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Teorema fundamental das integrais de linha

Também conhecido como teorema do gradiente, ele generaliza o teorema fundamental do cálculo para integrais de linhas através de um campo vetorial.

Conhecimentos prévios

Necessário apenas se você quiser entender a demonstração:

O que estamos construindo

  • O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))
  • O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável f conforme você percorre um caminho parametrizado por r(t).
  • Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

Afirmação do teorema

Lembre-se de que o teorema fundamental do cálculo no mundo com uma variável diz que
abg(t)dt=g(b)g(a)
De certa maneira, isso diz que a integração é o oposto da diferenciação.
O teorema fundamental das integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente, é uma das várias maneiras de estender esse teorema para dimensões maiores. De certa forma, ele diz que a integração de linhas por um campo vetorial é o oposto do gradiente. A afirmação do teorema é a de que
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))
Em que
  • f é uma função multivariável de valor escalar.
  • f é o gradiente de f.
  • r(t) é uma função de valor vetorial que parametriza um caminho pelo espaço de entrada de f.
  • r(a) e r(b) são os pontos finais do caminho.
Você também pode visualizar esse teorema escrito sem referência à parametrização r(t) como a seguir:
Cfds=f(B)f(A)
Em que C representa o caminho pelo espaço, com A sendo seu ponto inicial e B sendo seu ponto final, e ds é tomado como um pequeno passo ao longo de C.
Em resumo, o teorema afirma que a integral de linha do gradiente de uma função f nos dá a variação total no valor de f do início ao fim da curva.

O raciocínio

O significado por trás dessa fórmula é, na verdade, bastante simples, depois que nos damos algum tempo para digerir o significado de cada termo. Há dois personagens principais em cena agora:
  • Um caminho vagando pelo espaço (digamos, por enquanto, que seja um espaço bidimensional, para tornar o desenho mais fácil).
  • Uma função f que toma pontos desse caminho como suas entradas e que resulta em um número.
Pense em como o valor da função f varia conforme nos movemos ao longo do caminho. O vídeo a seguir mostra uma maneira de visualizar isso, no qual o gráfico de uma função f é mostrado em azul, um caminho no plano xy é mostrado em vermelho, e a projeção desse caminho sobre o gráfico também é mostrada em vermelho.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Pense sobre a altura desse gráfico acima de cada ponto no caminho. Como você poderia acompanhar matematicamente a variação dessa altura conforme nos movemos ao longo do caminho?
Em vez de projetarmos o caminho sobre o gráfico de f, também poderíamos cobri-lo com o campo gradiente de f (o campo vetorial em que cada vetor representa f):
Vamos escrever o teorema do gradiente novamente:
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))
As próximas perguntas farão você raciocinar sobre o lado esquerdo dessa expressão.
Verificação de conceito 1: se pensarmos em dt como uma variação muito pequena para o parâmetro t, como você pode interpretar o vetor r(t)dt?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 2: como você pode interpretar o produto escalar
f(P)v
em que P é um ponto no espaço e v é um vetor?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 3: dados esses dois fatos, como podemos interpretar o produto escalar f(r(t))r(t)?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 4: por fim, como você pode interpretar a integral
abf(r(t))r(t)dt
Escolha todas as respostas aplicáveis:

No entanto, há uma maneira muito mais simples de pensar sobre a variação no valor de f do início do caminho até seu final: apenas calcule f nas duas extremidades, e subtraia a diferença:
f(r(b))f(r(a))
Em outras palavras, cada lado da equação no teorema do gradiente calcula a variação em f pelo caminho, mas o lado esquerdo realiza isso passo a passo, enquanto o lado direito dá uma perspectiva global.
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))

Uma breve demonstração

ddtf(r(t))=f(r(t))r(t)
Ao inserirmos isso na afirmação do teorema do gradiente, vemo-no tornar-se igual ao teorema fundamental do cálculo
=abf(r(t))r(t)dt=abddtf(r(t))dt=f(r(b))f(r(a))
Tcharam!
Essa demonstração potencializa o poderoso teorema fundamental do cálculo, juntamente com a regra da cadeia com várias variáveis, e por isso parece suspeitosamente simples. Um bom exercício para entender esse teorema é pensar sobre como exatamente essa rápida e simples demonstração engloba o raciocínio para o teorema do gradiente explicitado na última seção.
Não há nada de errado em usar outros teoremas poderosos para ajudar a demonstrar novos resultados. Na verdade, não fazer isso seria tolice. No entanto, acompanhar o passo a passo de tais demonstrações geralmente não é suficiente para um entendimento mais aprofundado, portanto é saudável desvendar completamente o significado de novos resultados, observando como eles se sustentam por si mesmos.

Exemplo: um caminho senoidal

Defina f como
f(x,y)=x2+y2
Considere C o caminho parametrizado por
r(t)=[tsen(t)]
entre os valores t=0 e t=2π.
Calcule a integral
Cfds

Solução 1: o caminho à moda antiga

Podemos explicitar a integral de linha completa e calculá-la. Na preparação, precisaremos calcular o gradiente de f(x,y)=x2+y2.
Qual é o valor de f?
Escolha 1 resposta:

Também precisaremos da derivada de r(t)=[tsen(t)].
Quanto vale r(t)?
Escolha 1 resposta:

Por fim, o que você obtém ao substituir isso na integral de linha?
Cfds=

Solução 2: aplicar o teorema fundamental das integrais de linha

Ao aplicarmos o teorema fundamental das integrais de linha, podemos pular várias etapas da solução anterior, inclusive o cálculo do gradiente de f e da derivada de r(t).
Resolva a integral de linha acima usando o teorema do gradiente.
Se você olhar para trás no cálculo completo da integral de linha na solução 1, os cálculos que realizamos, na verdade, parecem bem tontos. Pegamos a derivada de tudo, inclusive as derivadas parciais de x2+y2 e as derivadas ordinárias de t e sen(t) e, depois, integramos aquelas derivadas de volta para onde elas começaram.
Trabalhar nesse problema também deve ajudar a construir um raciocínio sobre como o teorema fundamental das integrais de linha deriva do teorema fundamental do cálculo.

Independência do caminho

O teorema do gradiente tem uma consequência muito importante no que diz respeito aos campos gradientes. Suponha que você tenha duas curvas distintas C1 e C2, cada uma ligando os mesmos dois pontos A e B. Vamos dizer que elas estão vagando pelo campo gradiente de uma função de valor escalar f:
De acordo com o teorema do gradiente, as integrais de linha de f ao longo de cada uma dessas curvas serão iguais, uma vez que essa integral é completamente determinada pelo valor de f em A e B:
C1fdr=f(B)f(A)=C2fdr
Exploraremos mais essa ideia no próximo artigo sobre campos vetoriais conservativos.

Resumo

  • O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
abf(r(t))r(t)dt=f(r(b))f(r(a))
  • O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável f conforme você percorre um caminho parametrizado por r(t).
  • Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

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