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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
Exemplo de como obter uma integral de linha fechada de um campo conservativo. Versão original criada por Sal Khan.
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- What you did with î and ^j from dr? Is it based on other video?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA2JV - Fala, galera do Khan! Neste vídeo, nós iremos aplicar um pouco das ferramentas conceituais que aprendemos durante
esta série de vídeos. Digamos que nós queremos calcular
a integral de linha fechada em uma curva C de (x² + y²)dx + 2xy dy. E a curva C será definida
pela parametrização x = cosseno de "t"
e y = seno de "t", sendo que "t" está entre zero e 2π. Então, essencialmente, este caminho C
é um círculo no plano XY. Vamos ver se conseguimos utilizar algumas
de nossas descobertas dos vídeos passados para simplificar este
processo de integração. A primeira coisa que
podemos nos questionar é sobre a função em si, já que não vemos, dentro desta integral, nenhum "dr" ou qualquer tipo de vetor. Então, vamos fazer aqui
uma breve "investigação" para checar se isto é, de fato,
uma integral vetorial de linha fechada. E, só para adiantar, o motivo
de usarmos este exemplo é justamente mostrar uma outra maneira de escrever uma integral
vetorial de linha fechada. Então, se nós possuímos um r(t)
e esta é a nossa curva, que é igual a x(t) vezes o versor "i",
mais y(t) vezes o versor "j", nós já vimos em diversos vídeos que podemos escrever a derivada
de "r" em relação a "t" (dr/dt) como dx/dt vezes "i",
mais dy/dt vezes o versor "j". E nós vimos várias vezes, também, que se quisermos obter
diretamente aqui o diferencial dr, nós temos que enxergar este
diferencial dt aqui como um número e multiplicar os dois lados
da equação por dt para conseguirmos nos livrar dele. Então, teremos dr igual a dx vezes "i",
mais dy vezes "j". Agora, nós podemos deixar esta
proposição sobre o dr de lado e olhar um pouco para a função
que nós temos que integrar. Se definirmos o nosso campo vetorial
como sendo F(x, y), que é igual a (x² + y²)
vezes o vetor unitário "i", mais 2xy vezes "j", como ficaria o nosso "F" vezes dr? Lembrando que esta multiplicação aqui
é um produto escalar. Então, "F" produto escalar dr ficaria:
(x² + y²)dx + 2xy dy. E note, agora, que este produto
escalar que fizemos é exatamente igual ao que
temos dentro da integral do exercício proposto no começo do vídeo. Então, o que estamos calculando aqui é,
nada mais nada menos, do que a integral vetorial
de linha fechada do produto escalar de "F"
pelo diferencial dr. A partir de agora, quando
nós virmos uma integral desta, nós imediatamente saberemos
que se trata de um campo vetorial onde esta é a sua componente "x" e esta é a sua componente "y". E as duas foram multiplicadas
escalarmente por dr. Agora, nós podemos nos perguntar se "F" é realmente um
campo vetorial conservativo. E, para isso, nós perguntamos
se nosso campo vetorial é igual ao gradiente de um campo escalar,
digamos aqui, "F". E aqui nós vemos se podemos
encontrar um campo escalar cujo gradiente é realmente
o nosso campo vetorial "F". Desta forma, saberemos que "F"
é realmente um campo conservativo e, se ele realmente for, nós saberemos
que qualquer integral de linha fechada deste campo vetorial será igual a zero. Ou seja, se demonstrarmos que esta proposição
aqui da direita é verdadeira, nós mostraremos também que esta
integral de linha fechada é igual a zero. E aí acabamos o exercício, não teremos que mexer nem com o seno,
nem com o cosseno da parametrização que nós escolhemos. Então, vamos ver se conseguimos
encontrar um campo escalar cujo gradiente é igual a esta equação. Para que o gradiente do campo escalar seja igual ao nosso campo vetorial, teremos que a derivada parcial
de "F" em relação a "x" tem que ser igual a x² + y². Já a derivada parcial de "F"
em relação a "y" tem que ser igual a 2xy. Só lembrando que o gradiente
de qualquer função é simplesmente o parcial de "F"
em relação a "x" vezes o versor "i", mais o parcial de "F" em relação a "y"
vezes o versor "j". Por isso que nós estamos igualando
aqui os termos correspondentes. Agora nós podemos simplesmente
tirar as antiderivadas, ou integrais, destas duas parciais aqui, e ver se realmente o campo é conservativo. Então, teremos que
F(x, y) = x³/3 + x vezes y². E não podemos esquecer que poderíamos
ter alguma função de "y" aqui que desapareceu durante
a derivação de "F" em relação a "x". Agora, vamos achar a antiderivada
em relação a "y" e veremos se conseguimos achar um resultado que satisfaça
o nosso questionamento. Integrando esta equação da direita,
nós teremos que: F(x, y) será x vezes y², que é a integral de (x, y)
em relação a "y", mais uma possível função de "x" que também desapareceu aqui
durante a derivação. Agora, vamos ver se existe algum F(x, y)
que satisfaça estas duas integrais. Temos "x" vezes y² aqui,
e também "x" vezes y² aqui. Aqui na direita, novamente,
nós temos uma função de "x", que é este F(x) aqui. Já na esquerda, nós também temos
um termo puramente em função de "x". Aqui na esquerda temos também
uma função puramente expressa por "y", que pode estar lá mas
não necessariamente existe, mas que também não aparece
do lado direito, o que nos leva a dizer que
este g(y) aqui é igual a zero, ou seja, ele não existe. Então, F(x, y) = x³/3 + xy². E o gradiente desta função realmente
é igual ao campo vetorial "F". Mas vamos aqui fazer o gradiente
do "F" maiúsculo, que é igual a dF dx, que é (x² + y²) vezes "i", mais o dF dy, que é 2 vezes xy, vezes o versor "j". E a partir disso nós podemos concluir que esta integral de linha fechada que propusemos no início
do vídeo é igual a zero, já que se trata de um
campo vetorial conservativo. É isso para este vídeo, galera do Khan. Nós nos vemos aqui pela Khan Academy!