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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
Mostrando que, diferentemente das integrais de linha de campos escalares, as integrais de linha sobre os campos vetoriais são dependentes da direção do caminho. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA12JL – Olá, pessoal!
Tudo bem? Para a aula de hoje, vamos dizer que eu tenha uma
função de vetor posição que é dessa seguinte forma: “r(t)” igual a “x(t)” vezes a unidade vetorial “i”
mais “y(t)” vezes a unidade vetorial “j”. E, ao colocar isso em um gráfico, eu tenho
aqui o meu eixo y e aqui, o meu eixo x. E como eu disse antes, eu tenho “r(t)”,
e o meu “t” está entre “a” e “b”. Então, se meu “t” é igual a “a”,
ele vai me deixar neste vetor aqui. E isso significa que, se você
substitui por “t” igual a “a” em cima, você consegue um vetor posição
que aponta para esse local. E, conforme o “t” cresce, ele traça uma
curva igual a essa que eu desenhei. E se o “t” for
igual a “b”, vamos conseguir um vetor posição
que vai apontar para esse outro local. E isso define o caminho,
o caminho que segue para cima. E, agora, vamos dizer que tenhamos
uma outra função de vetor posição. Eu vou chamá-la também de “r(t)”, porém,
para diferenciar, vai ter uma cor diferente. E, em vez de ser “x(t)” vezes "i",
usamos “x(a+b-t)” vezes “i”; e, em vez de “y(t)”,
será “y(a+b-t)” vezes "i". E aqui o “t” também
vai estar entre “a” e “b”. Eu vou considerar o “t”
como 1 nessa situação, e essa função
fica dessa forma. Agora, para representar
igual fizemos na esquerda, tenho aqui o meu eixo y,
e aqui, o meu eixo x. O caminho dele também será
semelhante ao gráfico da esquerda porém, em vez de
iniciar igual a ele, se “t” for igual a “a” e
fizermos a substituição, o vetor vai apontar
para um outro início. E, conforme você aumenta “t”,
ao deixá-lo cada vez maior, o caminho traçado será o mesmo que
o da esquerda, mas na direção oposta. E, agora, se o
“t” é igual a “b”, ao colocar em cima, você vai conseguir
“x(a)” e “y(a)”, já que os “b” se cancelam. Então, você vai conseguir um vetor
que aponta nessa outra direção. E é bem nítido que esses caminhos, tanto o da
esquerda quanto o da direita, são os mesmos. Mas o importante aqui é que
eles seguem em direções opostas. E, para continuar, agora
vamos ter um campo vetorial “f(x,y)” igual a “P(x,y)” vezes “i”
mais “Q(x,y)” vezes “j”. Esse é um campo vetorial
que está sobre o plano xy. E o que vamos ver é como a integral de linha
desse campo vetorial que está sobre esse caminho se compara com a integral de linha do mesmo
campo vetorial que está sobre o outro caminho. Vamos chamar um de curva positiva
e o outro de curva negativa. Agora, vamos pensar em
como isso vai funcionar, com a curva positiva comparada
à curva negativa “f•dr”. Primeiro, eu vou desenhar
esse campo vetorial “f”, e eu realmente espero que não pareça para você
que eu desenhei um monte de coisa aleatória, já que o meu desenho
não é tão bom. Mas, pois bem, como já
comentamos aqui em outros vídeos, cada ponto no plano xy possui um vetor
que define ou mapeia um vetor no plano xy, mas o que é realmente importante para
nós são os pontos que estão na curva. Agora, vamos trabalhar um pouco
a lógica do que vai ser isso tudo. Vamos pegar cada um dos
pontos que seguem a linha e vamos somar o produto escalar do
valor do campo vetorial desse ponto com o “dr”, ou diferencial da
nossa função de vetor posição. E você pode pensar nisso como um vetor bem
pequeno na direção de nosso movimento. E, se pegamos esse produto escalar,
ele essencialmente será um valor escalar. Mas, se lembramos bem, o produto escalar
é a magnitude de “f” em direção de “dr” vezes a
magnitude de “dr”. Desta forma, você pode imaginar
isso como a sombra de “f” para “dr”. E eu vou desenhar algo aqui que
pode ser bem útil para visualizar isso. Esse é o caminho, esse é o “f”; e
ele, nesse ponto, fica dessa forma; e o “dr”, nesse ponto, desse jeito.
Isso é o “f”. E o produto escalar desses dois
traz uma pergunta para nós: quanto de “f” vai na
mesma direção de “dr”? E, por essa linha de pensamento,
podemos pensar nisso como uma sombra. Então, você pega o “f” que está
na mesma direção como “dr”, faz a magnitude disso vezes “dr”,
que é o produto escalar. Neste caso, vamos conseguir um número
positivo, já que o comprimento é positivo. Mas e se o nosso “dr” fosse na
direção oposta, como o caso na direita? Vou repetir o desenho. Temos o nosso “f” e ele vai parecer
com isso, como na outra curva, mas nosso “dr” vai para outra direção,
diferente do outro gráfico. Isso porque traçamos
uma curva na direção oposta. Então, se você fizer “f•dr”,
você vai pegar a sombra (ou, em outras palavras, o
quanto “f” vai na direção de “dr”) você pega a sombra e você nota
que ela vai na direção oposta de “dr”. Por isso, você pode imaginar que,
se você multiplicar as magnitudes, você vai conseguir um número
negativo, já que a direção é oposta e elas não vão para a sombra de “f”.
“dr” está na direção oposta, em contraste com este outro
exemplo que vai na direção de “dr”. E a lógica disso aqui é que esses dois,
provavelmente, são o negativo um do outro. E, agora, nós podemos fazer alguns cálculos
e verificar se esse realmente é o caso. Então, primeiro, vamos escrever
uma expressão para a diferencial “dr”. Então, nessa situação, “dr” sobre “dt” é
igual a “x’(t)” vezes “i” mais “y’(t)” vezes “j”. Um outro exemplo,
em um caso contrário, “dr” sobre “dt” é igual à derivada de “x”
em relação a “t”, que é esse termo aqui, depois, então, a derivada
da parte de dentro, que é -1, vezes a derivada de fora
em relação a dentro. Assim, “x’(a+b-t)” vezes “i”, depois a mesma coisa para o segundo termo,
a derivada de “y” que está dentro, que é -1, vezes a derivada de fora,
que é “y’(a+b-t)” vezes “j”. Temos “dr” sobre “dt” nessa situação;
“dr” sobre “dt”, na outra. E, se queremos o “dr” diferencial e
o exemplo da curva diferente, será “dr” igual a “x’(t)” vezes “i” mais
“y’(t)” vezes “j”, vezes o escalar “dt”. Eu posso multiplicá-lo por cada um desses termos,
mas é mais simples deixá-lo do lado de fora. Agora, aplicamos essa mesma
lógica aqui no outro lado. “dr” é igual a menos “x’(a+b-t)” vezes “i”
menos “y’(a+b-t)” vezes “j”, multiplicado por “dt”. E estamos prontos para expressar
isso como uma função de “t”. Então, essa curva que eu vou desenhar aqui,
vai ser igual à integral de “t” de “a” até “b” de “f”. Assim, temos “x(t)" vírgula "y(t)”
ponto isso aqui em cima, “x’(t)” vezes “i” mais “y’(t)” vezes “j”,
e isso tudo será vezes o escalar “dt”. Agora, sobre a outra parte,
pegamos a primitiva, e isso vai ser “b” ao “a”
“f” de “x(a+b-t)”, depois “y(a+b-t)” ponto
essa parte de cima, esse “dr”, e, para economizar
espaço aqui, eu vou transformar os sinais
dessa parte de cima em “mais”, e eu vou colocar o sinal
de “menos” aqui do lado. O sinal de “menos” é um valor escalar, por
isso conseguimos colocá-lo do lado de fora. E isso porque, como já temos conhecimento,
se pegamos um produto escalar, podemos tirar o escalar, digamos
assim, e podemos movimentá-lo. Agora temos “x’(a+b-t)” vezes “i”
mais “y’(a+b-t)” vezes “j”, vezes “dt”. O da esquerda representa a curva direta
e o da direita representa a curva reversa. E antes de continuar,
eu quero deixar claro que, com esse símbolo de “menos”,
nós só pegamos o produto escalar. É a mesma coisa como se fizesse negativo
vezes isso, ou negativo vezes aquilo. Não muda muito. Mas, pois bem, agora vamos
fazer uma substituição desse lado, e eu quero mostrar como isso é o negativo
da esquerda pela lógica que desenvolvemos. “u” é igual a “a+b-t”.
Depois “du” é igual a “-dt”. É só pegar a derivada
de ambos os lados. Pode ser também
“dt” é igual a “-du”. Mas, pois bem, se “t” é
igual a “a”, “u” é igual a “b”, e, se “t” é igual a “b”,
“u” é igual a “a”. Veja aqui na esquerda que “u” é igual
“a+b-t”, por isso que fica dessa forma. E, ao usar
essa substituição, simplificamos para menos a
integral de “u” se “t” é “a” e “u” é “b”. E, se “t” é “b” e “u” é “a”, igual a esse
“b” e "a" aqui de “f" de "(x(u),y(u))” (esses dois de cima são “u”) ponto “x’(u)” vezes “i”
(que é esse aqui em cima) mais “y’(u)” vezes “j”. E, em vez de pôr “dt” aqui,
eu vou colocar um “du”. “dt” é igual a “du”, então eu
posso colocar “-du” aqui, ou só colocar “du”, já que tem um sinal de
menos aqui atrás (por isso, se cancelam). E você pode pensar que essa expressão
aqui de baixo é igual à expressão de cima. e é quase isso mesmo, exceto que os limites de integração disso
que conseguimos aqui é o reverso do outro. Então, se vamos mudar isso (reverter),
precisamos transformar em negativo. Então, isso é igual a menos a integral
de “a” a “b” do vetor “f” de “(x(u),y(u)” ponto “x’(u)” vezes “i” mais
“y’(u)” vezes “j”, e por fim “du”. Agora essa integral é praticamente
idêntica à de cima, exceto por “dt” e “du”. Porém, vamos conseguir o mesmo resultado
por “a” ou “b”, dado esse vetor “f”, o caminho do
vetor posição “r(t)”. E eu sei que é bastante informação
para pegar de uma vez só, então, meio que para organizar
isso tudo na cabeça, se você está com a integral de linha sobre
campos vetoriais, a direção importa e muito. E, se você for na direção reversa,
você vai conseguir uma versão negativa. E isso é porque, ao ir na direção
contrária, temos o negativo do outro. Mas, se você está
com um campo escalar, como demonstramos já
em alguns de nossos vídeos, se você está com um campo
escalar, a direção não importa. Não tem importância por
qual direção o caminho vai, já que o caminho positivo tem
o mesmo valor que o negativo. E é isso, pessoal! Eu espero que
tenham aprendido e até a próxima!