Parametrização de um caminho inverso

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Nos últimos vídeos, vimos o que aconteceu com uma integral de linha sobre um campo escalar ou sobre um campo vetorial. Mas o que acontece com a integral de linha quando nós mudamos o sentido do nosso caminho? Bem, para compreender essa ideia de quando eu digo mudamos o sentido, vamos imaginar que eu tenho uma curva "C" aqui. Para isso, nós desenhamos o eixo "x" e o eixo "y". Este é o meu eixo "y" e este é o meu eixo "x". Feito isso, vamos dizer que a minha parametrização começa aqui. E à medida que o "t" aumenta, o nosso caminho vem para cima, desta maneira. Então, ele está se movendo neste sentido. E quando eu digo que eu inverto o sentido do caminho, nós poderíamos definir outra curva. Vamos chamar de "-c" que é, mais ou menos, assim. Este é o meu eixo "y" e este é o meu eixo "x". Temos exatamente a mesma coisa, mas começa aqui. E à medida que "t" aumenta, ele vai para o ponto inicial da curva. Exatamente o mesmo formato da curva, mas ele segue no sentido oposto. O que eu estou fazendo neste vídeo é entender como nós podemos construir uma parametrização como essa e compreender bem o que estamos fazendo. Inclusive, nos próximos vídeos, vamos tentar ver o que isto realmente causa para integral de linha, tanto em um campo escalar quanto em um campo vetorial. Sabendo disso, vamos definir esta parametrização aqui na forma a básica que nós já definimos antes. Sendo assim, vamos dizer que "x" seja igual ao x(t) e que "y" seja igual a y(t). E vamos dizer que "t" começa em "a" e termina em "b". Então, "t" é maior ou igual a "a" e menor ou igual a "b". Com isso, neste exemplo aqui, quando "t = a", teremos este ponto que se encontra nas coordenadas (x(a), y(a)). E quando "t = b", estaremos aqui em cima, no ponto (x(b), y(b)). E isto foi apenas uma revisão de parametrização. Então, não tem nada de novo aqui. Agora, dadas estas funções, nós podemos construir outra parametrização aqui que possui o mesmo molde, mas isso começa aqui. Eu quero que "t" seja igual "a". E à medida que "t" aumenta, eu quero que "t" seja igual a "b". Eu quero me mover no sentido oposto. Quando "t = a", eu quero que a minha coordenada seja (x(b), y(b)). Quando "t = b", eu quero um "b" em cada uma dessas funções. Sendo assim, quando o "t" for igual a "b", eu quero que a coordenada seja (x(a), y(a)). Correto? Perceba, eles são opostos agora. Aqui, "t = a", (x(a), y(a)). E aqui temos o nosso ponto final, ou seja, "t = b". Aqui eu estou nesta coordenada, eu tenho (x(a), y(a)). Como eu faço para construí-la? Bem, se você pensar sobre isso, quando "t = a", nós queremos ambas as funções para calculá-las em "b". Então, se nós definirmos o nosso "x", neste caso, para a nossa curva "-c", a gente pode colocar aqui que "x" é igual a "x" de, quando eu digo "x de", eu estou falando sobre a mesma função, então "x" de, ao invés de colocar o "t", eu vou colocar "a + b - t". Eu vou fazer isso para o "y" também. Então, y = y(a + b - t). Vamos dizer aqui também que "t" começa em "a" e vai até "b". Ou seja, "t" é maior ou igual "a" e menor ou igual a "b". Enfim, o que acontece quando definimos isso? Bem, vamos testar e confirmar que essa parametrização realmente é a mesma coisa que essa outra aqui, só que em um sentido oposto, ou pelo menos que a gente consiga confirmar isso de forma intuitiva em nossa mente. Sendo assim, quando "t = a", "x" será igual a x(a + b - a), correto? E isso é igual a quê? Bem, o "a" é cancelado com o "-a". Então, isto aqui fica igual a x(b). Da mesma forma, quando "t = a", "y" será igual a y(a + b - a). Os "a" se cancelam. E aí, ficamos apenas com isso sendo igual a y(b). Então, funcionou! Quando "t = a", a minha parametrização fica definida pelas coordenadas (x(b), y(b)). Daí podemos fazer exatamente a mesma coisa quando "t = b". Eu vou fazer isso aqui, porque eu não quero apagar o que eu fiz até agora. Eu ainda estou trabalhando com esta parametrização aqui, ok? Quando "t" for igual a "b", o "x" vai ser igual a quê? x = x(a + b - b). Como os "b" vão se cancelar, isto aqui vai ser igual a x(a). Da mesma forma, y = y(a + b - b). E, claro, isso será igual a y(a). Se você pensar sobre isso intuitivamente, inicialmente a gente tem "t" em "a", certo? E aí, isso vai ser (x(b), y(b)). Nós vimos isto aqui, à medida que "t" aumenta, este valor vai diminuir. Ele vai diminuindo até chegar a "a". Ele começa em "b" e vai para "a". Isto aqui, obviamente, começa em "a" e vai para "b", certo? Enfim, eu espero que isso te dê uma intuição de que temos exatamente a mesma curva, só que no sentido oposto. Agora, com isto aqui fora do caminho, se você aceitar o que eu falei, que temos aqui a mesma curva, mas indo apenas em sentidos opostos, nós podemos conversar sobre as integrais de linha. Inclusive, no próximo vídeo, eu vou te mostrar o que acontece quando nós resolvemos esta integral de linha f(x, y) ds, contra esta outra integral de linha. Então, este aqui é o campo escalar, uma integral de linha de um campo escalar, usando essa curva ou este caminho. Mas o que acontece se nós pegarmos a integral de linha sobre o mesmo campo escalar, mas se a gente fizer isso no caminho inverso? Bem, isto é o que vamos fazer no próximo vídeo. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!