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Transcrição de vídeo

. O que eu quero fazer neste vídeo é estabelecer uma condição razoavelmente poderosa na qual nós podemos afirmar que em um campo vetorial... ou que a integral em linha de um campo vetorial é independente do caminho. E quando eu falo isso, eu digo, vamos dizer que eu peguei esta integral de linha ao longo do caminho c de f ponto dr e digamos que meu caminho se pareça com isso... . Estes são os meus eixos x e y e digamos que meu caminho se pareça com algo como isso... eu inicio aqui e caminho até o ponto c. Meu ponto final... a curva aqui é c. E eu agora quero calcular esta integral de linha, este campo vetorial ao longo deste caminho. Isso tem que ser um caminho independente do campo vetorial, ou nós chamaríamos isso um campo vetorial CONSERVATIVO, se esta coisa for igual à mesma integral sobre um caminho diferente, isso terá que ter o mesmo ponto final. Então digamos que este c1, então, isso é c1... e isso é c2... Este campo vetorial é conservativo se eu iniciar no mesmo ponto mas se eu pegar um caminho diferente. E digamos que eu fiz algo como isso: se eu peguei um caminho diferente... e isso é o meu c2... eu ainda terei o mesmo valor. O que isso está me dizendo e que tudo isso tem a ver com resolver estas integrais no meu ponto inicial e no meu ponto final. Não importa o que eu faça no meio! Não importa como eu cheguei do meu ponto inicial até meu ponto final! Estas duas integras têm o mesmo ponto de início e o mesmo ponto final, então independente do caminho tomado, elas irão ser a mesma! É isso que significa f ser um campo conservativo, ou o que significa esta integral ser independente do caminho. Então antes de eu provar ou mostrar a você as condições, vamos antes elaborar melhor nossas ferramentas... E então você pode ou não ter visto a Regra da Cadeia para múltiplas variáveis... . E eu não irei prová-la neste vídeo, mas eu penso que isso será bastante intuitivo para você. Então talvez não seja necessária a prova, ou eu a irei provar eventualmente, mas eu realmente quero lhe passar a intuição. E tudo o que isso diz é que se eu tenho alguma função... digamos que eu tenha um f de x e y, mas daí x e y são funções de, digamos uma terceira variável t, então f de x de t e y de y... que a derivada de f em relação a t é multivariável. Eu tenho duas variáveis aqui, x e y. Isso irá ser igual à [derivada] parcial de f com respeito a x. O quão rápido f muda conforme x mudar vezes a derivada de x com relação a t... isso é uma função de única variável bem aqui... então aqui você tem uma derivada regular... Então vezes quão rápido x muda em relação a t. Isso é uma variável padrão, isso é uma derivada parcial, porquê neste nível nós estamos lidando com duas variáveis. E nós ainda não terminamos... mais quão rápido f muda em relação a y... y vezes a variável y em relação a t. Então dy dt... E eu não estou lhe provando isso, mais eu penso que isso lhe dá uma boa intuição. Isso está dizendo, conforme eu mudo um pouco dt, quanto quanto de df eu obtenho? O quão rápido este f muda em relação a t? Isso diz, bem, há duas formas que f pode mudar: ela pode mudar em relação a x e ela pode mudar em relação a y. Então porquê não somar estas duas coisas, já que ambas estão variando em relação a t? Isso é tudo o que isto diz, e se eu tipo imaginar que você pode cancelar esta parcial x com este dx, e esta parcial y com este dy, você poderia tipo imaginar a parcial de f em relação a t no lado x das coisas, e então mais a parcial de f em relação a t na dimensão y. E então isso nos daria a mudança total de f em relação a t! Tipo apenas como uma sinalização, mas pelo menos para mim esta é uma fórmula bem intuitiva. Então esta é a nossa caixa de ferramentas bem aqui... a Regra de Cadeia com múltiplas variáveis. E eu colocarei isso à parte por um instante. Agora digamos que eu tenha um campo vetorial f... e isso é diferente deste f, então eu o farei em uma cor diferente... magenta... eu tenho um campo vetorial f que é uma função de x e de y. Então vejamos o que será o gradiente de um campo escalar... . Eu darei a isso este F maiúsculo. E isso é o gradiente que significa que este F maiúsculo é também função de x e de y... então eu não quero escrever isso numa nova linha, eu apenas escreverei aqui... o F maiúsculo também é uma função de x e de y... e o gradiente... e tudo o que isso significa é que este é o campo vetorial de xy... f minúsculo de xy, é igual à derivada parcial do F maiúsculo em relação a x vezes a componente vetorial i mais a [derivada] parcial do F maiúsculo em relação a y vezes a componente vetorial j. Esta á a definição do gradiente, bem aqui... E se você imaginar que este F maiúscilo é algum tipo de superfície... então isso é F maiúsculo de xy... o gradiente F de xy irá ser o campo vetorial que lhe diz a direção da descenção mais inclinada em qualquer ponto! Então ele será definido no plano xy. E então no plano xy eu lhe direi... deixe-me desenhar... que este eixo vertical, talvez este eixo x, este é o eixo y! E então o gradiente dele... se você pegar qualquer ponto no plano xy, eu lhe direi a direção que você terá que viajar para ir pela descida mais inclinada! E para este campo de gradientes isto irá ser algo como isso... . E talvez bem aqui isso comece a ir nesta direção porquê você irá querer descer até este pequeno ponto de mínimo bem aqui. De qualquer maneira, não quero você envolvido demais... E nosso objetivo aqui não realmente que você tenha a intuição em gradientes; existem outros vídeos sobre isso. O foco aqui é aplicar um teste para saber se algo é independente do caminho; sendo o vetor independente do caminho, isto será conservativo. E disso resulta que se isso existe... e eu irei provar isso agora... se f é o gradiente de algum campo escalar, então f é conservativo. . Ou você poderia dizer que não importa qual caminho nós seguimos quando nós fazemos uma integral de linha sobre f... isso diz respeito apenas ao nosso ponto de início e ponto de fim. E agora deixe-me ver se eu posso provar isso para você. Então vamos começar com a assertiva de que f pode ser escrita desta maneira, como o gradiente, este f minúsculo pode ser escrito como o gradiente de algum F maiúsculo. Então neste caso nossa integral... bem, primeiro vamos definir nosso caminho... Então nossa função de posição vetorial... nós sempre precisamos de uma dessas para fazer uma integral em linha ou um vetor de integral de linha... r de t irá ser igual a x de t vezes i mais y de t vezes j 4t indo de a a b... Você já viu isso por muitas vezes... isto é a definicão básica de muitos caminhos em duas dimensões. E nós iremos dizer f de xy irá ser igual a isso... isso irá ser a derivada parcial de F maiúsculo em relação a x... então nós estamos assumindo que isso existe... que isso é verdadeiro... vezes i mais a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a y vezes j. Agora, dado isso, o quê este f minúsculo ponto dr irá ser igual, neste caminho bem aqui? Este caminho é definido por esta função de posição bem aqui. Bem, isso irá ser igual a... nós precisamos calcular o qué é dr... e nós já fizemos isso em diversos vídeos. Eu irei fazer isso bem aqui... dr... nós vimos isso muitas vezes... E agora eu irei resolver isto de novo. dr sobre dt por definição foi igual a dx sobre dt vezes i mais... eu não sei porquê isso ficou tão gordo... dy sobre dt vezes j. Isso é o que dá dr sobre dt. Então se nós queremos calcular o que é dr, a [equação] diferencial de dr, se nós queremos brincar com diferenciais desta maneira... multiplicamos em amos os lados por dt. E agora eu irei tratar de dt, eu irei multiplicá-lo, eu irei distribuí-lo... Isso é dx sobre dt vezes dti mais dy sobre dt vezes dtj... Então se estamos fazendo o produto escalar de f por dr, o que isso irá resultar? . Então isso irá ser a integral sobre a curva de... Eu irei escrever o c bem aqui... nós podemos escrever em termos de pontos finais como t, uma vez que nos sentimos bem quanto temos tudo em termos de t... mas isso ira ser igual a este ponto que... por sua vez irá resultar em... eu tentarei manter cores consistentes... a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a x vezes isso, vezes dx sobre dt... eu irei escrever este dt em uma cor diferente... vezes dt mais a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a y vezes... nós estamos multiplicando os componentes j, correto? Quando nós fazemos o produto escalar, multiplicamos os componentes i, então os somamos com o que nós tivemos do produto dos componentes j... j... então estes componentes j da [derivada] parcial de F maiúsclo em relação a y, e então nós temos vezes... trocar para o amarelo... dy sobre dt vezes este dt bem aqui... E então nós podemos fatoriar o dt... . Ou de fato, então você não precisa escrever tudo isso de novo, agora. Eu escrevi isto sem... bem, deixe-me reescrever isso... Então isto é igual à integral. E digamos que nós temos isso em termos de t... nós escrevemos tudo em termos de t, então t vai de a a b e isso irá ser igual a... eu irei fazer isso em azul... à [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a x vezes dx sobre dt mais... Eu estou distribuindo este dt... mais a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a y. dy sobre dt. Todas estas vezes dt. Isso é equivalente àquilo. Agora você irá entender porquê eu falei sobre a Regra da Cadeira com múltiplas variáveis. O que é isso bem aqui? E o que é isso? Você pode observar o padrão... Isso é a mesma coisa que a derivada de F maiúsculo em relação a t. Olhe para isso... deixe-me... deixe-me copiar e colar isso apenas para que você possa apreciar... . Então isso é a nossa definição, ou esta é a nossa... eu não direi definição... qualquer um de fato pode provar isso. Você não precisa começar por aqui... mas isso é a nossa Regra da Cadeia com múltiplas variáveis, bem aqui. E condução de qualquer função em relação a t é a [derivada] parcial desta função em relação a x vezes dx sobre dt mais a [derivada] parcial desta função em relação a dy sobre dt. Eu tenho a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a x vezes dx sobre dt mais a [derivada] parcial de F maiúsculo em relação a y. Isto e isto são idênticos, se você apenas trocar este f minúsculo por um F maiúsculo. Então isso em azul bem aqui, toda esta expressão é igual à integral de t igual a de t igual a b de... em azul aqui... à derivada de f em relação a tdt. E como eu resolvo... deixe-me desenhar dt em verde... como você pode resolver algo assim? E apenas gostaria de lhe dar o caminho: isso é apenas isso da Regra da Cadeira com múltiplas variáveis. E agora como você resolve uma integral definida como esta? Bem, você faz integração da parte interna em relação a dt. E o quê isso resulta? Você integra a parte de dentro, isso é apenas f... Então isso é igual a f de t... E deixe-me ser claro... Nós escrevemos anteriormente este f como sendo uma função. Então nosso F maiúsculo é uma função de x e y, o que também pode ser escrito, uma vez que cada um deles são funções de t, pode ser escrito como f de x de t de y de t... Eu estou apenas reescrevendo isso de uma maneira diferente. E isso pode ser escrito apenas como f de t... Estes todos são equivalentes, dependendo do que você quer incluir apenas os xs ou os ys, ou apenas os ts... ou ambos... Porquê ambos xs e ys são funções de t! Então esta é a derivada de f em relação a t... Se isso ocorre apenas em termos de t, esta é a derivada disso em relação a t! Nós integramos e nós resultamos em apenas f, e nós temos que resolver isso de t igual a até t igual a b. Então isso é igual a... e isso é a tarefa de casa... isso é igual a f de b menos f de a. E se você quer pensar sobre isso nestes termos, isso é a mesma coisa. Isso é igual a f de x de b sobre y de b... vamos nos certificar de que eu fiz todos os parênteses... menos f de x de a sobre y de a... Estes são equivalentes. Você me deixa em algum ponto do plano xy, um x e um y e isso me diz onde eu estou! Isso é meu F maiúsculo, ele me dá uma altura. Como aqui... Isso associa um valor a qualquer ponto do plano xy! Mas este exercício todo, lembre-se de que isso é a mesma coisa que aquilo. Isso é toda a coisa que nós estivemos tentando provar: isso é igual a f ponto dr... f ponto dr... nosso campo vetorial, que é o gradiente do F maiúsculo... lembre-se de que F era igual ao gradiente de F, nós assumimos que isso é o gradiente de alguma função F maiúsculo... se este é o caso, então nós apenas fizemos um pouco de cálculo, ou álgebra, seja lá como você quiser chamar isso... e nós descobrimos que nós podemos resolver esta integral resolvendo este F maiúsculo como sendo igual a b e então subtraindo este F maiúsculo como sendo igual a a! Mas o que isso nos diz é que esta integral, o valor desta integral, é dependente apenas do nosso ponto de início... t é igual a a, este é o ponto x de a, y de a e o ponto final, t é igual a b, que é x de b, y de b. Aquela integral é dependente apenas destes dois valores. Como eu sei disso? Porquê para resolver isso... porquê eu estou dizendo que esta coisa existe... eu apenas tive que resolver esta coisa nestes dois pontos... eu não tive que me preocupar com a curva entre eles... Então isso me mostra que este F é igual ao gradiente... isso é usualmente chamado de função potencial de F maiúsculo, embora elas sejam usualmente o oposto uma da outra... mas é a mesma ideia... se o campo vetorial f é o gradiente de algum escalar ou de um campo F maiúsculo, então nós podemos dizer que f é conservativo ou que a integral de linha de f ponto dr é independente do caminho. Não importa qual caminho nós tomamos, desde que nóssos pontos de início e de fim sejam os mesmos. Na esperança que você ache isso útil... E nós faremos alguns exercícios com isso. E no próximo vídeo eu irei provar outra coisa interessante baseada nesta aqui.