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Transcrição de vídeo

Quero tentar ver o que acontece com uma integral de linha sobre um campo escalar ou um campo vetorial, quando mudamos a direção do nosso caminho? Quando eu digo mudança de direção, digamos que eu tenha uma curva C que tenha essa cara. Desenhamos os eixos x e y. Esses são meus eixos y e x, e minha parametrização começa aqui, e, à medida que t cresce, termina aqui em cima desse jeito. Então, está se movendo nessa direção. Para inverter o sentido, podemos definir outra curva. Vamos chamá-la de menos C, e terá mais ou menos essa aparência. Esses são meus eixos y e x. E parece a mesma coisa, mas começa aqui e, à medida que t cresce, vai descendo para o ponto inicial da outra curva. Ela terá o mesmo formato de curva, mas seguindo a direção contrária. Aqui tentaremos entender a construção de uma parametrização como essa e entendê-la bem. E, nos próximos dois vídeos tentaremos entender o real significado da integral de linha. Um vídeo para um campo escalar e um vídeo para o campo vetorial Nesta parametrização usaremos as definições básicas que usamos anteriormente. Tomaremos x como x de t, y como y de t E para t, teremos t começa em a, portanto t é maior ou igual a a, e termina em b. Neste caso, então, teremos, para t igual a a, e o ponto terá coordenadas x de a, y de a. Para t igual a b, teremos o mesmo processo de parametrização, então, para t igual a b, teremos o ponto x de b, y de b. Nada novo aqui. Dadas as funções, como podemos definir outra parametrização que tenha o mesmo formato, mas se inicie nesta posição? Teremos então, t igual a a. Inicio em t igual a a, e conforme t aumenta, quero que este seja t igual a b. Desejo então me mover no sentido contrário. Teremos então, para t igual a a, coordenadas x de b, y de b E para t igual b as coordenadas serão x de a, y de a. Correto? Reparem que estão trocadas agora. Aqui temos t igual a a, x de a y de a; terminando em t igual a b. Agora estou no ponto de coordenadas x de a, y de a. Como fazer essa construção? Pensando bem, para t igual a a, queremos que ambas as funções assumam o valor em b. Se definirmos então nosso x, para a curva menos C como sendo uma função de a mais b menos t. O que acontece? Usando o mesmo padrão em y, teremos y de a mais b menos t. O que acontece se usarmos essas definições? Para t igual a a, lembrando que nossa parametrização vai de a para b, vamos testar para conferir se a parametrização funciona, gerando a mesma curva, em sentidos opostos. Para t igual a a, x valerá a mais b menos a, certo? E para t igual a Bem, a menos a cancelam e temos x de b. Do mesmo modo, quando t vale a y será y de a mais b menos a, com o cancelamento, fica y de b. Funcionou. Quando t vale a, a parametrização gera a coordenada x de b, y de b, ou seja, para t igual a a, x de b, y de b. Adotaremos o mesmo procedimento para t igual a b. Ainda estou lidando com essa parametrização aqui. Para t igual a b, qual será a função de x? Bem, x será x de a mais b menos b, certo? a mais b menos b, para t igual a b. Teremos então x de a. E, para t igual a b, y será igual a y de a mais b menos b, resultando em y de a. A parametrização funciona nas extremidades e, pensando intuitivamente iniciamos em t igual a a, com x de b, y de b E com o aumento de t, esse valor decresce. Iniciamos em x de b, y de b e com o aumento de t esse valor decresce até a. Inicia em b, termina em a. Obviamente inicia em a e termina em b. Então esperamos que seja intuitivo perceber que a curva é a mesma, mas o sentido de deslocamento é o oposto. Com isso resolvido, então temos parametrizações para sentidos opostos. Não devemos dizer que são as mesmas parametrizações, e sim a mesma curva, o mesmo caminho em sentidos opostos. No próximo vídeo, veremos o que acontece ao analisarmos uma integral de linha, f de x dx, versus esta integral de linha. Aqui temos um campo escalar, uma integral de linha de um campo escalar, usando esse caminho, mas, o que acontece ao tomarmos a integral de linha de um mesmo campo escalar, mas no sentido contrário? Veremos no próximo vídeo. E na sequência, campos vetoriais. Traduzido por: [Tatiana F. D'Addio] [Revisado por: Thales Azevedo]