Introdução à integral de linha

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos começar a falar a respeito de integrais de linha. Quando queremos saber a área sobre uma curva em um plano, por exemplo, se tivermos aqui um plano cartesiano e uma função qualquer, f(x), como podemos encontrar a área entre um ponto x igual a “a” e x igual a “b”? Nós já vimos isso em diversas aulas. Para encontrar essa área aqui, nós devemos dividi-la em infinitos retângulos com larguras muito, muito pequenas e essa largura é tão pequena que podemos chamar de dx e a altura vai ser o f(x) naquele ponto. Então, a área de um retângulo vai ser f(x) vezes dx, ou seja, a área desse retângulo, e embora ele esteja grande na minha figura, é um retângulo infinitesimalmente pequeno. Lembre-se: nós vamos ter infinitos retângulos desse para cobrir toda a área entre “a” e “b”. Para representar essa soma, nós utilizamos esse símbolo, que é o símbolo de integral, que vai de “a” até “b”. Então, basicamente, é assim que representamos a área sob essa curva, isso no plano. O que vamos fazer nessa aula é estender esse conceito para três dimensões. Para isso, vamos utilizar um plano tridimensional aqui em que o eixo y está nessa direção, o eixo x aqui e eu posso definir a trajetória de uma partícula nesse plano. Para isso, nós vamos precisar parametrizar as variáveis x e y. O que isso quer dizer? Simples. Nós dizemos que x é igual a alguma função que dependa de um parâmetro t e que y seja igual à outra função que dependa também do parâmetro t. Esse t varia entre “a” e “b”, e é assim que você define a trajetória de uma partícula no plano xy. Quando t for igual a “a”, x vai ser igual a g(a) e y vai ser igual a h(a). Então, quando x for igual a g(a), você vai ter o ponto (g(a), h(a)), ou seja, o h(a) está aqui e t continua variando até que fica igual a “b”, o que significa que o movimento da partícula vai ser mais ou menos esse aqui. Essa trajetória é uma curva que podemos chamar de "c". Agora, digamos que eu tenha uma outra função que associa cada ponto do plano xy com algum valor. Digamos que essa função seja f(x,y). Ela, basicamente, pega os valores do plano xy e associa a um valor. Eu posso colocar o gráfico dela aqui. Basicamente, se pegar qualquer ponto nesse plano xy e jogar nessa função f(x,y), você vai obter um ponto no espaço. Isso fica mais claro quando olhamos alguns exemplos mais concretos. Vamos dizer que f(x,y) seja uma superfície mais ou menos assim. Claro, meu desenho não está totalmente alinhado, mas algo mais ou menos assim. Lembre-se de que, se eu pegar um valor qualquer desse plano xy e colocar nessa função, nós vamos ter um valor no espaço. E claro, essa função pode ser qualquer uma. Por exemplo, f(x,y) pode ser igual a x mais y ou então f(x,y) pode ser igual a x vezes y. Nesse caso, se x é igual a 1 e y é igual a 2, f(x,y) vai ser igual a 1 vez 2, que é igual a 2 e 1 mais 2 é igual a 3. Sempre você vai encontrar um valor constante e o interessante é que quando coloca todos os pontos do plano xy na função, você vai obter essa superfície. Agora, eu quero fazer algo interessante. Dessa vez eu não quero encontrar a área sob essa curva, mas sim a área que passa por essa curva c. Aqui é como se fosse uma trajetória linear, que vai de x igual a “a” até x igual a “b” e aqui a trajetória é essa curva c. Se colocasse todos os pontos da curva na função, você encontraria uma área mais ou menos assim e a traçaria sobre a superfície. Imagine que isso aqui é como se fosse uma parede, uma superfície na qual você está colocando várias cortinas e, com isso, você teria a parede e, aqui embaixo, teria o chão. Você também pode ligar outro ponto aqui. Com isso, vai ter um retângulo aqui e outro aqui, e, claro, vários outros. Basicamente, o que eu estou querendo dizer é que você vai ter uma espécie de parede curva aqui e o que queremos saber nesta aula é como achar a área dela, ou seja, como achar a área dessa superfície que aparece se você pegar pontos do plano xy e colocar na função. Deixe-me até completar o desenho, deixe-me reforçar. Nós podemos utilizar essa mesma analogia, ou seja, se fizermos uma pequena variação na distância da nossa curva, nós poderemos chamar de ds, e se multiplicarmos essa mudança pelo f(x,y) nesse ponto, conseguiremos achar a área desse retângulo. Esse aqui que eu estou pintando. Esse ds você pode, basicamente, imaginar como uma pequena mudança, uma pequena variação no comprimento do arco da curva, ou apenas uma pequena mudança no comprimento do arco. Com isso, você já pode imaginar que a área desse retângulo vai ser a base, que nesse caso é o ds, vezes altura, que é f(x,y), e se quisermos calcular a soma desses infinitos retângulos, utilizaremos a integral de t igual a “a” até t igual a “b” desse f(x,y) vezes ds. Isso aqui vai dar a área que estamos procurando. Claro, isso tudo ainda é muito abstrato. Mais à frente nós vamos ver algumas aplicações que você vai ver que fazem muito sentido. Nós podemos colocar tudo isso aqui em função de t. Primeiramente, vamos nos concentrar nesse ds. Eu posso colocar o eixo xy aqui de novo, refleti-lo e colocá-lo desse jeito. Com isso, essa curva c, se você estiver olhando de cima, vai ser algo mais ou menos assim. Esse aqui vai ser t igual a “a” e esse, t igual a “b” e temos uma pequena variação do comprimento da nossa curva, que chamamos de ds. Será que existe alguma forma de relacioná-lo com mudanças infinitesimais em x e y? Se você perceber desse ponto inicial até o ponto final, tivemos uma pequena variação em x e uma pequena variação em y e essa pequena variação em x, que eu posso colocar aqui, nós podemos chamar de dx e a pequena variação em y nós podemos chamar de dy. Se você perceber, aqui foi formado um triângulo retângulo e nós podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular esse ds. Lembrando que o teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa, que nesse caso é o ds, é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, dx² mais dy², e como o ds é um comprimento, isso vai ser igual à raiz quadrada de (dx² mais dy²). Com isso, podemos reescrever essa expressão utilizando essa raiz quadrada, ou seja, podemos reescrever a integral de t igual a “a” até t igual a “b” de f(x,y) vezes ds, só que o ds é igual a essa raiz quadrada, e, com isso, multiplicamos pela raiz quadrada de (dx² mais dy²), mas ainda não chegamos aonde queremos porque aqui temos t e a integral só tem x e y, ou seja, precisamos colocar tudo em termos de t. Nós sabemos que x e y são funções de t, correto? Com isso, nós podemos reescrever a integral como a integral de t igual a “a” até t igual a “b” de x(t), já que x é igual a x(t), e y(t), já que y é uma função de t, e multiplicamos isso pela raiz quadrada de (dx² mais dy²) mas ainda não temos nada em termos de t. Precisamos colocar dt em algum lugar aqui para calcular essa integral. Vamos ver isso mais à frente. Mas eu só quero dar uma noção a respeito disso. Nós podemos manipular os diferenciais algebricamente. Podemos multiplicar por dt e dividir por dt ao mesmo tempo. Isso não vai mudar o valor da expressão. Deixe-me colocar isso aqui ao lado para você entender melhor. Nós temos a raiz quadrada de (dx² mais dy²) e podemos multiplicar isso por dt e, ao mesmo tempo, dividir por dt, ou seja, isso vai dar 1 e não vai alterar o resultado. Mas, manipulando algebricamente, nós podemos colocar essa parte dentro da raiz. Como? Nós podemos colocar 1 sobre dt, que multiplica a raiz quadrada de (dx² mais dy²) e multiplicamos por dt, que é esse dt aqui, ou seja, eu só reescrevi essa parte. E se eu quiser colocar esse 1 sobre dt dentro da raiz quadrada, posso elevá-lo ao quadrado e colocar como a raiz quadrada de 1 sobre (dt)² que multiplica (dx² mais dy²) e um dt do lado de fora. Se retirar a raiz quadrada desse 1 sobre (dt)², você volta para essa parte e se aplicar a distributiva, você vai ficar com raiz quadrada (dx sobre dt)² mais (dy sobre dt)² vezes dt. Basicamente, o que eu fiz aqui foi aplicar a distributiva e como ambos os termos vão ficar ao quadrado, eu posso colocar somente esse quadrado aqui. Agora, nós podemos pegar essa parte e substituir aqui. Então, reescrevendo, vamos ficar com a integral de t igual a “a” até t igual a “b” de f(x(t), y(t)) vezes dessa parte aqui, que é igual a essa, e qual é a integral de x em relação a t? É a mesma coisa que a derivada disso aqui, ou seja, dx/dt é igual a à derivada de g(t) e dy/dt é igual à derivada de h(t). Basicamente, se conhecemos essas duas funções, podemos achar as suas derivadas em relação a t. Mas, claro, nessa aula eu vou deixar exatamente igual ao que eu fiz aqui, ou seja, à raiz quadrada de (dx/dt)² mais (dy/dt)² vezes dt. Essa fórmula parece algo bem complicado, mas, na verdade, nós conseguimos usá-la com certa facilidade e você vai ver que ela auxilia em diversas aplicações do cálculo. Basicamente, nós simplificamos esse problema de comprimento de arco, ou integral de linha. Nós estamos calculando a integral sob uma curva ou sob uma linha em vez de calcular somente em um intervalo no eixo x. Nós colocamos tudo isso em termos de t. Deu muito trabalho, mas, basicamente, você tem que entender que isso aqui é ds, a variação de distância no comprimento do arco da curva, isso aqui é a altura do retângulo e essa é a integral que representa a soma dos infinitos retângulos para calcular a área pedida de t igual a “a” até t igual a “b”. Eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!