Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
Mostrando que a integral de linha de um campo escalar é independente da direção do caminho. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos ver que integrais de linha em
um campo escalar independem do sentido percorrido. E já vimos que se tivermos uma curva em um plano x,y
e fizermos a parametrização da mesma, isso iria gerar uma outra parametrização
que é a mesma curva, mas vai na direção oposta. Ou seja, essa aqui começa nesse ponto
e vai até esse, enquanto essa tem
o sentido oposto. O que eu quero saber nesse vídeo
é se a integral de linha de um campo escalar ao longo dessa curva é igual à integral
desse mesmo campo no sentido oposto. Ou seja, a integral dessa curva de f(x,y) vezes “ds” é igual à
integral dessa mesma curva, só que no sentido inverso. Ou seja, será que importa
se percorrermos a curva assim ou assim quando estamos calculando
a integral de linha em um campo escalar? Para entender isso,
deixa eu fazer um desenho aqui. Primeiro, eu coloco o
eixo das coordenadas. Esse é o eixo x. Esse, o eixo y.
E, esse, o eixo z. Eu posso desenhar um campo escalar também,
algo mais ou menos assim. Eu vou desenhar somente uma parte dele,
ou seja, esse aqui é o campo escalar f(x,y). Ou seja, nós associamos cada ponto
do plano x,y com uma altura que acaba definindo
essa superfície, que é o campo escalar. Nós podemos colocar a nossa curva “c”
bem aqui no plano x,y. E aí vamos mover nesse sentido. Nós sabemos que essa integral busca descobrir a
área de uma espécie de parede com uma cortina. Ou seja, estamos tentando encontrar
a soma das infinitas áreas dessa parede, dessa pequena folha de papel dobrada,
entre aspas. E se invertermos a curva,
a ideia vai ser a mesma. O que eu estou querendo dizer
é que tanto faz o caminho que você
está tentando percorrer. No final, o que você quer descobrir
é essa área aqui. Por essa ideia intuitiva
parece que essas duas coisas são iguais, mas não provamos
matematicamente ainda. E esse “ds” é
uma pequena variação de distância que eu estou multiplicando pelo f(x,y),
ou seja, por essa altura aqui. E, com isso, eu descubro
a área desse retângulo. Mas, claro, nessa cortina,
nessa espécie de folha de papel, você pode pensar nisso
da maneira que achar melhor, para encontrar toda a área dela, nós
devemos somar esses infinitos retângulos formados. Quando eu faço desse jeito
é a mesma ideia. Então, intuitivamente, fazer desse jeito
ou desse é a mesma coisa. No sentido contrário, você tem um “ds”,
uma pequena variação na distância da curva, e, para encontrar a área,
você multiplica por essa altura. Para calcular a soma desses infinitos
retângulos, nós utilizamos a integral. Intuitivamente,
parece a mesma coisa, não é? Agora, lembre-se de uma coisa importante
de integral definida. Se nós tivermos uma integral
de “a” até “b”, de “f(x)dx”, para mudarmos os
limites de integração, nós devemos colocar
um sinal de menos antes da integral. Então, ficaríamos com a integral
de “b” até “a” de “f(x)dx”. Isso é verdade porque, se você tiver
uma curva que vai de “a” até “b”, quando você vai nessa direção,
a sua variação "dx" vai ser sempre positiva. Já nesse caso, o seu "dx"
vai ser negativo. As alturas vão ser sempre as mesmas,
mas o “dx” vai ser negativo. Isso porque você está tendo
pequenas variações negativas de “b” até “a”. E, como estamos calculando a área, nós devemos colocar
esse sinal de menos aqui para garantir que o valor
sempre seja positivo. Já em ambos os casos aqui,
o “ds” vai ser positivo. Isso acontece
porque temos sempre a mesma área. Já aqui, áreas diferentes. Mas, claro, nós podemos
provar isso matematicamente e vamos começar colocando a curva c
de forma parametrizada, sabendo que x é igual a x(t)
e y é igual a y(t), e o t varia entre “a” e “b”. Também vamos precisar das derivadas
de x e y em relação a t e, com isso a derivada de x
em relação a t é igual a x linha de t e a derivada de y em relação a t
é igual a y linha de t. Nós já vimos isso
nas aulas anteriores e se você não lembra,
eu sugiro que você dê uma revisada. E sabemos que a integral
dessa curva de f(x,y), onde f é um campo escalar
e não um campo vetorial, vezes de “ds” é igual à integral
de “a” até “b” de f(x(t), y(t)) vezes a raiz quadrada de x'(t)
ao quadrado mais y(t) ao quadrado “dt”. E fazendo uma versão percorrendo
o caminho contrário, ou seja, de “-c”, nós vamos ter que x é igual a isso aqui,
e o y é igual a isso. Então, eu posso colocar que x é igual a
x que multiplica "a" mais "b" menos t, e o y é igual a y que multiplica “a” mais “b” menos t,
e claro, o t varia entre “a” e “b”. E agora nós podemos achar as derivadas. A derivada de x em relação a t
percorrendo o caminho contrário pode ser feita utilizando
a regra da cadeia. Você deriva o interior
em relação a t e multiplica pela derivada do exterior
em relação ao interior e derivando isso
aqui em relação a t, nós consideramos o “a” e o “b”
como constantes. A derivada de -t é -1, e multiplicamos isso pela derivada de x
em relação a “a” mais “b” menos t. Podemos realizar essa multiplicação
e reescrever isso como: menos a derivada de x
em relação a “a” mais “b” menos t. Para calcular o dy/dt,
nós utilizamos a mesma lógica. Derivamos o interior em relação a t,
nesse caso, vai dar -1, já que “a” e “b” são constantes, vezes a derivada de y,
que é a função a externa, em relação a “a” mais “b” menos t,
e que se multiplicarmos isso, vamos ficar com menos a derivada de y
em relação a “a” mais “b” menos t. E, sabendo disso, como vai ficar
a integral de f(x,y) vezes “ds” percorrendo a curva c
no sentido contrário? Vai ser igual à integral
de “a” até “b” de f(x(t)), que, nesse caso, é
“a” mais “b” menos t, e y de “a” mais “b” menos t, já que y(t) é igual a
“a” mais “b” menos t vezes a raiz quadrada de x linha
de t ao quadrado mais y linha de t ao quadrado. E como calculamos a derivada de x
em relação a t ao quadrado? Nós devemos elevar isso aqui ao quadrado,
ou seja, menos a derivada de x em relação a “a” mais “b”
menos t ao quadrado. Isso vai ser a mesma coisa
que a derivada de x em relação a “a” mais “b”
menos t ao quadrado, ou seja, esse sinal aqui
vai acabar virando positivo. Então ficamos com a raiz quadrada
de x'(a + b - t) ao quadrado mais a derivada de y
em relação a t ao quadrado, que é a mesma coisa que elevar
isso aqui ao quadrado e utilizando essa mesma lógica,
nós ficamos com mais y linha de “a” mais “b”
menos t ao quadrado. Ainda tem um “dt” aqui. Essas duas coisas
ainda não estão parecidas, né? Vamos tentar simplificar ainda mais. Nós podemos simplificar essa integral
utilizando uma substituição. Vamos dizer que “u”
seja igual a “a” mais “b” menos t. A primeira coisa que devemos fazer
é encontrar os limites de integração. Para isso, precisamos descobrir
a derivada de “u” em relação a t, que é a mesma coisa que derivar isso
em relação a t. Como “a” e “b” são tratados
como constantes, nós vamos ter que a derivada
de -t é igual a -1. E se multiplicarmos ambos os lados
dessa equação por “dt”, vamos ficar com “du” igual a “-dt”. Quando o t é igual a “a”,
o “u” vai ser igual a “a” mais “b” menos “a”. Com isso, eu posso cancelar
esse termo com esse. E aí o “u” vai ser igual a “b”. E se o t for igual a “b”,
o “u” vai ser igual a “a” mais “b” menos “b”. E eu posso cancelar esses dois termos
e, com isso, o “u” vai ser igual a “a”. E aí podemos substituir tudo isso
nessa integral e vamos simplificar um pouco, né? Ou seja, igual a
integral de “b” até “a”, já que, quando o t é igual a “a”,
o “u” vai ser igual a “b”. E, quando o t é igual a “b”,
o “u” vai ser igual a “a”. Nós invertemos os
limites de integração. Então a integral de “b” até “a”
disso aqui, que é "u", f(x) de "u". E y disso aqui, que é igual a "u", então y(u) vezes
a raiz quadrada disso tudo aqui, e que podemos reescrever
como x linha de "u" ao quadrado mais a derivada de y em relação
a "u" ao quadrado, já que tudo isso aqui é igual a “u”,
e multiplicamos isso por dt. Mas veja bem:
”du” é igual a menos "dt". E se multiplicarmos ambos os membros
por -1, vamos ficar com "dt" igual a menos "du". Por isso, multiplicamos
isso por menos "du", mas, ao invés de colocarmos
esse sinal de menos aqui, podemos colocar
na frente da integral. Ou seja, menos a integral de “b” até “a”
disso tudo aqui. Só para você ver que esses limites
de integração fazem sentido, nós podemos trocá-los
e sabemos que a integral de “b” até “a” de f(u)du é igual a menos a integral
de “a” até “b” de f(u)du. E, claro, utilizamos
a mesma lógica que vimos aqui. Com isso em mente,
podemos aplicar aqui. Vamos inverter os
limites de integração. Quando fazemos isso,
esse sinal vai Inverter, já que estamos multiplicando
tudo isso aqui por -1. E aí vamos ficar com a integral
de “a” até “b” de f(x(u),y(u)) vezes a raiz quadrada da derivada de x
em relação a “u” ao quadrado, mais a derivada de y em relação
a “u” ao quadrado. E multiplicamos isso por “du”. Mas, claro, tudo isso
foi uma substituição. Isso aqui é a curva c sendo percorrida em
um caminho contrário de f(x,y) vezes “ds”, e podemos compará-la à curva c,
sendo percorrida pelo caminho original. Deixa eu copiar essa curva c aqui
para podermos comparar de forma melhor. Elas são semelhantes, não é? A diferença é que nessa curva de menos c
tem um monte de “u”, enquanto nessa curva de c
tem um monte de t Para torná-las iguais, você deve
retornar à substituição que tinha feito. A diferença é que na curva de cima,
você fez uma substituição. Ou seja, você chamou “u” de t,
mas a integral dessa curva c de “a” até “b” é igual
a integral de f(x(u),y(u)) vezes a raiz quadrada de
x linha de “u” ao quadrado mais y linha de
“u” ao quadrado “du”. Se retornarmos à substituição, nós vamos
ter a mesma coisa que isso aqui. Isso nos diz que não importa
o sentido em que você vai percorrer a curva, contanto que a curva seja a mesma,
nós vamos obter a mesma resposta. Isso vai de acordo
com a intuição que tivermos aqui. Eu espero que essa aula
tenha os ajudado, e até a próxima pessoal!