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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Independência do caminho para integrais de linha
Mostrando que se um campo vetorial é o gradiente de um campo escalar, então sua integral de linha é independente do caminho. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, vamos mostrar a independência
do caminho percorrido para integrais de linha. Basicamente, se eu tenho a integral de linha
ao longo do caminho c de F vezes dr, graficamente, o que significa é
que se eu colocar aqui o meu plano de coordenadas,
a curva tem um início e um fim. Esse caminho percorrido
é o caminho c, e o que eu quero calcular é a integral de linha
desse campo vetorial ao longo dessa curva. E quando eu falo que essa integral independe
do caminho percorrido, o que eu quero dizer? Significa que se eu pegar a mesma integral de F
vezes dr, ao longo de outro caminho, o resultado vai
ser o mesmo, ou seja, eu posso chamar esse caminho aqui de c1,
e colocar aqui na curva também, e o outro de c2. Então, se eu começar no mesmo ponto,
mas percorrer um caminho diferente, que eu posso chamar de c2, o valor da
integral de linha será o mesmo. Isso é o que chamamos
de campo vetorial conservativo, ou seja, o trabalho realizado para mover uma partícula
no espaço depende dos pontos final e inicial. O que eu estou querendo dizer é que não importa
o caminho que eu vou percorrer, o que é importante é o
ponto inicial e o ponto final. Isso significa dizer que a integral de linha
independe do caminho percorrido. Antes de provarmos isso, eu vou mostrar algumas
peças que vão ser necessárias nesse processo. A primeira delas é a regra da cadeia
para múltiplas variáveis, e, claro, eu não vou
prová-la neste vídeo, mas eu vou tentar deixar
bastante intuitivo para você. Para isso, vamos dizer que nós temos aqui
uma função de “x” e “y”, mas que a variável “x” e a variável “y”
dependam de uma terceira variável, “t”. Então, uma função
f(x(t), y(t)). E qual é a derivada de
“f” em relação a “t”? Eu tenho as variáveis “x”
e “y” aqui, correto? Então, essa derivada vai ser igual à derivada
de “f” em relação a “x”, vezes a derivada de “x”
em relação a “t”, e se somarmos isso com a derivada de “f”
em relação a “y”, vezes a derivada de “y”
em relação a “t”. Se você tivesse outras variáveis aqui,
o pensamento seria o mesmo. Nós derivamos a função
em relação a essa variável e, depois, derivamos a variável
em relação à outra. E, sempre,
você vai somando. Ou seja, conforme eu tenho
uma pequena variação de “t”, quanto de variação
a função vai sofrer? Há duas maneiras de
essa função F mudar. Ela pode mudar em relação a “x”
e em relação a “y”, e, aí, eu somo essas duas variações, já que ambas
estão variando em relação a “t”. E note que eu posso cancelar
essa parcial em relação a “x” com essa aqui e essa parcial
em relação a “y” com essa. E se eu somar isso, eu vou ter o total
de variação de “f” em relação a “t”. Agora, dê uma segurada
nessa regra da cadeia e imagine que você tenha
uma função vetorial f(x,y). O gradiente dessa função,
que eu posso representar assim, vai ser igual à derivada parcial
de “f” em relação a “x” no ponto (x,y),
na direção “i”, mais a derivada parcial de “f” em relação a “y”
no ponto (x,y), na direção “j”. Intuitivamente, se nós temos aqui
uma superfície f(x,y), o gradiente dessa função vai ser o campo vetorial
que aponta para a descida mais inclinada. Isso significa que se você pegar
qualquer ponto aqui no plano (x,y), esse gradiente vai dar a direção
em que você precisa viajar para ir para a
descida mais inclinada. Ou seja, a função tem um ponto mínimo por aqui
e esse gradiente mostra esse caminho. Enfim, eu não vou
entrar tanto nesse detalhe, porque nós temos outros vídeos aqui
na Khan Academy a respeito desse assunto. O foco aqui é provar
essa independência de caminhos. O que eu quero provar é que se f(x, y)
é o gradiente de algum campo escalar, então, f(x, y) é
conservativo. Isso é o mesmo que dizer que essas integrais
de linha não dependem do caminho percorrido. Nós dependemos apenas do ponto inicial
e do ponto final. Primeiro, lembre-se de que a função posição,
que eu posso escrever como r(t) é igual a x(t)
na direção “i”, mais y(t) na direção “j”,
e esse “t” varia entre a e b. Aplicando a definição
de gradiente, nós sabemos que f(x,y) é igual
à derivada parcial de f(x,y) em relação a “x”
na direção “i”. E, em vez de colocar
toda hora esse (x,y), eu posso simplesmente chamar
isso aqui de “efezão” (F). E, aí, eu vou ficar com
a derivada parcial de “efezão” em relação a “x”
na direção “i”, mais a derivada parcial de “efezão”
em relação a “y” na direção “j”. E qual é a integral de “F” vezes dr
ao longo do caminho c? Ou seja, ao longo deste caminho, que eu posso
até colocar como o caminho c também. Nós sabemos que a derivada de “r”
em relação a “t” é igual a derivada de “x” em relação a “t”
na direção “i”, mais a derivada de “y” em relação a “t”
na direção “j”. Então, para achar o dr, nós podemos multiplicar
ambos os membros dessa igualdade por dt, e, aí, vamos ficar com dr
igual a dx, sobre dt, que multiplica dt na direção “i”,
mais dy sobre dt, vezes dt na direção “j”. E se eu substituir esse dr aqui,
vamos ficar com o quê? Isso vai ser igual à integral de um caminho c,
que pode ser até mesmo esse intervalo aqui da integral de “f” em relação a “x”,
vezes a derivada de “x” em relação a “t”, vezes dt. E somamos isso com a
derivada de “F” em relação a “y”, vezes a derivada de “y” em relação a “t”, vezes dt,
e, claro, eu não preciso colocar “i” e “j” aqui, porque o “x” já está mostrando
que está na direção “i” e o “y” está mostrando
que está na direção “j”. E o que podemos fazer aqui? Simples.
Colocar esse dt em evidência. Então, a integral de a até b, da
derivada parcial de “F” em relação a “x”, vezes a derivada de
“x” em relação a “t”, mais a derivada de “F” em relação a “y”,
vezes a derivada de “y” em relação a “t”, tudo isso está sendo multiplicado pelo dt.
Ou seja, isso aqui é equivalente a isso. E, agora, você vai entender por que
eu falei da regra da cadeia. O que é essa parte? Note que essa soma
é igual à derivada parcial de “f” em relação a “t”. Deixe eu copiar essa regra da cadeia aqui,
para compararmos melhor. Então, o que podemos fazer aqui?
Note que essas duas somas são iguais, então, ao invés de colocarmos desse jeito,
podemos simplesmente colocar desse aqui. E, aí, vamos ficar com a integral de a até b
da derivada de “F” em relação a “t”, vezes dt. E como você
resolve essa integral? Você faz a integração dessa função interna
em relação a “t”, ou seja, isso aqui
vai ser igual a F(t) e, só para você não ficar tão confuso,
se há uma função F(x,y), você pode reescrevê-la
como uma função de t. Ou seja, F(x(t),y(t)),
que é a mesma coisa que F(t). Então, o resultado dessa integral é igual a F(t)
e que nós podemos avaliar de a até b. Deixe eu colocar isso aqui embaixo
para ficar melhor para ver. Então, F(t), avaliado de a até b,
é igual a “efezão” de b, menos “efezão” de a. É o famoso
Teorema Fundamental do Cálculo. E se você quiser complicar
um pouquinho mais, você pode até reescrever isso
como F(x(b),y(b)) menos F(x(a),y(a)). Ou seja, você recebe um “x”
e um “y”, aqui, do plano (x,y), e o “F” vai dar a
altura em que você está. Isso é a mesma coisa que a integral de linha
percorrendo o caminho c de F vezes dr, o que mostra que a integral de linha
independe do caminho percorrido. Ou seja, só precisamos do ponto inicial,
que é o “t” igual a “a”, que é a mesma coisa que
x(a) e y(a) e do ponto final, que é t igual a b, que é a
mesma coisa que x(b) e y(b). Mas como você chegou
a essa conclusão? Simples. Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo
aqui, eu só preciso do b e do a. Eu não preciso me preocupar
com a curva entre eles. Isso mostra que se F(x,y) é igual
ao gradiente de F, então, F é conservativo, ou que a integral de linha F vezes dr
independe do caminho percorrido. E eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês e até a próxima, pessoal!