Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo

e fala galera do clã Então nesse vídeo nós iremos aplicar um pouco das Ferramentas conceituais que aprendemos durante esta série de vídeos então Digamos que nós queremos calcular a integral de linha fechada em uma curva CD x quadrado mais y ao quadrado de x mais duas vezes x y Deivison e a nossa curva será definida pela parametrização x = cosseno de ter e y = seno de ter sendo que ter está entre 0 e 2 então essencialmente este caminho se é um círculo no plano XY vamos ver se conseguimos utilizar algumas de nossas descobertas dos vídeos passados para simplificar este processo de integração aqui a primeira coisa que podemos nos questionar é sobre a função esse já que não vemos dentro dessa integral nenhum Dr ou qualquer tipo de Vetor Então vamos fazer aqui uma breve digamos investigação para checar se isso aqui é de é o Integral vetorial de linha fechada e só para adiantar o motivo de usar um xizinho aqui é justamente mostrar uma outra maneira de escrever uma integral vetorial de linha fechado então se nós possuímos um rdt e essa aqui é a nossa curva que é igual a x de ter vezes o versor e mais ydt vezes o versor J nós já vimos em diversos vídeos que podemos escrever a derivada Dr em relação a t então o Dr de te como DX DT vezes e mais de ydt vezes o versor j e nós vimos várias vezes também que se quisermos obter diretamente aqui o diferencial Dr nós temos que enxergar esse diferencial de ter aqui como um número e multiplicar os dois lados da equação por de te Para conseguirmos nos livrar dele então teremos Dr que é igual a DX mais de y x j e agora nós podemos deixar essa proposição aqui sobre E aí de lado e olhar um pouco para função que nós temos que integrar Então se definirmos o nosso campo vetorial como sendo f de x e y que é igual a x ao quadrado mais y ao quadrado vezes o vetor unitário e + 2xy XJ como que ficaria o nosso F vezes Dr Lembrando que esse vezes aqui é um produto escalar então efe produto escalar Dr ficaria x quadrado mais y ao quadrado de x mais duas vezes x e y y e note agora que este produto escalar que fizemos é exatamente igual ao que temos dentro da integral do exercício proposto no começo do vídeo Então o que estamos calculando aqui é nada mais nada menos do que a integral vetorial de linha fechada do produto escalar DF pelo diferencial Dr a partir de agora quando nos vermos o Integral desta nós imediatamente saberemos que se trata de um campo vetorial Onde esta aqui é a sua componente x e s Qual é a sua componente y e as duas foram multiplicados e escalar mente por Dr agora nós podemos nos perguntar se f é realmente um campo vetorial conservativo E para isso nós perguntamos se nosso campo vetorial é igual ao gradiente de um campo escalar digamos aqui F maiúsculo e aqui nós vemos se podemos encontrar um campo escalar cujo Gradiente é realmente o nosso campo vetorial F desta forma saberemos que F é realmente um campo conservativo e se ele realmente for nós sabemos que qualquer integral de linha fechada deste Campo vetorial será igual a zero ou seja se demonstrarmos que essa proposição aqui da direita é verdadeira Nós mostraremos também que esta integral de linha fechada é igual a zero e Aí acabamos um exercício Não teremos que mexer nem como sendo nem com o cosseno aqui da parametrização que nós escolher Então vamos ver se conseguimos encontrar um campo escalar cujo Gradiente é igual a esta equação aqui então para que o gradiente do a falar seja igual ao nosso campo vetorial teremos que a derivada parcial de F maiúsculo em relação a x tem que ser igual a x ao quadrado mais y ao quadrado já a derivada parcial de F maiúsculo em relação à Y tem que ser igual a 2x Y só lembrando que o gradiente de qualquer função é simplesmente o parcial de f em relação a x vezes o versor e mais o parcial de f em relação à Y vezes o versor J por isso que nós estamos igualando aqui os termos correspondentes agora nós podemos simplesmente tirar as antes derivadas ou integrais destas duas parciais aqui e ver esse realmente o campo é conservativo então teremos que f de x y = x Ao Cubo / 3 + x y quadrado e não podemos esquecer que poderíamos ter alguma função de y aqui que desapareceu durante a derivação de f em relação AX agora vamos achar antes derivada em relação aí e Veremos se conseguimos achar um resultado que satisfaz aqui o nosso questionamento então aqui integrando essa equação da direita nós temos que f de x e y será x e y ao quadrado que a integral de X Y em relação a y mas o a possível função de x que também desapareceu aqui durante a derivação agora vamos ver se existe algum f de x e y que satisfaz essas duas integrais aqui então temos x e y ao quadrado aqui e também x e y ao quadrado aqui aqui na direita novamente nós temos uma função de x que é este fdx aqui já na esquerda Nós também temos um termo puramente em função de X aqui na esquerda temos também uma função puramente expressa por y que pode estar lá mas não necessariamente existe mas que também não aparece do lado direito o que nos leva a dizer que este gdy aqui é igual a zero ou seja ele não existe então é fisão F maiúsculo de X Y = Esse é o cubo / 3 + x e y ao quadrado e o gradiente desta função realmente é igual ao campo vetorial F Mas vamos aqui fazer o gradiente do F maiúsculo que é igual a de f de x que é x quadrado mais y ao quadrado vezes mais o DF de y que é duas vezes x y x conversor j e a partir disso nós podemos concluir que esta integral de linha fechada aqui que produzimos no início do vídeo é igual a zero já que se trata de um campo vetorial conservativo Então é isso para esse vídeo galera do clã e nós nos vemos aqui pela Khan Academy