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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
Mostrando que a integral de linha ao longo das curvas dos campos vetoriais conservativos é zero. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA20JL - Olá,
pessoal, tudo bem? Em uma de nossas aulas,
mostramos que um campo vetorial pode ser escrito como o
gradiente de um campo escalar, onde, inclusive, essa parte também pode ser
chamada de potencial de F ou função potencial. Mas, enfim, uma outra forma de dizer isso é a parcial
do F, na esquerda, em relação a x vezes î + ∂F/∂y j E eu escrevi dessas duas formas para fixar
um pouco melhor na cabeça o que é o gradiente. E é importante para nós aqui, a informação
de que, se o nosso campo vetorial é o gradiente de um campo escalar, ele recebe
o nome de campo vetorial conservativo, e isso nos diz que F é um campo
vetorial conservativo. Mas, calma aí, que agora vem o
mais importante. Ele também nos diz que a integral curvilínea
de F entre 2 pontos é independente ao caminho. Para visualizar isso um pouco melhor,
vamos fazer um plano xy. Tenho aqui o meu eixo x
e aqui, meu eixo y. E para os pontos, vou dizer que um está
embaixo e o outro, na parte de cima, na direita. Temos dois caminhos: um vai desse jeito e
vamos chamá-lo de C1 e ele vai na direção C1, depois, na parte de cima, temos
um outro caminho. Ele, eu irei
chamar de C2. Agora, como disse antes, a integral
curvilínea é independente ao caminho para
quaisquer dois caminhos. Por isso, na direita,
vamos colocar que a integral curvilínea ao longo
de C1 de F . dr = ∫ᴄ₂ F . dr. Ou seja, se consideramos que tem uma
potência em uma região, que pode estar
em qualquer lugar, isso quer dizer que a integral de linha entre
dois pontos é independente do caminho. E isso é o legal de
um campo conservativo! Agora, vamos expandir um pouco o
conhecimento que temos sobre isso com algo o que é
extremamente importante. Talvez, já até seja
óbvio para você. Primeiro, vou reorganizar toda
essa equação. ∫ᴄ₁ F . dr - ∫ᴄ₂ F . dr = 0. A única coisa que fiz foi fazer a
subtração de ambos os lados. Agora, pelo que sabemos, se lidamos com uma
integral de linha de um campo vetorial, a direção do
caminho é importante e também temos noção que a
∫ᴄ₂ F . dr = - ∫₋ᴄ₂ F . dr. Ou seja, denotamos aqui que -C2 é
o mesmo caminho que C2, só que em
direções opostas. Para visualizar melhor, podemos
representar isso no gráfico de cima. Esse agora é o -C2, e temos o caminho
que vai em direção oposta. Você pode Ignorar
as setas antigas. E também podemos
representar essa equação. O negativo da ∫ᴄ₂ F. dr é igual
à integral do caminho reverso, ∫₋ᴄ₂ F. dr. E a única coisa que mudamos
aqui é o sinal de negativo. e multiplicamos ambos
os lados por 1. Agora, na outra equação, temos também o
negativo de C2, igual ao que fizemos anteriormente, e podemos substituí-lo por essa expressão
na esquerda inferior. Então, ∫ᴄ1 F . dr, porém, em vez de -∫ᴄ₂,
vamos colocar um sinal de positivo, pois como já estabelecemos
anteriormente, essa parte na direita é a mesma que da esquerda
inferior, que é positiva. Por isso, só vamos escrever
∫₋ᴄ₂ F . dr. E depois, = 0. Agora vamos ver uma coisa que
é bem interessante! Vamos ver qual é a
combinação de caminho C1 e -C2. C1 inicia nesse ponto e segue o seu
caminho até dado ponto. Depois, temos o
caminho de -C2, que inicia no ponto e segue
e volta até o ponto inicial. Isso completa um ciclo. Ou seja, isso significa
que isso é uma integral de linha fechada (∮). Para expressar isso, podemos falar que
há uma ∮ provavelmente, C1 mais o reverso de C2. Isso se quisermos ser um pouco mais
específicos sobre o caminho fechado. Mas poderia ser
qualquer caminho fechado em que um campo vetorial F
tem uma potência ou é gradiente de um campo escalar,
ou é conservativo. Mas, em sequência,
∮ᴄ₁ ₊ ₋ᴄ₂ F. dr = 0. Basicamente, estamos só
reescrevendo a parte de cima de uma maneira diferente,
mas aqui embaixo. Por fim, chegamos à
expressão que queríamos. Agora, sabemos que, se temos um
campo vetorial que é gradiente de um campo escalar em alguma região
ou até mesmo em todo o plano xy, nós o chamamos
de conservativo. E isso nos diz que dado o ponto na região
onde essas informações são válidas, a linha curvilínea de um ponto a
outro é independente ao caminho. E por causa disso, descobrimos que,
se pegamos qualquer ciclo fechado ou uma linha curvilínea fechada
ao longo de V, ou se pegamos algum vetor, ele será 0
por ser independente ao caminho. Então, se por algum acaso, você
chegar a ver algo do tipo que solicita que você calcule dado F
conservativo ou F gradiente de outra função, ou até mesmo caso de um em que
F é independente ao caminho, você vai poder dar a
resposta super rapidinho e vai facilitar
bastante a sua vida. E é isso, pessoal! Espero que
tenham aprendido, e até a próxima!