Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos ver que integrais de linha em um campo escalar independem do sentido percorrido. E já vimos que se tivermos uma curva em um plano x,y e fizermos a parametrização da mesma, isso iria gerar uma outra parametrização que é a mesma curva, mas vai na direção oposta. Ou seja, essa aqui começa nesse ponto e vai até esse, enquanto essa tem o sentido oposto. O que eu quero saber nesse vídeo é se a integral de linha de um campo escalar ao longo dessa curva é igual à integral desse mesmo campo no sentido oposto. Ou seja, a integral dessa curva de f(x,y) vezes “ds” é igual à integral dessa mesma curva, só que no sentido inverso. Ou seja, será que importa se percorrermos a curva assim ou assim quando estamos calculando a integral de linha em um campo escalar? Para entender isso, deixa eu fazer um desenho aqui. Primeiro, eu coloco o eixo das coordenadas. Esse é o eixo x. Esse, o eixo y. E, esse, o eixo z. Eu posso desenhar um campo escalar também, algo mais ou menos assim. Eu vou desenhar somente uma parte dele, ou seja, esse aqui é o campo escalar f(x,y). Ou seja, nós associamos cada ponto do plano x,y com uma altura que acaba definindo essa superfície, que é o campo escalar. Nós podemos colocar a nossa curva “c” bem aqui no plano x,y. E aí vamos mover nesse sentido. Nós sabemos que essa integral busca descobrir a área de uma espécie de parede com uma cortina. Ou seja, estamos tentando encontrar a soma das infinitas áreas dessa parede, dessa pequena folha de papel dobrada, entre aspas. E se invertermos a curva, a ideia vai ser a mesma. O que eu estou querendo dizer é que tanto faz o caminho que você está tentando percorrer. No final, o que você quer descobrir é essa área aqui. Por essa ideia intuitiva parece que essas duas coisas são iguais, mas não provamos matematicamente ainda. E esse “ds” é uma pequena variação de distância que eu estou multiplicando pelo f(x,y), ou seja, por essa altura aqui. E, com isso, eu descubro a área desse retângulo. Mas, claro, nessa cortina, nessa espécie de folha de papel, você pode pensar nisso da maneira que achar melhor, para encontrar toda a área dela, nós devemos somar esses infinitos retângulos formados. Quando eu faço desse jeito é a mesma ideia. Então, intuitivamente, fazer desse jeito ou desse é a mesma coisa. No sentido contrário, você tem um “ds”, uma pequena variação na distância da curva, e, para encontrar a área, você multiplica por essa altura. Para calcular a soma desses infinitos retângulos, nós utilizamos a integral. Intuitivamente, parece a mesma coisa, não é? Agora, lembre-se de uma coisa importante de integral definida. Se nós tivermos uma integral de “a” até “b”, de “f(x)dx”, para mudarmos os limites de integração, nós devemos colocar um sinal de menos antes da integral. Então, ficaríamos com a integral de “b” até “a” de “f(x)dx”. Isso é verdade porque, se você tiver uma curva que vai de “a” até “b”, quando você vai nessa direção, a sua variação "dx" vai ser sempre positiva. Já nesse caso, o seu "dx" vai ser negativo. As alturas vão ser sempre as mesmas, mas o “dx” vai ser negativo. Isso porque você está tendo pequenas variações negativas de “b” até “a”. E, como estamos calculando a área, nós devemos colocar esse sinal de menos aqui para garantir que o valor sempre seja positivo. Já em ambos os casos aqui, o “ds” vai ser positivo. Isso acontece porque temos sempre a mesma área. Já aqui, áreas diferentes. Mas, claro, nós podemos provar isso matematicamente e vamos começar colocando a curva c de forma parametrizada, sabendo que x é igual a x(t) e y é igual a y(t), e o t varia entre “a” e “b”. Também vamos precisar das derivadas de x e y em relação a t e, com isso a derivada de x em relação a t é igual a x linha de t e a derivada de y em relação a t é igual a y linha de t. Nós já vimos isso nas aulas anteriores e se você não lembra, eu sugiro que você dê uma revisada. E sabemos que a integral dessa curva de f(x,y), onde f é um campo escalar e não um campo vetorial, vezes de “ds” é igual à integral de “a” até “b” de f(x(t), y(t)) vezes a raiz quadrada de x'(t) ao quadrado mais y(t) ao quadrado “dt”. E fazendo uma versão percorrendo o caminho contrário, ou seja, de “-c”, nós vamos ter que x é igual a isso aqui, e o y é igual a isso. Então, eu posso colocar que x é igual a x que multiplica "a" mais "b" menos t, e o y é igual a y que multiplica “a” mais “b” menos t, e claro, o t varia entre “a” e “b”. E agora nós podemos achar as derivadas. A derivada de x em relação a t percorrendo o caminho contrário pode ser feita utilizando a regra da cadeia. Você deriva o interior em relação a t e multiplica pela derivada do exterior em relação ao interior e derivando isso aqui em relação a t, nós consideramos o “a” e o “b” como constantes. A derivada de -t é -1, e multiplicamos isso pela derivada de x em relação a “a” mais “b” menos t. Podemos realizar essa multiplicação e reescrever isso como: menos a derivada de x em relação a “a” mais “b” menos t. Para calcular o dy/dt, nós utilizamos a mesma lógica. Derivamos o interior em relação a t, nesse caso, vai dar -1, já que “a” e “b” são constantes, vezes a derivada de y, que é a função a externa, em relação a “a” mais “b” menos t, e que se multiplicarmos isso, vamos ficar com menos a derivada de y em relação a “a” mais “b” menos t. E, sabendo disso, como vai ficar a integral de f(x,y) vezes “ds” percorrendo a curva c no sentido contrário? Vai ser igual à integral de “a” até “b” de f(x(t)), que, nesse caso, é “a” mais “b” menos t, e y de “a” mais “b” menos t, já que y(t) é igual a “a” mais “b” menos t vezes a raiz quadrada de x linha de t ao quadrado mais y linha de t ao quadrado. E como calculamos a derivada de x em relação a t ao quadrado? Nós devemos elevar isso aqui ao quadrado, ou seja, menos a derivada de x em relação a “a” mais “b” menos t ao quadrado. Isso vai ser a mesma coisa que a derivada de x em relação a “a” mais “b” menos t ao quadrado, ou seja, esse sinal aqui vai acabar virando positivo. Então ficamos com a raiz quadrada de x'(a + b - t) ao quadrado mais a derivada de y em relação a t ao quadrado, que é a mesma coisa que elevar isso aqui ao quadrado e utilizando essa mesma lógica, nós ficamos com mais y linha de “a” mais “b” menos t ao quadrado. Ainda tem um “dt” aqui. Essas duas coisas ainda não estão parecidas, né? Vamos tentar simplificar ainda mais. Nós podemos simplificar essa integral utilizando uma substituição. Vamos dizer que “u” seja igual a “a” mais “b” menos t. A primeira coisa que devemos fazer é encontrar os limites de integração. Para isso, precisamos descobrir a derivada de “u” em relação a t, que é a mesma coisa que derivar isso em relação a t. Como “a” e “b” são tratados como constantes, nós vamos ter que a derivada de -t é igual a -1. E se multiplicarmos ambos os lados dessa equação por “dt”, vamos ficar com “du” igual a “-dt”. Quando o t é igual a “a”, o “u” vai ser igual a “a” mais “b” menos “a”. Com isso, eu posso cancelar esse termo com esse. E aí o “u” vai ser igual a “b”. E se o t for igual a “b”, o “u” vai ser igual a “a” mais “b” menos “b”. E eu posso cancelar esses dois termos e, com isso, o “u” vai ser igual a “a”. E aí podemos substituir tudo isso nessa integral e vamos simplificar um pouco, né? Ou seja, igual a integral de “b” até “a”, já que, quando o t é igual a “a”, o “u” vai ser igual a “b”. E, quando o t é igual a “b”, o “u” vai ser igual a “a”. Nós invertemos os limites de integração. Então a integral de “b” até “a” disso aqui, que é "u", f(x) de "u". E y disso aqui, que é igual a "u", então y(u) vezes a raiz quadrada disso tudo aqui, e que podemos reescrever como x linha de "u" ao quadrado mais a derivada de y em relação a "u" ao quadrado, já que tudo isso aqui é igual a “u”, e multiplicamos isso por dt. Mas veja bem: ”du” é igual a menos "dt". E se multiplicarmos ambos os membros por -1, vamos ficar com "dt" igual a menos "du". Por isso, multiplicamos isso por menos "du", mas, ao invés de colocarmos esse sinal de menos aqui, podemos colocar na frente da integral. Ou seja, menos a integral de “b” até “a” disso tudo aqui. Só para você ver que esses limites de integração fazem sentido, nós podemos trocá-los e sabemos que a integral de “b” até “a” de f(u)du é igual a menos a integral de “a” até “b” de f(u)du. E, claro, utilizamos a mesma lógica que vimos aqui. Com isso em mente, podemos aplicar aqui. Vamos inverter os limites de integração. Quando fazemos isso, esse sinal vai Inverter, já que estamos multiplicando tudo isso aqui por -1. E aí vamos ficar com a integral de “a” até “b” de f(x(u),y(u)) vezes a raiz quadrada da derivada de x em relação a “u” ao quadrado, mais a derivada de y em relação a “u” ao quadrado. E multiplicamos isso por “du”. Mas, claro, tudo isso foi uma substituição. Isso aqui é a curva c sendo percorrida em um caminho contrário de f(x,y) vezes “ds”, e podemos compará-la à curva c, sendo percorrida pelo caminho original. Deixa eu copiar essa curva c aqui para podermos comparar de forma melhor. Elas são semelhantes, não é? A diferença é que nessa curva de menos c tem um monte de “u”, enquanto nessa curva de c tem um monte de t Para torná-las iguais, você deve retornar à substituição que tinha feito. A diferença é que na curva de cima, você fez uma substituição. Ou seja, você chamou “u” de t, mas a integral dessa curva c de “a” até “b” é igual a integral de f(x(u),y(u)) vezes a raiz quadrada de x linha de “u” ao quadrado mais y linha de “u” ao quadrado “du”. Se retornarmos à substituição, nós vamos ter a mesma coisa que isso aqui. Isso nos diz que não importa o sentido em que você vai percorrer a curva, contanto que a curva seja a mesma, nós vamos obter a mesma resposta. Isso vai de acordo com a intuição que tivermos aqui. Eu espero que essa aula tenha os ajudado, e até a próxima pessoal!