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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
Usando uma integral de linha para encontrar o trabalho feito por um exemplo de campo vetorial. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. E, neste vídeo, vamos conversar
sobre o uso da integral de linha para encontrar o trabalho realizado sobre algo atravessando um campo vetorial. Para isso, vamos supor que eu
tenha um campo vetorial que é definido em R² para o plano XY e que seja uma função de "x" e "y". A função associa um vetor
a cada ponto no plano. Vamos supor que o meu campo vetorial
seja igual a "y" vezes o vetor unitário î menos "x", vezes o vetor unitário j^. Como você pode imaginar, eu vou
desenhar aqui os nossos eixos "x" e "y". Agora, a gente pode desenhar
vetores neste plano XY. E pode ser um vetor força o qual nós vamos associar a cada ponto no nosso plano XY. Vamos supor, então, que a gente esteja observando
o ponto (1, 0). Estando neste ponto, como que um vetor
associado a ele vai se parecer? Bem, na posição (1, 0),
y = 0. Então, teremos 0î - 1j^ = -1j^. Então, o vetor vai ficar deste
jeito aqui, neste ponto. Eu estou pegando pontos aleatórios, ok? Mas, enfim, em x = 2,
ainda teremos "y" sendo igual a zero. Desta forma, o vetor força aqui será -2j^. Então, teremos algo assim,
algo parecido com isso. Da mesma forma,
se fôssemos para este ponto, onde y = 1
e x =0, quando y = 1
teremos 1î - 0j^. Então, o nosso vetor vai se
parecer assim neste ponto. A gente pode continuar representando
os vetores aqui em outros pontos. Só para a gente ter uma ideia de como
estes vetores vão se parecer. Por exemplo, se você vier aqui,
o vetor vai se parecer com isso. Se você talvez partir deste ponto aqui,
o vetor vai ficar desta forma. Eu poderia continuar enchendo
o espaço com isso em todos os pontos, mas eu acho que você conseguiu
compreender a ideia, não é? Eu poderia preencher
todos os pontos, se eu precisasse. Agora, vamos supor que, neste campo, eu teria alguma partícula se movimentando
através de um caminho descrito por uma curva "C". A parametrização desta curva "C"
é a seguinte: x(t) = cos(t)
e y(t) = sen(t). O caminho vai ser traçado no intervalo
em que zero é menor ou igual a "t", e "t" é menor ou igual 2π. Ou seja, o "t" está entre zero e 2π. Talvez você reconheça o que é isso, não é? Esta parametrização, essencialmente, é um círculo no sentido anti-horário. Então, o caminho que este
cara vai fazer começa aqui. Você pode imaginar este "t" aqui sendo uma espécie de ângulo neste círculo. Mas você também pode imaginá-lo
como tempo. Quando o tempo for igual a zero, nós estaremos exatamente aqui. Aí, quando o tempo for π/2,
teremos nos deslocado 1/4 do círculo, afinal nós estamos nos movendo
nesta direção. Depois de "π" segundos
teremos chegado aqui. E aí, depois de 2π segundos, teremos percorrido todo o
caminho em volta do círculo. Então, o nosso caminho, a nossa curva, é uma rotação no sentido
anti-horário em volta do círculo, por assim dizer. Sabendo disso, qual é o trabalho
realizado por este campo nesta curva? Como já vimos do vídeo anterior, o trabalho é igual à integral de linha
através do contorno do produto escalar entre o campo vetorial e o diferencial
do nosso movimento, neste caso "dr". Bom, eu ainda não defini o "r",
eu apenas apresentei o parâmetro aqui. Mas é preciso ter a função do vetor,
algo que ainda não colocamos aqui. Nós precisamos ter algum "r"
que defina o caminho. Esta é apenas uma parametrização
convencional, mas se eu quiser escrever uma
função vetorial de "t", é preciso dizer que r(t) = x(t) que é o cos(t) vezes î, mais y(t) vezes j^,
que é o sen(t) vezes j^. Em que o nosso intervalo é zero
sendo menor ou igual a "t", que é menor ou igual a 2π. O motivo de fazer isso é que agora
podemos calcular a derivada da função e determinar o seu diferencial. Ao fazer isso, poderemos determinar
o produto escalar necessário para determinar o trabalho realizado
pelo campo através desta integral de linha. Uma coisa que talvez tenha vindo
à sua mente agora é que estamos indo aqui
no sentido anti-horário, mas, em cada ponto que passamos, parece que o campo está exatamente no
sentido oposto ao nosso movimento. Por exemplo, aqui nós estamos
nos movendo para cima, porém, o campo está nos
puxando para baixo. Aqui, nós estamos nos movendo
para o canto superior esquerdo, porém, o campo está nos puxando
para o canto inferior direito. Aqui nós estamos nos movendo
exatamente para a esquerda, mas o campo está nos puxando
para a direita. Pelo que estamos vendo aqui, parece que o campo está sempre no sentido oposto do que nós
estamos tentando fazer. Ou seja, ele está nos tirando
a habilidade de movimento. Observando isso, temos uma
pequena intuição de que isso provavelmente está associado
a um trabalho negativo. Por exemplo, se eu levanto algo do chão, eu tenho que aplicar uma força
para compensar a gravidade. A força que eu estou aplicando
está realizando um trabalho positivo, mas a gravidade está realizando
um trabalho negativo sobre este algo. Bem, para você se sentir confortável, vamos fazer a matemática aqui
com essa ideia, ok? Mas, sem dúvida, é interessante
pensar sobre o que está acontecendo aqui. O campo que eu estou fazendo
aqui com esta cor, está puxando neste sentido. Ou seja, isso sempre irá na posição
contrária ao movimento. Mas, enfim, como eu falei, vamos fazer os cálculos aqui para deixar
tudo isso um pouco mais concreto. Para começar, vamos calcular a derivada
da nossa função vetor posição em relação a "t". Então, nós temos dr/dt, que também podemos escrever como r'(t), isto sendo igual à derivada de x(t)
em relação a "t" que, neste caso, é
-sen(t) vezes î. Mais a derivada de y(t)
em relação a "t", que é o cos(t) vezes j^. Aí, se a gente quiser o diferencial, basta multiplicar tudo por "dt". Sendo assim, nós teremos que
dr = -sen(t) dt. Eu só estou multiplicando
cada um destes termos por "dt", fazendo a distributiva. E aí, multiplicando isso com
o vetor unitário î + cos(t) dt, vezes o vetor unitário j^. Agora, nós temos esta expressão e queremos fazer o produto escalar
disso com isso aqui. Para isso, vamos reescrever o nosso
campo vetorial em termos de "t". Então, o que o campo estará fazendo
em qualquer ponto "t"? Nós não temos que nos preocupar
com todos os pontos, não precisamos nos preocupar
com o que o campo vetorial está fazendo, por exemplo, neste ponto aqui, porque este ponto não está
no nosso caminho. Esta força nunca terá Impacto
sobre a partícula. Nós devemos nos importar apenas
com que está acontecendo ao longo deste caminho. Então, podemos encontrar a função que,
essencialmente, substitui "y" e "x" pelas
funções relativas a "t". Sendo assim, nós teremos a força do campo em qualquer ponto ou qualquer tempo "t". Vamos fazer isso, então! Este cara aqui, por exemplo. Se eu fosse escrevê-lo como
uma uma função de "t", eu teria aqui isso sendo
igual a y(t), certo? "y" é uma função de "t", então, será o seno de "t". sen(t) vezes î - x(t). Em que "x" é uma função de "t", e aqui é o cosseno de "t". Então, teremos aqui
-cos(t) vezes j^. E agora tudo parece um pouco mais direto. Se a gente quiser encontrar
esta integral de linha, ela será a mesma coisa que a integral, com os limites de integração
indo de t = 0 até t = 2π do produto escalar entre f(t) e "dr". Agora, como calculamos o produto escalar? Basta multiplicar as componentes
correspondentes e depois somá-las. Sendo assim, calculamos o produto
entre o -sen(t) dt e o sen(t), que resultará em -sen²(t) dt. Aí, depois, adicionaremos isso
a estes dois caras, multiplicados um pelo outro. Bem, temos um sinal negativo aqui, então, eu vou trocar este
mais aqui por um menos. -cos²(t) dt. Se fatorarmos um sinal negativo e um "dt", isto vai ficar igual a quê? Isto vai ficar igual a menos a integral
indo de zero a 2π de sen²(t) + cos²(t) dt. Aqui, ao fatorar o sinal negativo,
colocaremos o menos na frente. E aí, ao fatorar o "dt",
o colocaremos aqui fora. Eu sei que eu fiz isso pulando
alguns passos, mas eu acho que você compreendeu
tudo que eu fiz aqui, não é? Se tudo que eu fiz aqui te confundir, você pode fazer a multiplicação
com este "dt", e aí, você vai ter o que tinha
inicialmente. Mas o motivo de eu ter feito isso aqui é que nós sabemos o que
o seno ao quadrado de algo mais o cosseno ao quadrado é. Isto cai, justamente, na definição
do círculo trigonométrico. Então, isto aqui é simplesmente igual a 1. Sendo assim, a nossa integral inteira
foi reduzida a apenas menos a integral indo de
zero a 2π, dt. E é isso! Nós já vimos isso antes. Nós podemos dizer que isso é de 1,
se você quiser colocar algo ali. E, como sabemos, a primitiva de 1
é, simplesmente, igual a menos, este sinal de menos é o que a gente
já tinha colocado na frente, ok? E aí, a primitiva de 1 é só "t". E nós vamos avaliá-la
indo de zero a 2π. Então, isto aqui é igual a -2π
menos "t" em zero. Então, menos zero. Sendo assim, isto é igual a -2π. E aí, está! Nós descobrimos o trabalho que
o campo realizou sobre a partícula, ou seja lá o que for que esteja
se movendo desta maneira anti-horária. E observe que a nossa intuição se manteve. Nós, realmente, encontramos um trabalho
negativo para o trabalho realizado. E isso é porque o tempo todo o campo
está no sentido oposto ou estava se opondo ao movimento
da partícula no seu movimento no sentido anti-horário. De qualquer maneira, eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui. E quero deixar para você aqui
um grande abraço, e falar que te encontro na próxima!