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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)
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Teorema fundamental das integrais de linha

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Também conhecido como teorema do gradiente, ele generaliza o teorema fundamental do cálculo para integrais de linhas através de um campo vetorial.

Conhecimentos prévios

Necessário apenas se você quiser entender a demonstração:

O que estamos construindo

  • O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 conforme você percorre um caminho parametrizado por start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
  • Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

Afirmação do teorema

Lembre-se de que o teorema fundamental do cálculo no mundo com uma variável diz que
∫abg′(t)dt=g(b)−g(a)\begin{aligned} \int_a^b g'(t)dt = g(b) - g(a) \end{aligned}
De certa maneira, isso diz que a integração é o oposto da diferenciação.
O teorema fundamental das integrais de linha, também conhecido como o teorema do gradiente, é uma das várias maneiras de estender esse teorema para dimensões maiores. De certa forma, ele diz que a integração de linhas por um campo vetorial é o oposto do gradiente. A afirmação do teorema é a de que
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
Em que
  • start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 é uma função multivariável de valor escalar.
  • del, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 é o gradiente de start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
  • start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis é uma função de valor vetorial que parametriza um caminho pelo espaço de entrada de start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
  • start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis e start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis são os pontos finais do caminho.
    • start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis é a derivada de start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis, tomada em termos de seus componentes, como é normalmente feito.
Você também pode visualizar esse teorema escrito sem referência à parametrização start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis como a seguir:
∫C∇f⋅ds=f(B)−f(A)\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = f(B) - f(A) \end{aligned}
Em que C representa o caminho pelo espaço, com A sendo seu ponto inicial e B sendo seu ponto final, e d, start bold text, s, end bold text é tomado como um pequeno passo ao longo de C.
Em resumo, o teorema afirma que a integral de linha do gradiente de uma função f nos dá a variação total no valor de f do início ao fim da curva.

O raciocínio

O significado por trás dessa fórmula é, na verdade, bastante simples, depois que nos damos algum tempo para digerir o significado de cada termo. Há dois personagens principais em cena agora:
  • Um caminho vagando pelo espaço (digamos, por enquanto, que seja um espaço bidimensional, para tornar o desenho mais fácil).
  • Uma função f que toma pontos desse caminho como suas entradas e que resulta em um número.
Pense em como o valor da função f varia conforme nos movemos ao longo do caminho. O vídeo a seguir mostra uma maneira de visualizar isso, no qual o gráfico de uma função f é mostrado em azul, um caminho no plano x, y é mostrado em vermelho, e a projeção desse caminho sobre o gráfico também é mostrada em vermelho.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
Pense sobre a altura desse gráfico acima de cada ponto no caminho. Como você poderia acompanhar matematicamente a variação dessa altura conforme nos movemos ao longo do caminho?
Em vez de projetarmos o caminho sobre o gráfico de f, também poderíamos cobri-lo com o campo gradiente de f (o campo vetorial em que cada vetor representa del, f):
Vamos escrever o teorema do gradiente novamente:
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r(b))−f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) \end{aligned}
As próximas perguntas farão você raciocinar sobre o lado esquerdo dessa expressão.
Verificação de conceito 1: se pensarmos em d, t como uma variação muito pequena para o parâmetro t, como você pode interpretar o vetor start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #bc2612?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 2: como você pode interpretar o produto escalar
del, f, left parenthesis, P, right parenthesis, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
em que P é um ponto no espaço e start bold text, v, end bold text, with, vector, on top é um vetor?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 3: dados esses dois fatos, como podemos interpretar o produto escalar start color #0c7f99, del, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, dot, start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Verificação de conceito 4: por fim, como você pode interpretar a integral
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} \end{aligned}
Escolha todas as respostas aplicáveis:

No entanto, há uma maneira muito mais simples de pensar sobre a variação no valor de f do início do caminho até seu final: apenas calcule f nas duas extremidades, e subtraia a diferença:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis
Em outras palavras, cada lado da equação no teorema do gradiente calcula a variação em f pelo caminho, mas o lado esquerdo realiza isso passo a passo, enquanto o lado direito dá uma perspectiva global.
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}

Uma breve demonstração

Ao usarmos a regra da cadeia com várias variáveis, temos
ddtf(r⃗(t))=∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t)) = \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t) \end{aligned}
Ao inserirmos isso na afirmação do teorema do gradiente, vemo-no tornar-se igual ao teorema fundamental do cálculo
=∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=∫abddtf(r⃗(t))dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} &\phantom{=} \int_a^b \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t)dt \\\\ &= \int_a^b \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t))dt \\\\ &= f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}
Tcharam!
Essa demonstração potencializa o poderoso teorema fundamental do cálculo, juntamente com a regra da cadeia com várias variáveis, e por isso parece suspeitosamente simples. Um bom exercício para entender esse teorema é pensar sobre como exatamente essa rápida e simples demonstração engloba o raciocínio para o teorema do gradiente explicitado na última seção.
Não há nada de errado em usar outros teoremas poderosos para ajudar a demonstrar novos resultados. Na verdade, não fazer isso seria tolice. No entanto, acompanhar o passo a passo de tais demonstrações geralmente não é suficiente para um entendimento mais aprofundado, portanto é saudável desvendar completamente o significado de novos resultados, observando como eles se sustentam por si mesmos.

Exemplo: um caminho senoidal

Defina f como
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared
Considere C o caminho parametrizado por
r⃗(t)=[tsen⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}
entre os valores t, equals, 0 e t, equals, 2, pi.
Calcule a integral
∫C∇f⋅ds\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Solução 1: o caminho à moda antiga

Podemos explicitar a integral de linha completa e calculá-la. Na preparação, precisaremos calcular o gradiente de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared.
Qual é o valor de del, f?
Escolha 1 resposta:

Também precisaremos da derivada de r⃗(t)=[tsen⁡(t)] \vec{\textbf{r}}(t) = \left[\begin{array}{c} t \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] .
Quanto vale start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Por fim, o que você obtém ao substituir isso na integral de linha?
∫C∇f⋅ds=\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = \end{aligned}

Solução 2: aplicar o teorema fundamental das integrais de linha

Ao aplicarmos o teorema fundamental das integrais de linha, podemos pular várias etapas da solução anterior, inclusive o cálculo do gradiente de f e da derivada de start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.
Resolva a integral de linha acima usando o teorema do gradiente.
Se você olhar para trás no cálculo completo da integral de linha na solução 1, os cálculos que realizamos, na verdade, parecem bem tontos. Pegamos a derivada de tudo, inclusive as derivadas parciais de x, squared, plus, y, squared e as derivadas ordinárias de t e s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis e, depois, integramos aquelas derivadas de volta para onde elas começaram.
Trabalhar nesse problema também deve ajudar a construir um raciocínio sobre como o teorema fundamental das integrais de linha deriva do teorema fundamental do cálculo.

Independência do caminho

O teorema do gradiente tem uma consequência muito importante no que diz respeito aos campos gradientes. Suponha que você tenha duas curvas distintas C, start subscript, 1, end subscript e C, start subscript, 2, end subscript, cada uma ligando os mesmos dois pontos A e B. Vamos dizer que elas estão vagando pelo campo gradiente de uma função de valor escalar f:
De acordo com o teorema do gradiente, as integrais de linha de del, f ao longo de cada uma dessas curvas serão iguais, uma vez que essa integral é completamente determinada pelo valor de f em A e B:
∫C1∇f⋅dr=f(B)−f(A)=∫C2∇f⋅dr\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(B) - f(A) = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{r} \end{aligned}
Exploraremos mais essa ideia no próximo artigo sobre campos vetoriais conservativos.

Resumo

  • O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • O raciocínio por trás dessa fórmula é a de que cada lado representa a variação no valor de uma função multivariável start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 conforme você percorre um caminho parametrizado por start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
  • Essa fórmula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.

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