Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos ver que integrais de linha em um campo escalar independem do sentido percorrido e já Vimos que se tivermos uma curva em um plano XY e fizermos a parametrização da mesma isso iria gerar uma outra parametrização que basicamente é a mesma curva mas vai na direção oposta ou seja essa que começa nesse ponto e vai até esse Enquanto essa tem o sentido oposto e o que eu quero saber nesse vídeo É sim a integral de linha de um campo escalar ao longo dessa curva é igual a integral de si mesmo campo no sentido oposto Ou seja a integral dessa curva de f de x y x de S = integral dessa mesma curva só que no sentido inverso ou seja Será que importa se p e vamos a curva assim ou assim quando estamos calculando a integral de linha em um campo escalar para entender isso deixa eu fazer um desenho aqui primeiro eu coloco o Eixo das coordenadas Esse é o eixo X e se o eixo Y e esse o eixo Z e eu posso desenhar um campo escalar tão bem algo mais ou menos assim e eu vou desenhar somente uma parte dele ou seja isso aqui é o campo escalar f de x y ou seja nós associamos cada ponto do plano XY com uma altura que acaba definindo essa superfície que é o campo escalar aí nós podemos colocar a nossa cor vai ser bem aqui no plano XY E aí vamos mover nesse sentido e nós sabemos que essa integral busca descobrir a área de uma espécie de parede com uma cortina ou seja estamos tentando em é a soma das infinitas áreas dessa parede dessa pequena folha de papel dobrada entre aspas e se invertermos a curva a ideia vai ser a mesma porque eu estou querendo dizer é que tanto faz o caminho que você está tentando percorrer no final o que você quer descobrir essa área aqui por essa e dentro tiva parece que essas duas coisas são iguais mas nós não provamos matematicamente ainda E esse DS é uma pequena variação de distância que eu estou multiplicando pelo f de x y ou seja por essa altura aqui E com isso eu descubro a área desse retângulo mais claro nessa cortina nessa espécie de folha de papel e você pode pensar nisso na maneira que achar melhor para encontrar toda a área dela nós devemos somar esses infinitos retângulos formados e quando eu faço desse jeito é a mesma e bom então intuitivamente fazer desse jeito ou de se é a mesma coisa né no sentido contrário você tem um DS uma pequena variação na distância da curva e para encontrar a área você multiplica por essa altura e para calcular a soma desses infinitos retângulos mais utilizamos a integral e intuitivamente parece a mesma coisa não é agora lembre-se de uma coisa importante de integral definida se nós tivermos uma integral de atb chefe de X DX para mudarmos os limites de integração uma de devemos colocar um sinal de menos aqui antes da integral é então ficaríamos com a integral de bebê até a gfdx 10x Isso é verdade porque se você tiver aqui um a curva que vai dia até B Quando você vai nessa direção a sua variação de X vai ser sempre e vai correto já nesse caso o seu destino vai ser negativo as alturas vão ser sem prejuízo mas mas o DX vai ser negativo isso porque você está tendo pequenas variações negativas de bebê até a e como estamos calculando área nós devemos colocar esse sinal de menos aqui para garantir que o valor sempre seja a Positivo já Em ambos os casos aqui o DS vai ser positivo e isso acontece porque temos sempre a mesma área já que áreas diferentes mas claro nós podemos provar isso matematicamente e vamos começar colocando a com você aqui de forma parametrizada sabendo que x = x DT y = y DT e o ter varia entre a e b e também vamos precisar das derivadas de x e y em relação a t e com o a roda de X em relação a t = x linha de ter e a derivada de y em relação a t = y linha é de ter claro nós já vi um existo nas aulas anteriores e se você não lembra eu sugiro que você deu uma revisada e sabemos que integral dessa curva de f de x e y onde F é um campo escalar e não um campo vetorial vezes de S = integral de A até B d f de x DT Y DT vezes a raiz quadrada de x linha de t ao quadrado mais Y di t ao quadrado de t e fazendo uma versão percorrendo o caminho contrário ou seja de menos cê nós vamos ter que x = isso aqui e o y = isso então eu posso colocar que cheguei = x que multiplica a + b a ter e o y = y que multiplica A mais B menos ter E claro o te varia entre a e b e agora nós podemos achar as derivadas então a derivada de x em relação a ter percorrendo o caminho contrário pode ser feita utilizando a regra da cadeia você deriva o interior em relação a t e multiplica pela derivada do exterior em relação ao interior e derivando isso aqui em relação Até nós consideramos o ar E o bebê como constante E aí a derivada de menos ter é menos um e multiplicamos isso pela derivada de x em relação à A mais B menos ter e podemos realizar essa multiplicação e reescrever isso como menos a derivada de x em relação à a + b e para calcular o de ydt nós utilizamos a mesma lógica de levamos o interior em relação até e nesse caso vai dar menos um já que A e B são constantes vezes a derivada de y que é a função a externa em relação à A mais B menos ter e que se multiplicarmos isso vamos ficar com menos a derivada de y em relação a algumas B - te e sabendo disso como vai ficar a integral de f de x e y xds percorrendo a cor vai ser no sentido contrário vai ser igual a integral de A até B d f de x DT que nesse caso é a mais venenos ter e y o dia mais B menos de Jake Y de t = a + b - ter é a raiz quadrada de x linha de t ao quadrado mais Y linha GTA o quadrado e como calculamos a derivada de x em relação a t ao quadrado basicamente nós devemos elevar isso aqui é o quadrado ou seja menos a derivada de x em relação à A mais B menos de ter ao quadrado Isso vai ser a mesma coisa que a derivada de x em relação à A mais B menos ter ao quadrado ou seja esse sinal aqui ele vai acabar virando positivo então ficamos com raiz quadrada de x de linha dia mais de bebê menos ter ao quadrado mais a derivada de y em relação a t ao quadrado que a mesma coisa que levar isso aqui ao quadrado e utilizando essa mesma lógica nós ficamos com mais Y linha de a + b - ter ao qual Oi e Claro ainda tem um de ter aqui essas duas coisas ainda não estão parecidas né Vamos tentar simplificar ainda mais nós podemos simplificar essa integral utilizando uma substituição vamos dizer que o seja = a + b - te a primeira coisa que devemos fazer é encontrar os limites de integração e Para isso precisamos descobrir a derivada de um em relação a ter que a mesma coisa que derivar isso aqui em relação a t e como A e B são tratados como constante nós vamos ter que a derivada de menos ter = -1 e se multiplicarmos ambos os lados dessa equação por de ter vamos ficar com de u = - de ter e quando o t = eo vai ser = a + b - a é isso eu posso cancelar esse termo com esse E aí oo vai ser igual a be e seu ter for igual AB uvas ser = a + b - b e eu posso cancelar esses dois termos e com isso oo vai ser igual a a e aí podemos substituir tudo isso aqui nessa integral e com isso vamos simplificar um pouco né ou seja igual a integral de bebê até a já que quando T = eo vai ser igual a be e quando T = B O vai ser igual a basicamente nós invertemos os limites de integração né então a integral de ver até a dfdx disso aqui que é o f de x e y disso aqui que é igual a um então Y Hideo vezes a raiz quadrada e isso tudo aqui e que podemos reescrever como se linha de ao quadrado mais a derivada de y em relação ao quadrado já que tudo isso aqui é igual a uh e multiplicamos isso por deter mas veja bem de u = - de ter e se multiplicarmos ambos os membros por menos um vamos ficar com de T = - deo por isso multiplicamos isso aqui por menos de um mas ao invés de colocarmos esse sinal de menos aqui podemos colocar na frente da integral ou seja menos a integral The Beat a disso tudo aqui e só para você ver que esses limites de integração fazem sentido nós podemos trocá-los e sabemos que a integral de até de f d u d u = - a integral de A até B d f Oi e Claro utilizamos a mesma lógica que vimos aqui E com isso em mente podemos aplicar aqui vamos inverter os limites de integração e quando fazemos isso esse sinal vai inverter já que estamos multiplicando tudo isso aqui por menos um E aí vamos ficar com a integral de A até B d f de x Gil Y Gil vezes a raiz quadrada da derivada de x em relação ao quadrado mais a derivada de y em relação a uh ao quadrado e multiplicamos isso por deu mais claro tudo isso foi uma substituição isso aqui é a cor você sendo percorrida em um caminho contrário e f de x y x DDS e podemos compará-la a cor você sendo percorrida pelo caminho original deixou até copiar essa curva se aqui para podermos comparar de E aí ó elas são semelhantes não é a diferença é que nessa curva de menos ser tem um monte de U enquanto nessa curva de ser tem um monte de ter para torná-las iguais você deve retornar a substituição que tinha feito a diferença é que na curva de cima você fez uma substituição Ou seja você chamou o de te mas a integral dessa cor você dia até B é igual a integral de f de x Gil Y Gil vezes a raiz quadrada de x linha de U ao quadrado mais Y linha de ao quadrado de U esse retorna Ramos a substituição nós vamos ter a mesma coisa que só que isso nos diz que não importa o sentido que você vai percorrer a curva contando que a curva seja mesma nós vamos obter a mesma resposta isso vai de acordo com a é então que tivermos aqui e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal