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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)Teorema fundamental das integrais de linha
Também conhecido como teorema do gradiente, ele generaliza o teorema fundamental do cálculo para integrais de linhas através de um campo vetorial.
Conhecimentos prévios
Necessário apenas se você quiser entender a demonstração:
O que estamos construindo
- O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
- O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 conforme você percorre um caminho parametrizado por start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
- Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.
Afirmação do teorema
Lembre-se de que o teorema fundamental do cálculo no mundo com uma variável diz que
De certa maneira, isso diz que a integração é o oposto da diferenciação.
O teorema fundamental das integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente, é uma das várias maneiras de estender esse teorema para dimensões maiores. De certa forma, ele diz que a integração de linhas por um campo vetorial é o oposto do gradiente. A afirmação do teorema é a de que
Em que
- start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 é uma função multivariável de valor escalar.
- del, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 é o gradiente de start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
- start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis é uma função de valor vetorial que parametriza um caminho pelo espaço de entrada de start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
- start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis e start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis são os pontos finais do caminho.
- start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis é a derivada de start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis, tomada em termos de seus componentes, como é normalmente feito.
Você também pode visualizar esse teorema escrito sem referência à parametrização start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis como a seguir:
Em que C representa o caminho pelo espaço, com A sendo seu ponto inicial e B sendo seu ponto final, e d, start bold text, s, end bold text é tomado como um pequeno passo ao longo de C.
Em resumo, o teorema afirma que a integral de linha do gradiente de uma função f nos dá a variação total no valor de f do início ao fim da curva.
O raciocínio
O significado por trás dessa fórmula é, na verdade, bastante simples, depois que nos damos algum tempo para digerir o significado de cada termo. Há dois personagens principais em cena agora:
- Um caminho vagando pelo espaço (digamos, por enquanto, que seja um espaço bidimensional, para tornar o desenho mais fácil).
- Uma função f que toma pontos desse caminho como suas entradas e que resulta em um número.
Pense em como o valor da função f varia conforme nos movemos ao longo do caminho. O vídeo a seguir mostra uma maneira de visualizar isso, no qual o gráfico de uma função f é mostrado em azul, um caminho no plano x, y é mostrado em vermelho, e a projeção desse caminho sobre o gráfico também é mostrada em vermelho.
Pense sobre a altura desse gráfico acima de cada ponto no caminho. Como você poderia acompanhar matematicamente a variação dessa altura conforme nos movemos ao longo do caminho?
Em vez de projetarmos o caminho sobre o gráfico de f, também poderíamos cobri-lo com o campo gradiente de f (o campo vetorial em que cada vetor representa del, f):
Vamos escrever o teorema do gradiente novamente:
As próximas perguntas farão você raciocinar sobre o lado esquerdo dessa expressão.
Verificação de conceito 1: se pensarmos em d, t como uma variação muito pequena para o parâmetro t, como você pode interpretar o vetor start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #bc2612?
Verificação de conceito 2: como você pode interpretar o produto escalar
em que P é um ponto no espaço e start bold text, v, end bold text, with, vector, on top é um vetor?
Verificação de conceito 3: dados esses dois fatos, como podemos interpretar o produto escalar start color #0c7f99, del, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, dot, start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612?
Verificação de conceito 4: por fim, como você pode interpretar a integral
No entanto, há uma maneira muito mais simples de pensar sobre a variação no valor de f do início do caminho até seu final: apenas calcule f nas duas extremidades, e subtraia a diferença:
Em outras palavras, cada lado da equação no teorema do gradiente calcula a variação em f pelo caminho, mas o lado esquerdo realiza isso passo a passo, enquanto o lado direito dá uma perspectiva global.
Uma breve demonstração
Ao usarmos a regra da cadeia com várias variáveis, temos
Ao inserirmos isso na afirmação do teorema do gradiente, vemo-no tornar-se igual ao teorema fundamental do cálculo
Tcharam!
Essa demonstração potencializa o poderoso teorema fundamental do cálculo, juntamente com a regra da cadeia com várias variáveis, e por isso parece suspeitosamente simples. Um bom exercício para entender esse teorema é pensar sobre como exatamente essa rápida e simples demonstração engloba o raciocínio para o teorema do gradiente explicitado na última seção.
Não há nada de errado em usar outros teoremas poderosos para ajudar a demonstrar novos resultados. Na verdade, não fazer isso seria tolice. No entanto, acompanhar o passo a passo de tais demonstrações geralmente não é suficiente para um entendimento mais aprofundado, portanto é saudável desvendar completamente o significado de novos resultados, observando como eles se sustentam por si mesmos.
Exemplo: um caminho senoidal
Defina f como
Considere C o caminho parametrizado por
entre os valores t, equals, 0 e t, equals, 2, pi.
Calcule a integral
Solução 1: o caminho à moda antiga
Podemos explicitar a integral de linha completa e calculá-la. Na preparação, precisaremos calcular o gradiente de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared.
Qual é o valor de del, f?
Também precisaremos da derivada de .
Quanto vale start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Por fim, o que você obtém ao substituir isso na integral de linha?
Solução 2: aplicar o teorema fundamental das integrais de linha
Ao aplicarmos o teorema fundamental das integrais de linha, podemos pular várias etapas da solução anterior, inclusive o cálculo do gradiente de f e da derivada de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.
Resolva a integral de linha acima usando o teorema do gradiente.
Se você olhar para trás no cálculo completo da integral de linha na solução 1, os cálculos que realizamos, na verdade, parecem bem tontos. Pegamos a derivada de tudo, inclusive as derivadas parciais de x, squared, plus, y, squared e as derivadas ordinárias de t e s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis e, depois, integramos aquelas derivadas de volta para onde elas começaram.
Trabalhar nesse problema também deve ajudar a construir um raciocínio sobre como o teorema fundamental das integrais de linha deriva do teorema fundamental do cálculo.
Independência do caminho
O teorema do gradiente tem uma consequência muito importante no que diz respeito aos campos gradientes. Suponha que você tenha duas curvas distintas C, start subscript, 1, end subscript e C, start subscript, 2, end subscript, cada uma ligando os mesmos dois pontos A e B. Vamos dizer que elas estão vagando pelo campo gradiente de uma função de valor escalar f:
De acordo com o teorema do gradiente, as integrais de linha de del, f ao longo de cada uma dessas curvas serão iguais, uma vez que essa integral é completamente determinada pelo valor de f em A e B:
Exploraremos mais essa ideia no próximo artigo sobre campos vetoriais conservativos.
Resumo
- O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
- O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 conforme você percorre um caminho parametrizado por start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
- Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.
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