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Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho

Mostrando que, diferentemente das integrais de linha de campos escalares, as integrais de linha sobre os campos vetoriais são dependentes da direção do caminho. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA12JL – Olá, pessoal! Tudo bem? Para a aula de hoje, vamos dizer que eu tenha uma função de vetor posição que é dessa seguinte forma: “r(t)” igual a “x(t)” vezes a unidade vetorial “i” mais “y(t)” vezes a unidade vetorial “j”. E, ao colocar isso em um gráfico, eu tenho aqui o meu eixo y e aqui, o meu eixo x. E como eu disse antes, eu tenho “r(t)”, e o meu “t” está entre “a” e “b”. Então, se meu “t” é igual a “a”, ele vai me deixar neste vetor aqui. E isso significa que, se você substitui por “t” igual a “a” em cima, você consegue um vetor posição que aponta para esse local. E, conforme o “t” cresce, ele traça uma curva igual a essa que eu desenhei. E se o “t” for igual a “b”, vamos conseguir um vetor posição que vai apontar para esse outro local. E isso define o caminho, o caminho que segue para cima. E, agora, vamos dizer que tenhamos uma outra função de vetor posição. Eu vou chamá-la também de “r(t)”, porém, para diferenciar, vai ter uma cor diferente. E, em vez de ser “x(t)” vezes "i", usamos “x(a+b-t)” vezes “i”; e, em vez de “y(t)”, será “y(a+b-t)” vezes "i". E aqui o “t” também vai estar entre “a” e “b”. Eu vou considerar o “t” como 1 nessa situação, e essa função fica dessa forma. Agora, para representar igual fizemos na esquerda, tenho aqui o meu eixo y, e aqui, o meu eixo x. O caminho dele também será semelhante ao gráfico da esquerda porém, em vez de iniciar igual a ele, se “t” for igual a “a” e fizermos a substituição, o vetor vai apontar para um outro início. E, conforme você aumenta “t”, ao deixá-lo cada vez maior, o caminho traçado será o mesmo que o da esquerda, mas na direção oposta. E, agora, se o “t” é igual a “b”, ao colocar em cima, você vai conseguir “x(a)” e “y(a)”, já que os “b” se cancelam. Então, você vai conseguir um vetor que aponta nessa outra direção. E é bem nítido que esses caminhos, tanto o da esquerda quanto o da direita, são os mesmos. Mas o importante aqui é que eles seguem em direções opostas. E, para continuar, agora vamos ter um campo vetorial “f(x,y)” igual a “P(x,y)” vezes “i” mais “Q(x,y)” vezes “j”. Esse é um campo vetorial que está sobre o plano xy. E o que vamos ver é como a integral de linha desse campo vetorial que está sobre esse caminho se compara com a integral de linha do mesmo campo vetorial que está sobre o outro caminho. Vamos chamar um de curva positiva e o outro de curva negativa. Agora, vamos pensar em como isso vai funcionar, com a curva positiva comparada à curva negativa “f•dr”. Primeiro, eu vou desenhar esse campo vetorial “f”, e eu realmente espero que não pareça para você que eu desenhei um monte de coisa aleatória, já que o meu desenho não é tão bom. Mas, pois bem, como já comentamos aqui em outros vídeos, cada ponto no plano xy possui um vetor que define ou mapeia um vetor no plano xy, mas o que é realmente importante para nós são os pontos que estão na curva. Agora, vamos trabalhar um pouco a lógica do que vai ser isso tudo. Vamos pegar cada um dos pontos que seguem a linha e vamos somar o produto escalar do valor do campo vetorial desse ponto com o “dr”, ou diferencial da nossa função de vetor posição. E você pode pensar nisso como um vetor bem pequeno na direção de nosso movimento. E, se pegamos esse produto escalar, ele essencialmente será um valor escalar. Mas, se lembramos bem, o produto escalar é a magnitude de “f” em direção de “dr” vezes a magnitude de “dr”. Desta forma, você pode imaginar isso como a sombra de “f” para “dr”. E eu vou desenhar algo aqui que pode ser bem útil para visualizar isso. Esse é o caminho, esse é o “f”; e ele, nesse ponto, fica dessa forma; e o “dr”, nesse ponto, desse jeito. Isso é o “f”. E o produto escalar desses dois traz uma pergunta para nós: quanto de “f” vai na mesma direção de “dr”? E, por essa linha de pensamento, podemos pensar nisso como uma sombra. Então, você pega o “f” que está na mesma direção como “dr”, faz a magnitude disso vezes “dr”, que é o produto escalar. Neste caso, vamos conseguir um número positivo, já que o comprimento é positivo. Mas e se o nosso “dr” fosse na direção oposta, como o caso na direita? Vou repetir o desenho. Temos o nosso “f” e ele vai parecer com isso, como na outra curva, mas nosso “dr” vai para outra direção, diferente do outro gráfico. Isso porque traçamos uma curva na direção oposta. Então, se você fizer “f•dr”, você vai pegar a sombra (ou, em outras palavras, o quanto “f” vai na direção de “dr”) você pega a sombra e você nota que ela vai na direção oposta de “dr”. Por isso, você pode imaginar que, se você multiplicar as magnitudes, você vai conseguir um número negativo, já que a direção é oposta e elas não vão para a sombra de “f”. “dr” está na direção oposta, em contraste com este outro exemplo que vai na direção de “dr”. E a lógica disso aqui é que esses dois, provavelmente, são o negativo um do outro. E, agora, nós podemos fazer alguns cálculos e verificar se esse realmente é o caso. Então, primeiro, vamos escrever uma expressão para a diferencial “dr”. Então, nessa situação, “dr” sobre “dt” é igual a “x’(t)” vezes “i” mais “y’(t)” vezes “j”. Um outro exemplo, em um caso contrário, “dr” sobre “dt” é igual à derivada de “x” em relação a “t”, que é esse termo aqui, depois, então, a derivada da parte de dentro, que é -1, vezes a derivada de fora em relação a dentro. Assim, “x’(a+b-t)” vezes “i”, depois a mesma coisa para o segundo termo, a derivada de “y” que está dentro, que é -1, vezes a derivada de fora, que é “y’(a+b-t)” vezes “j”. Temos “dr” sobre “dt” nessa situação; “dr” sobre “dt”, na outra. E, se queremos o “dr” diferencial e o exemplo da curva diferente, será “dr” igual a “x’(t)” vezes “i” mais “y’(t)” vezes “j”, vezes o escalar “dt”. Eu posso multiplicá-lo por cada um desses termos, mas é mais simples deixá-lo do lado de fora. Agora, aplicamos essa mesma lógica aqui no outro lado. “dr” é igual a menos “x’(a+b-t)” vezes “i” menos “y’(a+b-t)” vezes “j”, multiplicado por “dt”. E estamos prontos para expressar isso como uma função de “t”. Então, essa curva que eu vou desenhar aqui, vai ser igual à integral de “t” de “a” até “b” de “f”. Assim, temos “x(t)" vírgula "y(t)” ponto isso aqui em cima, “x’(t)” vezes “i” mais “y’(t)” vezes “j”, e isso tudo será vezes o escalar “dt”. Agora, sobre a outra parte, pegamos a primitiva, e isso vai ser “b” ao “a” “f” de “x(a+b-t)”, depois “y(a+b-t)” ponto essa parte de cima, esse “dr”, e, para economizar espaço aqui, eu vou transformar os sinais dessa parte de cima em “mais”, e eu vou colocar o sinal de “menos” aqui do lado. O sinal de “menos” é um valor escalar, por isso conseguimos colocá-lo do lado de fora. E isso porque, como já temos conhecimento, se pegamos um produto escalar, podemos tirar o escalar, digamos assim, e podemos movimentá-lo. Agora temos “x’(a+b-t)” vezes “i” mais “y’(a+b-t)” vezes “j”, vezes “dt”. O da esquerda representa a curva direta e o da direita representa a curva reversa. E antes de continuar, eu quero deixar claro que, com esse símbolo de “menos”, nós só pegamos o produto escalar. É a mesma coisa como se fizesse negativo vezes isso, ou negativo vezes aquilo. Não muda muito. Mas, pois bem, agora vamos fazer uma substituição desse lado, e eu quero mostrar como isso é o negativo da esquerda pela lógica que desenvolvemos. “u” é igual a “a+b-t”. Depois “du” é igual a “-dt”. É só pegar a derivada de ambos os lados. Pode ser também “dt” é igual a “-du”. Mas, pois bem, se “t” é igual a “a”, “u” é igual a “b”, e, se “t” é igual a “b”, “u” é igual a “a”. Veja aqui na esquerda que “u” é igual “a+b-t”, por isso que fica dessa forma. E, ao usar essa substituição, simplificamos para menos a integral de “u” se “t” é “a” e “u” é “b”. E, se “t” é “b” e “u” é “a”, igual a esse “b” e "a" aqui de “f" de "(x(u),y(u))” (esses dois de cima são “u”) ponto “x’(u)” vezes “i” (que é esse aqui em cima) mais “y’(u)” vezes “j”. E, em vez de pôr “dt” aqui, eu vou colocar um “du”. “dt” é igual a “du”, então eu posso colocar “-du” aqui, ou só colocar “du”, já que tem um sinal de menos aqui atrás (por isso, se cancelam). E você pode pensar que essa expressão aqui de baixo é igual à expressão de cima. e é quase isso mesmo, exceto que os limites de integração disso que conseguimos aqui é o reverso do outro. Então, se vamos mudar isso (reverter), precisamos transformar em negativo. Então, isso é igual a menos a integral de “a” a “b” do vetor “f” de “(x(u),y(u)” ponto “x’(u)” vezes “i” mais “y’(u)” vezes “j”, e por fim “du”. Agora essa integral é praticamente idêntica à de cima, exceto por “dt” e “du”. Porém, vamos conseguir o mesmo resultado por “a” ou “b”, dado esse vetor “f”, o caminho do vetor posição “r(t)”. E eu sei que é bastante informação para pegar de uma vez só, então, meio que para organizar isso tudo na cabeça, se você está com a integral de linha sobre campos vetoriais, a direção importa e muito. E, se você for na direção reversa, você vai conseguir uma versão negativa. E isso é porque, ao ir na direção contrária, temos o negativo do outro. Mas, se você está com um campo escalar, como demonstramos já em alguns de nossos vídeos, se você está com um campo escalar, a direção não importa. Não tem importância por qual direção o caminho vai, já que o caminho positivo tem o mesmo valor que o negativo. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido e até a próxima!