Introdução à integral de linha

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos começar a falar a respeito de integrais de linha e quando queremos saber a área sobre uma curva em um plano por exemplo se tivermos aqui o plano cartesiano e uma função qualquer fdx Como podemos encontrar a área entre o ponto x = e x = b nós já vemos isto em diversas aulas para encontrar essa área aqui nós devemos dividi-la em infinito G tango luz com larguras muito muito pequenas e essa largura é tão pequena que podemos chamar de destin e altura vai ser o fdx naquele. Então área de um retângulo vai ser f de x DX Ou seja a área desse retângulo e embora ele esteja grande aqui na minha figura é um o infinitesimalmente pequeno e lembre-se nós vamos ter infinito G Tango e desci para cobrir toda a área entre a e b e para representar essa soma nós utilizamos esse símbolo aqui que é o símbolo de integral que vai de ar até mesmo então basicamente é assim que representamos a área sobre essa curva isso no plano e o que vamos fazer nessa aula É estender esse conceito para três dimensões E para isso vamos utilizar o plano tridimensional aqui onde o eixo Y está nessa direção o eixo X aqui e eu posso definir a trajetória de uma partícula nesse plano E para isso nós vamos precisar parametrizar as variáveis x e y o que isso quer dizer simples nós dizemos que o x é igual alguma função que é de um parâmetro t e que o y seja igual a outra função que dependa também do caramba é tudo ter e esse te ele varia entre a e b e assim que você define a trajetória de uma partícula no plano XY tá quando eu ter for igual a o x vai ser igual a Geise ar e o y vai ser igual a h dia então quando X = jediah você vai ter o ponto G de ar HDI a ou seja o HD a está aqui e aí o te continua variando até que fica igual AB O que significa que o movimento da partícula vai ser mais ou menos esse aqui E essa trajetória é uma curva que podemos chamar de ser e agora Digamos que eu tenha uma outra função que associa cada ponto do plano XY com ao o Digamos que essa função seja f de x y ela basicamente pega os valores do plano XY e associa a um valor e eu posso colocar o gráfico dela aqui basicamente Se você pegar qualquer tonto nesse plano XY e jogar nessa função f de x y você vai obter um ponto no espaço isso fica mais claro quando olhamos alguns exemplos mais concretos vamos dizer que f de x y seja uma superfície mais ou menos assim Claro meu desenho não está totalmente alinhado mas algo mais ou menos assim e lembre-se se eu pegar o valor qualquer desse plano XY e colocar nessa função nós vamos ter o valor no espaço e claro essa função pode ser qualquer uma por exemplo f de x y pode ser igual a x mais Y bom então f de x y pode ser igual a x vezes Y nesse caso se x = um Y = 2 f de x e y vai ser igual a 1 x 2 q = 2 e 1 + 2 = 3 sempre você vai encontrar um valor constante e O interessante é que quando você coloca todos os pontos do plano XY na função você vai obter essa superfície e agora eu quero fazer algo interessante dessa vez eu não quero encontrar a área sobre essa curva mas sim a área que passa por essa cor você aqui é como se fosse uma trajetória linear e vai de X = até x igual AB e ac a trajetória é essa cor você e se você colocasse todos os pontos da curva na função você encontrar uma área mais ou É sim e traçar elas sobre a superfície e Imagine que isso aqui é como se fosse uma parede uma superfície na qual você está colocando várias Cortinas e com isso você teria a parede e aqui embaixo você teria o chão você também pode ligar outro ponto aqui com isso vai ter um retângulo aqui e outro aqui e claro vários outros basicamente o que eu estou querendo dizer é que você vai ter uma espécie de parede curva aqui eu que queremos saber nessa aula é como achar a área dela ou seja como achar a área dessa superfície que aparece Se você pegar pontos do plano XY e colocar na função deixa até completar o desenho aqui deixa eu reforçar nós podemos utilizar essa mesma analogia ou seja se fizemos uma pequena variação na distância da nossa curva nós e como chamar de DS e se multiplicarmos essa mudança pelo f de x y esse ponto nós conseguimos achar a área desse retângulo esse aqui que eu estou pintando esse desse você pode basicamente imaginar como uma pequena mudança uma pequena variação no comprimento do arco da curva ou apenas uma pequena mudança no comprimento do arco e com isso você já pode imaginar que a área desse retângulo vai ser a base que nesse caso é o DS vezes altura que é f de x y e Se quisermos calcular a soma desses infinitos retângulos utilizamos a integral de T = até ter Igual AB desse f de x y vezes DS Isso aqui vai dar a área que estamos procurando claro isso e ainda é muito abstrato mais à frente nós vamos ver algumas aplicações que você vai ver que faz muito sentido e nós podemos colocar tudo isso aqui é em função de ter primeiramente vamos nos concentrar nesse DF e eu posso colocar o eixo X e Y aqui de novo e reflexivo e colocar desse jeito e com isso essa cor você se você estiver olhando de cima vai ser algo mais ou menos assim esse aqui vai ser igual a e esse o t = bi E aí temos uma pequena variação do comprimento da nossa curva que chamamos de DS e será que existe alguma forma de relacioná-lo com o mudanças infinitas e mais em x e y se você perceber desse ponto inicial até o ponto final tivemos uma pequena variação em x e uma pequena variação em y e essa pequena é Sanchez que eu posso colocar aqui nós podemos chamar de The Sims e a pequena variação em Y nós podemos chamar de ida Y se você perceber aqui foi formado um triângulo retângulo e nós podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular esse DS E lembrando que o teorema de Pitágoras de que o quadrado da hipotenusa aqui nesse caso é o DS é igual a soma dos quadrados dos catetos ou seja de x ao quadrado mais y ao quadrado e como o DS é um comprimento Isso vai ser igual à raiz quadrada de de x ao quadrado mais de y ao quadrado e com isso podemos reescrever essa expressão utilizando essa raiz quadrada ou seja podemos reescrever a integral de ter Igual a até t = eu vi f de x y vezes pudesse só que o DS é igual a essa raiz quadrada e com isso multiplicamos aquela raiz quadrada de 10 x ao quadrado mais da y ao quadrado mas ainda não chegamos onde queremos porque aqui tem uns te e a integral só tem X e Y ou seja precisamos colocar tudo em termos de ter nós sabemos que x e y são funções de ter correto e com isso nós podemos reescrever a integral como a integral de ter Igual a até ter Igual AB de X GT já que eu x = x DT Y DT já que o y é uma função de ter e multiplicamos isso pela raiz quadrada de de x ao quadrado mais da y ao quadrado mas ainda não temos nada em termos de nós precisamos colocar de Ti em algum lugar aqui para calcular essa integral e vamos ver isso mais à frente mas eu só quero te dar uma noção a respeito disso nós podemos manipular os diferenciais algebricamente nós podemos multiplicar por deter e dividir por de ter ao mesmo tempo isso não vai mudar o valor da expressão deixa eu colocar isso aqui ao lado para você entender melhor nós temos a raiz quadrada de dois x ao quadrado mais de y ao quadrado e aí podemos multiplicar isso poder ter e ao mesmo tempo dividir por deter ou seja isso vai dar um e não vai alterar o resultado mas manipulando algebricamente nós podemos colocar essa parte dentro da raiz como nós podemos colocar um sobre de ti que multiplica a raiz quadrada de x ao quadrado mais da y ao quadrado o e multiplicamos por de ti que é esse de te aqui ou seja eu só escrevi essa parte e aí se eu quiser colocar esse um sobre de dentro da raiz quadrada eu posso levar ele ao quadrado e colocar como a raiz quadrada de um sobre de t ao quadrado que multiplica de x ao quadrado mais de y ao quadrado e um de aqui do lado de fora se você tirar a raiz quadrada de si um sobre de Théo quadrado você volta para essa parte e se você aplicar a distributiva você vai ficar com raiz quadrada de x sobre de t ao quadrado mais de y sobre de t ao quadrado vezes de ter basicamente o que eu fiz aqui foi aplicar a distributiva e como ambos os termos vão ficar ao quadrado eu posso colocar somente esse quadrado aqui e agora nós vamos pegar essa parte e substituir aqui então reescrevendo vamos ficar com a integral de T = até ter Igual ab&df DX DT Y DT vezes essa parte aqui que é igual a essa e qual é a integral de X em relação a ter é a mesma coisa que a derivada disso aqui ou seja deixe de ter é igual a derivada de G de ter e da Y DT é igual a derivada de hdt basicamente se conhecemos essas duas funções podemos achar as suas derivadas em relação a ter mais claro nessa aula eu vou deixar exatamente igual eu fiz aqui ou seja a raiz quadrada de 10x de t ao quadrado + d y d t ao quadrado vezes de ter essa e parece algo bem complicado né mas na verdade nós conseguimos usá-la com certa facilidade e você vai ver que ela auxilia em diversas aplicações do cálculo basicamente nós simplificamos esse problema de comprimento de arco ou integral de linha né Nós estamos calculando a integral sobre uma curva ou sobre uma linha ao invés de calcular somente em um intervalo no eixo X e nós colocamos tudo isso em termos de te deu muito trabalho mas basicamente você tem que entender que isso aqui é o Desce a variação de distância no comprimento do arco da curva e isso aqui é a altura do retângulo e essa é a integral e representa a soma dos infinitos retângulos para calcular a área pedida entre T = até ter Igual a Bi Eu espero que essa aula tem te ajudado a próxima pessoal