Como usar uma integral de linha para calcular trabalho

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. E, neste vídeo, vamos conversar sobre o uso da integral de linha para encontrar o trabalho realizado sobre algo atravessando um campo vetorial. Para isso, vamos supor que eu tenha um campo vetorial que é definido em R² para o plano XY e que seja uma função de "x" e "y". A função associa um vetor a cada ponto no plano. Vamos supor que o meu campo vetorial seja igual a "y" vezes o vetor unitário î menos "x", vezes o vetor unitário j^. Como você pode imaginar, eu vou desenhar aqui os nossos eixos "x" e "y". Agora, a gente pode desenhar vetores neste plano XY. E pode ser um vetor força o qual nós vamos associar a cada ponto no nosso plano XY. Vamos supor, então, que a gente esteja observando o ponto (1, 0). Estando neste ponto, como que um vetor associado a ele vai se parecer? Bem, na posição (1, 0), y = 0. Então, teremos 0î - 1j^ = -1j^. Então, o vetor vai ficar deste jeito aqui, neste ponto. Eu estou pegando pontos aleatórios, ok? Mas, enfim, em x = 2, ainda teremos "y" sendo igual a zero. Desta forma, o vetor força aqui será -2j^. Então, teremos algo assim, algo parecido com isso. Da mesma forma, se fôssemos para este ponto, onde y = 1 e x =0, quando y = 1 teremos 1î - 0j^. Então, o nosso vetor vai se parecer assim neste ponto. A gente pode continuar representando os vetores aqui em outros pontos. Só para a gente ter uma ideia de como estes vetores vão se parecer. Por exemplo, se você vier aqui, o vetor vai se parecer com isso. Se você talvez partir deste ponto aqui, o vetor vai ficar desta forma. Eu poderia continuar enchendo o espaço com isso em todos os pontos, mas eu acho que você conseguiu compreender a ideia, não é? Eu poderia preencher todos os pontos, se eu precisasse. Agora, vamos supor que, neste campo, eu teria alguma partícula se movimentando através de um caminho descrito por uma curva "C". A parametrização desta curva "C" é a seguinte: x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t). O caminho vai ser traçado no intervalo em que zero é menor ou igual a "t", e "t" é menor ou igual 2π. Ou seja, o "t" está entre zero e 2π. Talvez você reconheça o que é isso, não é? Esta parametrização, essencialmente, é um círculo no sentido anti-horário. Então, o caminho que este cara vai fazer começa aqui. Você pode imaginar este "t" aqui sendo uma espécie de ângulo neste círculo. Mas você também pode imaginá-lo como tempo. Quando o tempo for igual a zero, nós estaremos exatamente aqui. Aí, quando o tempo for π/2, teremos nos deslocado 1/4 do círculo, afinal nós estamos nos movendo nesta direção. Depois de "π" segundos teremos chegado aqui. E aí, depois de 2π segundos, teremos percorrido todo o caminho em volta do círculo. Então, o nosso caminho, a nossa curva, é uma rotação no sentido anti-horário em volta do círculo, por assim dizer. Sabendo disso, qual é o trabalho realizado por este campo nesta curva? Como já vimos do vídeo anterior, o trabalho é igual à integral de linha através do contorno do produto escalar entre o campo vetorial e o diferencial do nosso movimento, neste caso "dr". Bom, eu ainda não defini o "r", eu apenas apresentei o parâmetro aqui. Mas é preciso ter a função do vetor, algo que ainda não colocamos aqui. Nós precisamos ter algum "r" que defina o caminho. Esta é apenas uma parametrização convencional, mas se eu quiser escrever uma função vetorial de "t", é preciso dizer que r(t) = x(t) que é o cos(t) vezes î, mais y(t) vezes j^, que é o sen(t) vezes j^. Em que o nosso intervalo é zero sendo menor ou igual a "t", que é menor ou igual a 2π. O motivo de fazer isso é que agora podemos calcular a derivada da função e determinar o seu diferencial. Ao fazer isso, poderemos determinar o produto escalar necessário para determinar o trabalho realizado pelo campo através desta integral de linha. Uma coisa que talvez tenha vindo à sua mente agora é que estamos indo aqui no sentido anti-horário, mas, em cada ponto que passamos, parece que o campo está exatamente no sentido oposto ao nosso movimento. Por exemplo, aqui nós estamos nos movendo para cima, porém, o campo está nos puxando para baixo. Aqui, nós estamos nos movendo para o canto superior esquerdo, porém, o campo está nos puxando para o canto inferior direito. Aqui nós estamos nos movendo exatamente para a esquerda, mas o campo está nos puxando para a direita. Pelo que estamos vendo aqui, parece que o campo está sempre no sentido oposto do que nós estamos tentando fazer. Ou seja, ele está nos tirando a habilidade de movimento. Observando isso, temos uma pequena intuição de que isso provavelmente está associado a um trabalho negativo. Por exemplo, se eu levanto algo do chão, eu tenho que aplicar uma força para compensar a gravidade. A força que eu estou aplicando está realizando um trabalho positivo, mas a gravidade está realizando um trabalho negativo sobre este algo. Bem, para você se sentir confortável, vamos fazer a matemática aqui com essa ideia, ok? Mas, sem dúvida, é interessante pensar sobre o que está acontecendo aqui. O campo que eu estou fazendo aqui com esta cor, está puxando neste sentido. Ou seja, isso sempre irá na posição contrária ao movimento. Mas, enfim, como eu falei, vamos fazer os cálculos aqui para deixar tudo isso um pouco mais concreto. Para começar, vamos calcular a derivada da nossa função vetor posição em relação a "t". Então, nós temos dr/dt, que também podemos escrever como r'(t), isto sendo igual à derivada de x(t) em relação a "t" que, neste caso, é -sen(t) vezes î. Mais a derivada de y(t) em relação a "t", que é o cos(t) vezes j^. Aí, se a gente quiser o diferencial, basta multiplicar tudo por "dt". Sendo assim, nós teremos que dr = -sen(t) dt. Eu só estou multiplicando cada um destes termos por "dt", fazendo a distributiva. E aí, multiplicando isso com o vetor unitário î + cos(t) dt, vezes o vetor unitário j^. Agora, nós temos esta expressão e queremos fazer o produto escalar disso com isso aqui. Para isso, vamos reescrever o nosso campo vetorial em termos de "t". Então, o que o campo estará fazendo em qualquer ponto "t"? Nós não temos que nos preocupar com todos os pontos, não precisamos nos preocupar com o que o campo vetorial está fazendo, por exemplo, neste ponto aqui, porque este ponto não está no nosso caminho. Esta força nunca terá Impacto sobre a partícula. Nós devemos nos importar apenas com que está acontecendo ao longo deste caminho. Então, podemos encontrar a função que, essencialmente, substitui "y" e "x" pelas funções relativas a "t". Sendo assim, nós teremos a força do campo em qualquer ponto ou qualquer tempo "t". Vamos fazer isso, então! Este cara aqui, por exemplo. Se eu fosse escrevê-lo como uma uma função de "t", eu teria aqui isso sendo igual a y(t), certo? "y" é uma função de "t", então, será o seno de "t". sen(t) vezes î - x(t). Em que "x" é uma função de "t", e aqui é o cosseno de "t". Então, teremos aqui -cos(t) vezes j^. E agora tudo parece um pouco mais direto. Se a gente quiser encontrar esta integral de linha, ela será a mesma coisa que a integral, com os limites de integração indo de t = 0 até t = 2π do produto escalar entre f(t) e "dr". Agora, como calculamos o produto escalar? Basta multiplicar as componentes correspondentes e depois somá-las. Sendo assim, calculamos o produto entre o -sen(t) dt e o sen(t), que resultará em -sen²(t) dt. Aí, depois, adicionaremos isso a estes dois caras, multiplicados um pelo outro. Bem, temos um sinal negativo aqui, então, eu vou trocar este mais aqui por um menos. -cos²(t) dt. Se fatorarmos um sinal negativo e um "dt", isto vai ficar igual a quê? Isto vai ficar igual a menos a integral indo de zero a 2π de sen²(t) + cos²(t) dt. Aqui, ao fatorar o sinal negativo, colocaremos o menos na frente. E aí, ao fatorar o "dt", o colocaremos aqui fora. Eu sei que eu fiz isso pulando alguns passos, mas eu acho que você compreendeu tudo que eu fiz aqui, não é? Se tudo que eu fiz aqui te confundir, você pode fazer a multiplicação com este "dt", e aí, você vai ter o que tinha inicialmente. Mas o motivo de eu ter feito isso aqui é que nós sabemos o que o seno ao quadrado de algo mais o cosseno ao quadrado é. Isto cai, justamente, na definição do círculo trigonométrico. Então, isto aqui é simplesmente igual a 1. Sendo assim, a nossa integral inteira foi reduzida a apenas menos a integral indo de zero a 2π, dt. E é isso! Nós já vimos isso antes. Nós podemos dizer que isso é de 1, se você quiser colocar algo ali. E, como sabemos, a primitiva de 1 é, simplesmente, igual a menos, este sinal de menos é o que a gente já tinha colocado na frente, ok? E aí, a primitiva de 1 é só "t". E nós vamos avaliá-la indo de zero a 2π. Então, isto aqui é igual a -2π menos "t" em zero. Então, menos zero. Sendo assim, isto é igual a -2π. E aí, está! Nós descobrimos o trabalho que o campo realizou sobre a partícula, ou seja lá o que for que esteja se movendo desta maneira anti-horária. E observe que a nossa intuição se manteve. Nós, realmente, encontramos um trabalho negativo para o trabalho realizado. E isso é porque o tempo todo o campo está no sentido oposto ou estava se opondo ao movimento da partícula no seu movimento no sentido anti-horário. De qualquer maneira, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui. E quero deixar para você aqui um grande abraço, e falar que te encontro na próxima!