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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Integrais de linha em um campo vetorial

Depois de aprender sobre integrais de linha em um campo escalar, aprenda sobre como integrais de linha funcionam em campos vetoriais.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Digamos que exista um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 e uma curva start color #a75a05, C, end color #a75a05 vagando por esse campo. Imagine que você está caminhando ao longo da curva, e que a cada passo você calcula o produto escalar entre os dois vetores a seguir:

O vetor do campo start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 no ponto em que você está.
O vetor de deslocamento associado ao próximo passo que você der ao longo dessa curva.

Se você somar esses produtos escalares, terá acabado de estimar a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao longo de start color #a75a05, C, end color #a75a05

A notação abreviada para essa integral de linha é

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}

(Dê atenção especial ao fato de que isso é um produto escalar)

A notação mais explícita, dada uma parametrização start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis de start color #a75a05, C, end color #a75a05, é

\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

Integrais de linha são úteis em física para calcular o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento.

Se você parametrizar a curva de forma que mova na direção oposta a medida que t aumenta, o valor da integral de linha é multiplicado por minus, 1.

Baleia caindo do céu

Imagine que temos uma baleia, que chamarei de Willy, caindo do céu. Suponha que ela caia ao longo de uma curva, talvez porque as correntes de ar a empurrem de um lado para o outro.

Nesse exemplo, estou assumindo que você esteja familiarizado com a ideia da física de que uma força realiza trabalho em um objeto em movimento, e que esse trabalho é definido como o produto escalar entre o vetor de força e o vetor de deslocamento.

[Precisa de uma breve revisão sobre essa ideia?]

Questão-chave: qual é o trabalho realizado sobre Willy pela gravidade conforme ele cai ao longo da curva C?

Normalmente, o cálculo do trabalho é feito com relação a um vetor reto de força e um vetor reto de deslocamento, então o que podemos fazer com essa trajetória curvada? Você pode começar imaginando que a curva está dividida em vários pequenos vetores deslocamentos:

Vá em frente e dê um nome para cada um desses vetores deslocamento,

delta, s, with, vector, on top, start subscript, 1, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 3, end subscript, dots

O trabalho realizado pela gravidade ao longo de cada um desses vetores deslocamento é o vetor força da gravidade, que chamarei de F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top, multiplicado pelo próprio vetor deslocamento:

F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top, dot, delta, s, with, vector, on top, start subscript, i, end subscript

O trabalho total realizado pela gravidade ao longo de toda a curva é então estimado por

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^N \vec{F_g} \cdot \vec{\Delta s}_n \end{aligned}

Mas, é claro, isto é cálculo, então não olhamos apenas para um número específico de passos finitos ao longo da curva C. Nós consideramos o valor do limite a que essa soma se aproxima a medida que o tamanho desses passos se torna cada vez menor. Isto é capturado com a seguinte integral:

\begin{aligned} \int_C \vec{F_g} \cdot \vec{ds} \end{aligned}

Isso é muito similar à integração de linha em um campo escalar, mas há uma diferença importante: o pequeno passo d, s, with, vector, on top agora é pensado como um vetor, e não como um comprimento escalar. Na integral acima, eu escrevi tanto F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top quanto d, s, with, vector, on top com pequenas setas em cima para enfatizar que eles são vetores. Uma maneira mais sutil e mais comum de enfatizar que essas são grandezas vetoriais é escrever a variável em negrito:

\begin{aligned} \int_C \textbf{F}_g \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Conclusão principal: o que estamos somando conforme vagamos ao longo de C não é o valor total de start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript em cada ponto, mas, sim, a componente de start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript apontada na mesma direção que o vetor d, start bold text, s, end bold text. Isto é, a componente de força na direção da curva.

Exemplo 1: colocando números na queda de Willy.

Vejamos como isso se desenvolve quando acompanhamos o cálculo.

Suponha que a curva da queda de Willy é descrita pela função paramétrica

\begin{aligned} \textbf{s}(t) = \left[ \begin{array}{c} 100(t - \operatorname{sen}(t)) \\ 100(-t - \operatorname{sen}(t)) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

O vetor d, start bold text, s, end bold text, que representa um pequeno passo sobre a curva, pode ser dado como a derivada dessa função, multiplicada por d, t:

d, start bold text, s, end bold text, equals, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, divided by, d, t, end fraction, d, t, equals, start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t

Se isto lhe parece estranho, considere dar uma olhada no artigo que descreve derivadas de funções paramétricas. A forma de visualizar isso é pensar em um pequeno acréscimo ao parâmetro t de tamanho d, t. Isso resulta em uma pequena variação ao longo da curva descrita por start bold text, s, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, que é dada pelo vetor start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.

Para calcular o vetor dessa derivada simplesmente precisamos cacular a derivada de cada componente:

\begin{aligned} \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} 100(t - \operatorname{sen}(t)) \\\\ \dfrac{d}{dt} 100(-t - \operatorname{sen}(t)) \\\\ \end{array} \right] \\\\ \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} 100(1 - \cos(t)) \\\\ 100(-1 - \cos(t)) \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}

A força da gravidade é dada pela aceleração 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction multiplicada pela massa de Willy. Não que isso seja importante, mas eu pesquisei a massa tipica de uma baleia-azul, e ela é em torno de 170, point, 000, start text, k, g, end text, então vamos usar este número.

Já que essa força é direcionada exclusivamente para baixo, a gravidade como um vetor força fica assim:

\begin{aligned} \textbf{F}_g &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -(170.000)(9{,}8) \end{array} \right] \end{aligned}

Digamos que queremos encontrar o trabalho realizado pela gravidade entre os tempos t, equals, 0 e t, equals, 10. O que você obtém quando insere todas essas informações na integral integral, start subscript, C, end subscript, start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript, dot, d, start bold text, s, end bold text e a calcula? Reserve um momento para tentar escrever isso sozinho antes de olhar a resposta.

[Resposta]

(Aqueles estudantes de física, que como você perceberam que seria mais fácil apenas calcular o potencial gravitacional de Willy no início e no fim de sua queda e encontrar a diferença, vão adorar o tópico de campos conservativos!)

Visualizando integrais de linha mais gerais através de um campo vetorial

No exemplo anterior, o campo vetorial da gravidade é constante. A gravidade aponta direto para baixo com a mesma magnitude em todos os lugares. Como com a maioria das integrais de linha através de um campo vetorial, os vetores no campo são diferentes em diferentes pontos no espaço, então o valor multiplicado por d, start bold text, s, end bold text varia. A animação a seguir mostra como isso pode ser.

(Observe que a animação utiliza a variável start bold text, r, end bold text, em vez de start bold text, s, end bold text, para parametrizar a curva, mas, é claro, isso não faz diferença).

Vamos analisar o que está acontecendo aqui. A integral de linha em si é escrita assim:

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}(\textbf{r})} \cdot \redE{d\textbf{r}} = \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

em que

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é um campo vetorial, que associa cada ponto no espaço a um vetor. Você pode pensar nisso como um campo de força.
start color #a75a05, C, end color #a75a05 é uma curva através do espaço.
start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis é uma função vetorial que parametriza a curva start color #a75a05, C, end color #a75a05 no intervalo a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b
start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 é a derivada de start bold text, r, end bold text, que representa o vetor velocidade de uma partícula cuja posição é dada por start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis enquanto t aumenta a uma taxa constante. Quando você multiplica isso por um pequeno passo no tempo, d, t, o resultado é um pequeno vetor deslocamento, que eu gosto de pensar como um pequeno passo ao longo da curva. Tecnicamente, é um pequeno passo na direção tangente à curva, mas para um d, t suficientemente pequeno, isso equivale à mesma coisa.
Observe que nessa animação o comprimento de start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 permanece constante. Isso não é necessariamente verdadeiro para a maioria das parametrizações de start color #a75a05, C, end color #a75a05, que podem aumentar ou diminuir sua velocidade a medida que sua posição varia de acordo com start bold text, r, end bold text. Por exemplo, Willy estava provavelmente acelerando durante a queda, fazendo o vetor velocidade crescer ao longo do tempo.
O círculo que gira no canto inferior direito do diagrama é um pouco confuso à primeira vista. Ele representa a extensão à qual o vetor start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 se alinha com o vetor tangente start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612. Os vetores cinzas x e y são mostrados para se ver como estes vetores são orientados em relação ao plano x, y como um todo.

Verificação de conceito: o que representa o produto escalar start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f?

(Escolha A)
A taxa na qual a força start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 está variando em relação a t.
(Escolha B)
A componente de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 apontando na mesma direção de um pequeno passo ao longo da curva no ponto start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, multiplicado pelo tamanho deste pequeno passo.

Em termos de física, você pode pensar neste produto escalar

start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f

como

start color #0d923f, d, W, end color #0d923f

Isto é, uma pequena quantidade de trabalho realizado pelo campo de força start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre uma partícula se movendo ao longo de start color #a75a05, C, end color #a75a05.

Exemplo 2: trabalho realizado por um tornado

Considere o campo vetorial descrito pela função

\begin{aligned} \textbf{F}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] \end{aligned}

O campo vetorial fica assim:

Pensado como uma força, este campo vetorial empurra os objetos no sentido anti-horário ao redor da origem. Por exemplo, talvez isto represente a força relativa à resistência do ar no interior de um tornado. Isto é um pouco irreal porque implicaria que a força cresce continuamente à medida que você se afasta do centro do tornado, mas podemos dizer, apenas eufemisticamente, que ele é um "modelo simplificado" e continuar nosso caminho.

Suponha que queiramos calcular uma integral de linha através deste campo vetorial ao longo de um círculo de raio 1 centrado em left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis.

Devo salientar que a orientação é relevante aqui. O trabalho realizado pelo campo de força do tornado à medida que caminhamos no sentido anti-horário em torno do círculo pode ser diferente do trabalho realizado à medida que caminhamos no sentido horário em torno dele (veremos isso explicitamente em breve).

Se escolhermos considerar uma caminhada no sentido anti-horário em torno deste círculo, podemos parametrizar a curva com a função.

\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}

em que t tem um intervalo de 0 a 2, pi.

Novamente, para definir a integral de linha que represente o trabalho, você considera o vetor força em cada ponto, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, e o multiplica por um pequeno passo ao longo da curva, d, start bold text, r, end bold text:

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

Etapa 1: expandir a integral

Verificação de conceito: qual das seguintes integrais representa a mesma coisa que

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t)dt \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_a^b \textbf{F}(\textbf{r}(t), \textbf{r}'(t))dt \end{aligned}$

Etapa 2: expandir cada componente

Verificação de conceito: com base nas definições acima, qual é o valor de start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t)+2 \\ \operatorname{sen}(t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\operatorname{sen}(t) \\ \cos(t)+2 \end{array} \right] \end{aligned}$

Verificação de conceito: qual é o valor de start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\operatorname{sen}(t) \\ \cos(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

Etapa 3: calcular a integral

Verificação de conceito: junte as três últimas respostas para calcular a integral.

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

Esta resposta final dá a quantidade de trabalho realizado pelo campo de força do tornado sobre uma partícula se movendo no sentido anti-horário em torno do círculo ilustrado acima.

Pergunta para reflexão: por que deve ser intuitivo que essa resposta seja positiva?

[Resposta]

A orientação importa

O que teria acontecido se, no exemplo anterior, tivéssemos orientado o círculo no sentido horário? Por exemplo, poderíamos tê-lo parametrizado com a função

\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ -\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Se quiser, você pode inserir isso e realizar todos os cálculos para ver o que acontece. No entanto, há uma maneira mais simples de raciocinar sobre o que vai acontecer. Na integral

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

cada vetor d, start bold text, r, end bold text que representa um pequeno passo ao longo da curva será girado para apontar na direção oposta.

Verificação de conceito: suponha que você tenha dois vetores start bold text, v, end bold text e start bold text, w, end bold text, e que start bold text, v, end bold text, dot, start bold text, w, end bold text, equals, 3. Você gira start bold text, v, end bold text para apontar na direção oposta, obtendo um novo vetor start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, o, v, o, end text, end subscript, equals, minus, start bold text, v, end bold text. O que acontece com o produto escalar?

start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, o, v, o, end text, end subscript, dot, start bold text, w, end bold text, equals

Como o produto escalar dentro da integral é multiplicado por minus, 1 quando você inverte a direção de cada d, start bold text, r, end bold text, podemos concluir o seguinte:

Conclusão-chave: a integral de linha através de um campo vetorial é multiplicada por minus, 1 quando você inverte a orientação de uma curva.

Resumo

A notação abreviada de uma integral de linha através de um campo vetorial é

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}

A notação mais explícita, dada uma parametrização start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis de start color #a75a05, C, end color #a75a05, é

\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

Integrais de linha são úteis em física para calcular o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento.
Se você parametrizar a curva de tal forma que você se mova na direção oposta conforme t aumenta, o valor da integral de linha é multiplicado por minus, 1.

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