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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Teorema fundamental das integrais de linha

Também conhecido como teorema do gradiente, ele generaliza o teorema fundamental do cálculo para integrais de linhas através de um campo vetorial.

Conhecimentos prévios

Necessário apenas se você quiser entender a demonstração:

Regra da cadeia com várias variáveis

O que estamos construindo

O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável $f$ ‍ conforme você percorre um caminho parametrizado por $\vec{r} (t)$ ‍.
Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

Afirmação do teorema

Lembre-se de que o teorema fundamental do cálculo no mundo com uma variável diz que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} g^{'} (t) d t = g (b) - g (a) \end{array}

De certa maneira, isso diz que a integração é o oposto da diferenciação.

O teorema fundamental das integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente, é uma das várias maneiras de estender esse teorema para dimensões maiores. De certa forma, ele diz que a integração de linhas por um campo vetorial é o oposto do gradiente. A afirmação do teorema é a de que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Em que

$f$ ‍ é uma função multivariável de valor escalar.
$\nabla f$ ‍ é o gradiente de $f$ ‍.
$\vec{r} (t)$ ‍ é uma função de valor vetorial que parametriza um caminho pelo espaço de entrada de $f$ ‍.
$\vec{r} (a)$ ‍ e $\vec{r} (b)$ ‍ são os pontos finais do caminho.
- ${\vec{r}}^{'} (t)$ ‍ é a derivada de $\vec{r} (t)$ ‍, tomada em termos de seus componentes, como é normalmente feito.

Você também pode visualizar esse teorema escrito sem referência à parametrização

\vec{r} (t)

como a seguir:

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}

Em que

C

representa o caminho pelo espaço, com

A

sendo seu ponto inicial e

B

sendo seu ponto final, e

d s

é tomado como um pequeno passo ao longo de

C

Em resumo, o teorema afirma que a integral de linha do gradiente de uma função

f

nos dá a variação total no valor de

f

do início ao fim da curva.

O raciocínio

O significado por trás dessa fórmula é, na verdade, bastante simples, depois que nos damos algum tempo para digerir o significado de cada termo. Há dois personagens principais em cena agora:

Um caminho vagando pelo espaço (digamos, por enquanto, que seja um espaço bidimensional, para tornar o desenho mais fácil).
Uma função $f$ ‍ que toma pontos desse caminho como suas entradas e que resulta em um número.

Pense em como o valor da função

f

varia conforme nos movemos ao longo do caminho. O vídeo a seguir mostra uma maneira de visualizar isso, no qual o gráfico de uma função

f

é mostrado em azul, um caminho no plano

x y

é mostrado em vermelho, e a projeção desse caminho sobre o gráfico também é mostrada em vermelho.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Pense sobre a altura desse gráfico acima de cada ponto no caminho. Como você poderia acompanhar matematicamente a variação dessa altura conforme nos movemos ao longo do caminho?

Em vez de projetarmos o caminho sobre o gráfico de

f

, também poderíamos cobri-lo com o campo gradiente de

f

(o campo vetorial em que cada vetor representa

\nabla f

Vamos escrever o teorema do gradiente novamente:

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (r (b)) - f (r (a)) \end{array}

As próximas perguntas farão você raciocinar sobre o lado esquerdo dessa expressão.

Verificação de conceito 1: se pensarmos em

d t

como uma variação muito pequena para o parâmetro

t

, como você pode interpretar o vetor

{\vec{r}}^{'} (t) d t

[Resposta]

Verificação de conceito 2: como você pode interpretar o produto escalar

\nabla f (P) \cdot \vec{v}

em que

P

é um ponto no espaço e

\vec{v}

é um vetor?

[Resposta]

Verificação de conceito 3: dados esses dois fatos, como podemos interpretar o produto escalar

\nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t)

[Resposta]

Verificação de conceito 4: por fim, como você pode interpretar a integral

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \end{array}

[Resposta]

No entanto, há uma maneira muito mais simples de pensar sobre a variação no valor de

f

do início do caminho até seu final: apenas calcule

f

nas duas extremidades, e subtraia a diferença:

f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a))

Em outras palavras, cada lado da equação no teorema do gradiente calcula a variação em

f

pelo caminho, mas o lado esquerdo realiza isso passo a passo, enquanto o lado direito dá uma perspectiva global.

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Uma breve demonstração

Ao usarmos a regra da cadeia com várias variáveis, temos

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) = \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) \end{array}

Ao inserirmos isso na afirmação do teorema do gradiente, vemo-no tornar-se igual ao teorema fundamental do cálculo

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) d t \\ = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{aligned}

Tcharam!

Essa demonstração potencializa o poderoso teorema fundamental do cálculo, juntamente com a regra da cadeia com várias variáveis, e por isso parece suspeitosamente simples. Um bom exercício para entender esse teorema é pensar sobre como exatamente essa rápida e simples demonstração engloba o raciocínio para o teorema do gradiente explicitado na última seção.

Não há nada de errado em usar outros teoremas poderosos para ajudar a demonstrar novos resultados. Na verdade, não fazer isso seria tolice. No entanto, acompanhar o passo a passo de tais demonstrações geralmente não é suficiente para um entendimento mais aprofundado, portanto é saudável desvendar completamente o significado de novos resultados, observando como eles se sustentam por si mesmos.

Exemplo: um caminho senoidal

Defina

f

como

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

Considere

C

o caminho parametrizado por

\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} t \\ sen (t) \end{array}] \end{array}

entre os valores

t = 0

t = 2 π

Calcule a integral

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}

Solução 1: o caminho à moda antiga

Podemos explicitar a integral de linha completa e calculá-la. Na preparação, precisaremos calcular o gradiente de

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

Qual é o valor de

\nabla f

[Explicação]

Também precisaremos da derivada de

\vec{r} (t) = [\begin{matrix} t \\ sen (t) \end{matrix}]

Quanto vale

{\vec{r}}^{'} (t)

[Explicação]

Por fim, o que você obtém ao substituir isso na integral de linha?

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = \end{array}

[Explicação]

Solução 2: aplicar o teorema fundamental das integrais de linha

Ao aplicarmos o teorema fundamental das integrais de linha, podemos pular várias etapas da solução anterior, inclusive o cálculo do gradiente de

f

e da derivada de

\vec{r} (t)

Resolva a integral de linha acima usando o teorema do gradiente.

[Solução]

Se você olhar para trás no cálculo completo da integral de linha na solução 1, os cálculos que realizamos, na verdade, parecem bem tontos. Pegamos a derivada de tudo, inclusive as derivadas parciais de

x^{2} + y^{2}

e as derivadas ordinárias de

t

sen (t)

e, depois, integramos aquelas derivadas de volta para onde elas começaram.

Trabalhar nesse problema também deve ajudar a construir um raciocínio sobre como o teorema fundamental das integrais de linha deriva do teorema fundamental do cálculo.

Independência do caminho

O teorema do gradiente tem uma consequência muito importante no que diz respeito aos campos gradientes. Suponha que você tenha duas curvas distintas

C_{1}

C_{2}

, cada uma ligando os mesmos dois pontos

A

B

. Vamos dizer que elas estão vagando pelo campo gradiente de uma função de valor escalar

f

De acordo com o teorema do gradiente, as integrais de linha de

\nabla f

ao longo de cada uma dessas curvas serão iguais, uma vez que essa integral é completamente determinada pelo valor de

f

A

B

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A) = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d r \end{array}

Exploraremos mais essa ideia no próximo artigo sobre campos vetoriais conservativos.

Resumo

O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável $f$ ‍ conforme você percorre um caminho parametrizado por $\vec{r} (t)$ ‍.
Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

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