Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)Teorema fundamental das integrais de linha
Também conhecido como teorema do gradiente, ele generaliza o teorema fundamental do cálculo para integrais de linhas através de um campo vetorial.
Conhecimentos prévios
Necessário apenas se você quiser entender a demonstração:
O que estamos construindo
- O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
- O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável
conforme você percorre um caminho parametrizado por . - Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.
Afirmação do teorema
Lembre-se de que o teorema fundamental do cálculo no mundo com uma variável diz que
De certa maneira, isso diz que a integração é o oposto da diferenciação.
O teorema fundamental das integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente, é uma das várias maneiras de estender esse teorema para dimensões maiores. De certa forma, ele diz que a integração de linhas por um campo vetorial é o oposto do gradiente. A afirmação do teorema é a de que
Em que
é uma função multivariável de valor escalar. é o gradiente de . é uma função de valor vetorial que parametriza um caminho pelo espaço de entrada de . e são os pontos finais do caminho. é a derivada de , tomada em termos de seus componentes, como é normalmente feito.
Você também pode visualizar esse teorema escrito sem referência à parametrização como a seguir:
Em que representa o caminho pelo espaço, com sendo seu ponto inicial e sendo seu ponto final, e é tomado como um pequeno passo ao longo de .
Em resumo, o teorema afirma que a integral de linha do gradiente de uma função nos dá a variação total no valor de do início ao fim da curva.
O raciocínio
O significado por trás dessa fórmula é, na verdade, bastante simples, depois que nos damos algum tempo para digerir o significado de cada termo. Há dois personagens principais em cena agora:
- Um caminho vagando pelo espaço (digamos, por enquanto, que seja um espaço bidimensional, para tornar o desenho mais fácil).
- Uma função
que toma pontos desse caminho como suas entradas e que resulta em um número.
Pense em como o valor da função varia conforme nos movemos ao longo do caminho. O vídeo a seguir mostra uma maneira de visualizar isso, no qual o gráfico de uma função é mostrado em azul, um caminho no plano é mostrado em vermelho, e a projeção desse caminho sobre o gráfico também é mostrada em vermelho.
Pense sobre a altura desse gráfico acima de cada ponto no caminho. Como você poderia acompanhar matematicamente a variação dessa altura conforme nos movemos ao longo do caminho?
Em vez de projetarmos o caminho sobre o gráfico de , também poderíamos cobri-lo com o campo gradiente de (o campo vetorial em que cada vetor representa ):
Vamos escrever o teorema do gradiente novamente:
As próximas perguntas farão você raciocinar sobre o lado esquerdo dessa expressão.
Verificação de conceito 1: se pensarmos em como uma variação muito pequena para o parâmetro , como você pode interpretar o vetor ?
Verificação de conceito 2: como você pode interpretar o produto escalar
em que é um ponto no espaço e é um vetor?
Verificação de conceito 3: dados esses dois fatos, como podemos interpretar o produto escalar ?
Verificação de conceito 4: por fim, como você pode interpretar a integral
No entanto, há uma maneira muito mais simples de pensar sobre a variação no valor de do início do caminho até seu final: apenas calcule nas duas extremidades, e subtraia a diferença:
Em outras palavras, cada lado da equação no teorema do gradiente calcula a variação em pelo caminho, mas o lado esquerdo realiza isso passo a passo, enquanto o lado direito dá uma perspectiva global.
Uma breve demonstração
Ao usarmos a regra da cadeia com várias variáveis, temos
Ao inserirmos isso na afirmação do teorema do gradiente, vemo-no tornar-se igual ao teorema fundamental do cálculo
Tcharam!
Essa demonstração potencializa o poderoso teorema fundamental do cálculo, juntamente com a regra da cadeia com várias variáveis, e por isso parece suspeitosamente simples. Um bom exercício para entender esse teorema é pensar sobre como exatamente essa rápida e simples demonstração engloba o raciocínio para o teorema do gradiente explicitado na última seção.
Não há nada de errado em usar outros teoremas poderosos para ajudar a demonstrar novos resultados. Na verdade, não fazer isso seria tolice. No entanto, acompanhar o passo a passo de tais demonstrações geralmente não é suficiente para um entendimento mais aprofundado, portanto é saudável desvendar completamente o significado de novos resultados, observando como eles se sustentam por si mesmos.
Exemplo: um caminho senoidal
Defina como
Considere o caminho parametrizado por
entre os valores e .
Calcule a integral
Solução 1: o caminho à moda antiga
Podemos explicitar a integral de linha completa e calculá-la. Na preparação, precisaremos calcular o gradiente de .
Qual é o valor de ?
Também precisaremos da derivada de .
Quanto vale ?
Por fim, o que você obtém ao substituir isso na integral de linha?
Solução 2: aplicar o teorema fundamental das integrais de linha
Ao aplicarmos o teorema fundamental das integrais de linha, podemos pular várias etapas da solução anterior, inclusive o cálculo do gradiente de e da derivada de .
Resolva a integral de linha acima usando o teorema do gradiente.
Se você olhar para trás no cálculo completo da integral de linha na solução 1, os cálculos que realizamos, na verdade, parecem bem tontos. Pegamos a derivada de tudo, inclusive as derivadas parciais de e as derivadas ordinárias de e e, depois, integramos aquelas derivadas de volta para onde elas começaram.
Trabalhar nesse problema também deve ajudar a construir um raciocínio sobre como o teorema fundamental das integrais de linha deriva do teorema fundamental do cálculo.
Independência do caminho
O teorema do gradiente tem uma consequência muito importante no que diz respeito aos campos gradientes. Suponha que você tenha duas curvas distintas e , cada uma ligando os mesmos dois pontos e . Vamos dizer que elas estão vagando pelo campo gradiente de uma função de valor escalar :
De acordo com o teorema do gradiente, as integrais de linha de ao longo de cada uma dessas curvas serão iguais, uma vez que essa integral é completamente determinada pelo valor de em e :
Exploraremos mais essa ideia no próximo artigo sobre campos vetoriais conservativos.
Resumo
- O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
- O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável
conforme você percorre um caminho parametrizado por . - Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.