t))/3])    ∣∣[ddt(3cos⁡(t))ddt(3sen⁡(t))]∣∣dt=∫02π([9cos⁡2(t)3sen⁡(t)]⋅[cos⁡(t)sen⁡(t)])    ∣∣[−3sen⁡(t)3cos⁡(t)]∣∣dt=∫02π(9cos⁡3(t)+3sen⁡2(t))32sen⁡2(t)+32cos⁡2(t)dt=∫02π(9cos⁡3(t)+3sen⁡2(t))3   sen⁡2(t)+cos⁡2(t)⏟=1  dt=∫02π(9cos⁡3(t)+3sen⁡2(t))3dt=9∫02π(3cos⁡3(t)+sen⁡2(t))dt\begin{aligned} \oint_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{ds} &= \int_0^{2\pi} \blueE{\underbrace{ \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot }_{\substack{ \text{Velocidade} \\ \text{em um ponto} }}} \greenE{\overbrace{ \hat{\textbf{n}}(\textbf{r}(t)) }^{\substack{ \text{Vetor normal} \\ \text{em um ponto} }}} \; \redE{\underbrace{ ||\textbf{r}'(t)|| dt }_{ds}} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \blueE{\left[ \begin{array}{c} (3\cos(t))^2 \\ (3\operatorname{sen}(t)) \end{array} \right]} \cdot \greenE{\left[ \begin{array}{c} (3\cos(t))/3 \\ (3\operatorname{sen}(t))/3 \end{array} \right]} \right) \;\; \redE{\left| \left| \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt} (3\cos(t)) \\ \frac{d}{dt} (3\operatorname{sen}(t)) \end{array} \right] \right| \right| dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \blueE{\left[ \begin{array}{c} 9\cos^2(t) \\ 3\operatorname{sen}(t) \end{array} \right]} \cdot \greenE{\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]} \right) \;\; \redE{\left| \left| \left[ \begin{array}{c} -3\operatorname{sen}(t) \\ 3\cos(t) \end{array} \right] \right| \right| dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\operatorname{sen}^2(t) \right)} \redE{\sqrt{3^2 \operatorname{sen}^2(t) + 3^2 \cos^2(t)} dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\operatorname{sen}^2(t) \right)} \redE{3 \;\, \underbrace{ \sqrt{\operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t)} }_{=1} \; dt} \\ &= \int_0^{2\pi} \tealE{\left( 9\cos^3(t) + 3\operatorname{sen}^2(t) \right)} \redE{3 dt} \\ &= 9\int_0^{2\pi} \left(3\cos^3(t) + \operatorname{sen}^2(t) \right) dt \\ \end{aligned}
Assim que você tiver uma integral nessa forma, você pode simplesmente inseri-la em uma calculadora (ou algo como Wolfram Alpha) para obter o resultado numérico:
9∫02π(3cos⁡3(t)+sen⁡2(t))dt=9π≈28,274\begin{aligned} 9\int_0^{2\pi} \left(3\cos^3(t) + \operatorname{sen}^2(t) \right) dt = \boxed{9\pi \approx 28{,}274} \end{aligned}

Como calcular um vetor normal unitário

Você pode estar se perguntando como calcular o vetor normal unitário start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis para uma curva arbitrária que lhe foi dada. Parece um caso especial para o círculo, não é mesmo? Para sua sorte, construir um vetor normal unitário como esse é o tópico do próximo artigo.
Eu meio que menti quando disse que o vetor normal unitário é dado como uma função start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis com entradas no plano x, y. Na prática, é tipicamente dado como uma função paramétrica start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis que se "alinha", por assim dizer, à parametrização da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612. Em princípio, você ainda deveria pensar nisso como agindo em pontos no plano x, y, só que na prática você vai acabar apenas definindo-o para pontos na própria curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, já que isso é tudo que você precisa. Não se preocupe, você verá o que quero dizer no próximo artigo.

Resumo

  • Em qualquer contexto no qual algo pode ser considerado fluindo, como um líquido, o fluxo bidimensional é uma medida da taxa de fluido através de uma curva. O fluxo sobre a fronteira de uma região pode ser usado para medir se qualquer coisa que esteja fluindo tende a entrar ou sair daquela região.
  • O fluxo através de uma curva start color #bc2612, C, end color #bc2612 pode ser medido com a integral de linha
    ∫CF⋅n^ ds\begin{aligned} \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{ds} \end{aligned}
    em que
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 define o campo vetorial que indica a taxa de fluxo.
    • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é uma função que retorna o vetor normal unitário que aponta para fora em cada ponto da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612.

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