Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo

RKA2JV - Fala, galera do Khan! Neste vídeo, nós iremos aplicar um pouco das ferramentas conceituais que aprendemos durante esta série de vídeos. Digamos que nós queremos calcular a integral de linha fechada em uma curva C de (x² + y²)dx + 2xy dy. E a curva C será definida pela parametrização x = cosseno de "t" e y = seno de "t", sendo que "t" está entre zero e 2π. Então, essencialmente, este caminho C é um círculo no plano XY. Vamos ver se conseguimos utilizar algumas de nossas descobertas dos vídeos passados para simplificar este processo de integração. A primeira coisa que podemos nos questionar é sobre a função em si, já que não vemos, dentro desta integral, nenhum "dr" ou qualquer tipo de vetor. Então, vamos fazer aqui uma breve "investigação" para checar se isto é, de fato, uma integral vetorial de linha fechada. E, só para adiantar, o motivo de usarmos este exemplo é justamente mostrar uma outra maneira de escrever uma integral vetorial de linha fechada. Então, se nós possuímos um r(t) e esta é a nossa curva, que é igual a x(t) vezes o versor "i", mais y(t) vezes o versor "j", nós já vimos em diversos vídeos que podemos escrever a derivada de "r" em relação a "t" (dr/dt) como dx/dt vezes "i", mais dy/dt vezes o versor "j". E nós vimos várias vezes, também, que se quisermos obter diretamente aqui o diferencial dr, nós temos que enxergar este diferencial dt aqui como um número e multiplicar os dois lados da equação por dt para conseguirmos nos livrar dele. Então, teremos dr igual a dx vezes "i", mais dy vezes "j". Agora, nós podemos deixar esta proposição sobre o dr de lado e olhar um pouco para a função que nós temos que integrar. Se definirmos o nosso campo vetorial como sendo F(x, y), que é igual a (x² + y²) vezes o vetor unitário "i", mais 2xy vezes "j", como ficaria o nosso "F" vezes dr? Lembrando que esta multiplicação aqui é um produto escalar. Então, "F" produto escalar dr ficaria: (x² + y²)dx + 2xy dy. E note, agora, que este produto escalar que fizemos é exatamente igual ao que temos dentro da integral do exercício proposto no começo do vídeo. Então, o que estamos calculando aqui é, nada mais nada menos, do que a integral vetorial de linha fechada do produto escalar de "F" pelo diferencial dr. A partir de agora, quando nós virmos uma integral desta, nós imediatamente saberemos que se trata de um campo vetorial onde esta é a sua componente "x" e esta é a sua componente "y". E as duas foram multiplicadas escalarmente por dr. Agora, nós podemos nos perguntar se "F" é realmente um campo vetorial conservativo. E, para isso, nós perguntamos se nosso campo vetorial é igual ao gradiente de um campo escalar, digamos aqui, "F". E aqui nós vemos se podemos encontrar um campo escalar cujo gradiente é realmente o nosso campo vetorial "F". Desta forma, saberemos que "F" é realmente um campo conservativo e, se ele realmente for, nós saberemos que qualquer integral de linha fechada deste campo vetorial será igual a zero. Ou seja, se demonstrarmos que esta proposição aqui da direita é verdadeira, nós mostraremos também que esta integral de linha fechada é igual a zero. E aí acabamos o exercício, não teremos que mexer nem com o seno, nem com o cosseno da parametrização que nós escolhemos. Então, vamos ver se conseguimos encontrar um campo escalar cujo gradiente é igual a esta equação. Para que o gradiente do campo escalar seja igual ao nosso campo vetorial, teremos que a derivada parcial de "F" em relação a "x" tem que ser igual a x² + y². Já a derivada parcial de "F" em relação a "y" tem que ser igual a 2xy. Só lembrando que o gradiente de qualquer função é simplesmente o parcial de "F" em relação a "x" vezes o versor "i", mais o parcial de "F" em relação a "y" vezes o versor "j". Por isso que nós estamos igualando aqui os termos correspondentes. Agora nós podemos simplesmente tirar as antiderivadas, ou integrais, destas duas parciais aqui, e ver se realmente o campo é conservativo. Então, teremos que F(x, y) = x³/3 + x vezes y². E não podemos esquecer que poderíamos ter alguma função de "y" aqui que desapareceu durante a derivação de "F" em relação a "x". Agora, vamos achar a antiderivada em relação a "y" e veremos se conseguimos achar um resultado que satisfaça o nosso questionamento. Integrando esta equação da direita, nós teremos que: F(x, y) será x vezes y², que é a integral de (x, y) em relação a "y", mais uma possível função de "x" que também desapareceu aqui durante a derivação. Agora, vamos ver se existe algum F(x, y) que satisfaça estas duas integrais. Temos "x" vezes y² aqui, e também "x" vezes y² aqui. Aqui na direita, novamente, nós temos uma função de "x", que é este F(x) aqui. Já na esquerda, nós também temos um termo puramente em função de "x". Aqui na esquerda temos também uma função puramente expressa por "y", que pode estar lá mas não necessariamente existe, mas que também não aparece do lado direito, o que nos leva a dizer que este g(y) aqui é igual a zero, ou seja, ele não existe. Então, F(x, y) = x³/3 + xy². E o gradiente desta função realmente é igual ao campo vetorial "F". Mas vamos aqui fazer o gradiente do "F" maiúsculo, que é igual a dF dx, que é (x² + y²) vezes "i", mais o dF dy, que é 2 vezes xy, vezes o versor "j". E a partir disso nós podemos concluir que esta integral de linha fechada que propusemos no início do vídeo é igual a zero, já que se trata de um campo vetorial conservativo. É isso para este vídeo, galera do Khan. Nós nos vemos aqui pela Khan Academy!