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Transcrição de vídeo

Se estivermos lidando só com duas dimensões e quisermos encontrar a área embaixo da curva, temos boas ferramentas na nossa caixa de ferramentas para fazer isso e eu irei somente recordar-nos das nossas ferramentas. Digamos que essa seja o eixo x, aquele é o eixo y, deixe-me desenhar uma função arbitrária aqui, e esta é a minha função de x. E digamos que eu queira encontrar a área entre x igual a a, então aquele é x igual a a, e x igual a b. Nós vimos isso há muitos vídeos atrás. A maneira na qual você pode pensar nisso é usar comprimentos bem pequenos de x, ou pequenas mudanças em x. Nós poderíamos chamá-los de delta x's, mas por conta de serem tão pequenos os chamaremos de dx. Muito bem, mudanças infinitesimais em x. E então você as multiplica pelo valor de f naquele ponto x. Você pode multiplicá-la pela altura naquele ponto, que é o valor de f de x. Você obtém f de x vezes cada uma dessas bases infinitesimais, isso lhe dará a área desse retângulo infinitamente estreito logo aqui. E já que cada um desses caras é infinitamente pequeno, você terá um número infinito desses retângulos para preencher o espaço. Você terá um número infinito disso, certo? Então a ferramenta que usamos foi a integral definida. A integral definida é uma soma, é uma soma infinita dessas áreas infinitesimalmente pequenas, ou esses retângulos infinitamente pequenos. E as notações que usamos, elas iriam de a a b. E fizemos vários vídeos em como calcular essas coisas. Eu quero só lembrá-lo, conceitualmente, o que isso está dizendo. Isso está conceitualmente dizendo, usemos uma pequena mudança em x, o multiplica pela altura naquele ponto, e você terá um número infinito desses, por que esses x's são muito pequenos, eles são infinitamente pequenas, então você terá um número infinito daqueles. Então pegue uma soma infinita de todas essas coisas, de x igual a a até x igual a b. E essa será a nossa integral definida padrão. Agora o que eu quero fazer nesse vídeo é estender isso, expandir um pouco, para resolver -- eu acho que poderia chamar isso de classe de problemas mais difíceis ou mais extensa. Digamos que estamos -- vamos para três dimensões agora. E eu só vou desenhar o plano XY primeiro. Talvez manterei isso, só para deixar a analogia clara. Eu irei achatar isso para que tenhamos alguma perspectiva. Digamos que isso aqui é o eixo y, meio que indo para trás da tela. Você pode imaginar como se eu apenas empurrasse isso e o derrubasse. E esse é o eixo y e aquele é o meu eixo x logo ali. E digamos que eu tenha uma trajetória no plano XY. E para definir uma trajetória no plano XY, eu terei que parametrizar ambas as variáveis x e y. Digamos que x é igual a -- deixe-me mudar de cores. Eu estou usando muito laranja. Digamos que x é igual a alguma função de algum parâmetro t e digamos que y é igual a alguma outra função desse mesmo parâmetro t e digamos que iremos começar -- teremos t ir de -- t será maior ou igual a a e menor ou igual a b. Agora isso irá definir uma trajetória no plano XY e se isso parece confuso, você pode revisar os vídeos de equações paramétricas. Mas essencialmente quando t é igual a a, você terá x igual a -- t é igual a a e você terá x igual a g de a, e você terá y igual a h de a. Você terá esse ponto logo aqui, então talvez isso possa ser, sei lá, eu vou desenhar um ponto aleatório aqui. Quando t é igual a a, você irá plotar a coordenada g de a. Essa será a nossa coordenada x. Esse é g de a, logo aqui. E a nossa coordenada y será h de a. Certo? Eu vou só colocar t igual a a em cada uma dessas equações e então você obtém um valor de x e y. E essa coordenada logo aqui seria h de a. E você continua incrementando t mais e mais até chegar a b, mas você terá uma série de pontos que irão se parecer a algo assim. Isso logo aqui é uma curva, ou uma trajetória, no plano XY. E você está dizendo: como isso está relacionado àquilo agora? O que estamos fazendo? Bom, deixe-me escrever um c aqui, essa é a nossa curva, essa é a nossa trajetória. Agora, digamos que eu tenha outra função que associa todo ponto no plano XY com algum valor. Digamos que eu tenha uma função, f de xy. O que isso faz é associar todo ponto no plano XY com algum valor. Deixe-me plotar f de xy. Farei um eixo vertical aqui. Poderíamos fazer isso em uma cor diferente. Chame isso de eixo de f de xy -- talvez possamos chamar isso de eixo z, se quiser. Mas um eixo vertical logo aqui. E para todo ponto -- se você me der um x e um y e os colocarem na minha função f de xy, você obterá algum ponto. Então eu posso somente desenhar algum tipo de superfície que represente f de x y. E isso se tornará muito mais concreto quando eu fizer alguns exemplos concretos. Digamos que f de x y se pareça a algo assim. Eu darei o meu melhor para desenhá-la. Farei isso com outra cor. Digamos f de x y. Uma superfície qualquer. Desenharei parte dela. É uma superfície qualquer que se parece a algo assim. Isso é f de x y. E lembre-se, tudo isso é você usar um x, usar um y, os usa em f de x y, e isso resultará em um terceiro valor que iremos plotar nesse eixo vertical aqui. Quer dizer, exemplo, f de x y? Poderia ser -- não digo que esse é um caso específico -- poderia ser x mais y. Poderia ser f de x y. Esses são só exemplos. Isso poderia ser x vezes y. Se x é um, y é dois, f de x y será um vezes dois. Mas digamos que quando você plota para todos os pontos no plano xy, quando você plota f de x y você obtém essa superfície aqui e nós queremos fazer algo interessante. Nós não queremos descobrir a área abaixo da curva, isso foi muito simples quando fizemos isso na primeira vez. Queremos encontrar a área se você imaginar uma cortina, ou uma cerca, que passa por essa curva. Você pode imaginar isso como sendo uma trajetória bem linear passando somente sobre o eixo x de a e b. Agora temos essa trajetória curva maluca que passa pelo plano XY. E você pode imaginar que se você desenhasse uma parede, ou uma cortina, ou uma cerca, que fosse para cima daqui até f de x y -- vou fazer o esforço para desenhar bem isso. Deixe-me desenhar isso. Irá ali para cima e talvez esse ponto corresponda a esse. E quando você desenha aquela cortina para cima, ela irá interceptá-la dessa forma. Digamos que se pareça a isso. Esse ponto corresponde a aquele ponto logo ali. Se você imaginar que você tem uma cortina, f de xy é o teto, e esse é a, o que eu desenhei aqui, essa curva, isso lhe mostra a parte de baixo da parede. Essa é uma parede maluca qualquer. E digamos que esse ponto corresponde a -- bom, deixe-me desenhar isso um pouco diferente. Esse ponto corresponderá a algum ponto aqui, então quando você rastrear onde ele a intercepta vai se parecer como algo assim, não sei. Algo assim. E eu estou dando o meu melhor para lhe ajudar a visualizar isso. Talvez usar sombras o faça parecer mais sólido, digamos que f de xy é um pouco transparente. Você pode ver isso. Mas você tem essa parede curva aqui. E o objetivo deste vídeo é como descobrir a área dessa parede curva, essa é essencialmente a parede ou a cerca que aparece se você for dessa curva e pular e atingir o teto de f de xy. Pensemos em como podemos fazer isso. Bom, se usarmos somente a analogia do que fizemos anteriormente poderíamos dizer -- bom, veja. Façamos uma pequena mudança na distância da nossa curva. Chamemos isso de ds. Essa é uma pequena mudança na distância da minha curva, logo aqui. E se eu multiplicar essa mudança na distância da curva vezes f de x y naquele ponto, eu obterei a área daquele pequeno retângulo logo ali. Certo? Se eu usar ds, a mudança no -- você pode imaginar o comprimento do arco dessa curva naquele ponto, então vou escrever, você sabe, ds é igual à pequena mudança no comprimento do arco da nossa trajetória, ou na nossa curva. Esse é o nosso ds. Você pode imaginar que a área daquele pequeno retângulo ali, ao longo da minha parede curva, será ds -- usarei S maiúsculo -- ds vezes a altura naquele ponto. Bom, aquele é f de x y. E se eu calcular a soma, por que eles são infinitamente estreitos, esses ds's tem comprimento infinitamente pequeno -- se calcularmos a soma infinita de todos esses caras, de t igual a a até t igual a b -- de t igual a a eu continuo calculando a soma de todos esses retângulos, até t igual a b, logo ali, isso me dará a minha área. Eu usarei somente a mesma lógica que eu usei logo ali. Eu não estou sendo matematicamente rigoroso, mas eu quero lhe dar a intuição do que estamos fazendo. Estamos somente dobrando a base disso para obter uma parede curva ao invés de uma parede reta como tínhamos logo aqui. Mas você está dizendo: Sal, isso é tudo abstrato e como eu posso calcular algo assim, isso não faz sentido para mim, eu tenho um s aqui, eu tenho um x e um y, eu tenho um t, o que posso fazer com isso? Vejamos se podemos fazer algum progresso. E eu lhe prometo, quando fizermos isso com um problema concreto, o produto final deste vídeo será um pouco confuso de se ver. Mas quando fizermos o problema real, ele será, eu acho, bem concreto, e você verá que não é difícil de lidar. Mas vejamos se podemos fazer tudo em função de t. Primeiro de tudo, nos concentremos nesse ds. Vou usar o eixo xy de novo. Se eu fosse virar o eixo xy -- vou mudar de cores, isso está ficando um pouco monótono. Se eu virasse o eixo xy assim -- vou fazer aquilo com o mesmo verde, assim saberemos que estamos lidando com o mesmo eixo xy. Esse é o meu eixo y, esse é o eixo x. E essa trajetória logo aqui, se eu fosse desenhar isso para cima assim, isso se pareceria com algo assim. Certo? Essa é a minha trajetória, meu arco. Você sabe, aqui é quando t é igual a a, então isso é t igual a a, isso é t igual a b. A mesma coisa, eu só escolhi isso para que você pudesse visualizar isso. E podemos dizer que temos alguma mudança no comprimento de arco, digamos -- vou mudar de cores. Digamos que essa logo aqui. Digamos que essa é uma pequena mudança no comprimento de arco e estamos chamando aquilo de ds. Existe alguma forma de relacionar ds às mudanças infinitamente pequenas em x ou y? Bom, se pensarmos nisso, se realmente -- e tudo isso é um pouco trêmulo, eu não estou sendo matematicamente rigoroso, mas eu acho que lhe darei a intuição correta -- se você imaginar isso, você pode descobrir o comprimento de ds se você souber o comprimento dessas pequenas mudanças em x e as pequenas mudanças em y. Se essa distância aqui é ds, mudança infinitesimalmente pequena de x, essa distância logo aqui é dy, mudança infinitesimalmente pequena em y, certo? E então nós poderíamos descobrir ds com o teorema de Pitágoras. Você pode dizer que ds será a hipotenusa deste triângulo. É igual à raiz quadrada de dx ao quadrado mais dy ao quadrado. Parece fazer as coisas -- nós podemos nos livrar de ds de vez. Reescrevamos essa pequena expressão aqui usando este ds, que é na realidade a raiz quadrada de dx ao quadrado mais dy ao quadrado. E eu não estou sendo muito rigoroso e na realidade é muito difícil ser rigorosos com diferenciais, mas intuitivamente eu acho que isso faz muito sentido. Podemos dizer que essa integral, a área dessa cortina curva, será a integral de t igual a a até t igual a b de f de x y -- ao invés de escrever ds podemos escrever isso, vezes a raiz quadrada de dx ao quadrado mais dy ao quadrado. Agora nós nos livramos do grande S maiúsculo, mas ainda não resolvemos o problema de -- como você resolve algo, você sabe, uma integral definida que se pareça com isso? Nós a temos em termos de t aqui, mas nós somente a temos em termos de x's e y's aqui. Nós precisamos ter tudo em termos de t. Bom, sabemos que x e y são ambos funções de t, então podemos reescrevê-la assim. Podemos reescrevê-la como t igual a até t igual a b. E f de x y, podemos escrevê-la -- f é uma função de x, que é uma função de t, e f também uma função de y, que também é uma função de t. Você me dá t e eu poderei dar-lhe um x ou um y, e mais uma vez você me dá um x ou um y, e eu posso descobrir o valor de f. Temos aquilo e temos essa parte logo aqui. Farei isso em laranja. Raiz quadrada de dx ao quadrado mais dy ao quadrado. Mas ainda não temos nada em termos de t. Precisamos de um dt em algum lugar aqui para poder calcular essa integral. E veremos isso no próximo vídeo em que farei um problema concreto. Mas eu realmente quero lhe dar uma noção do produto final uma fórmula que obteremos no produto final deste vídeo, de onde isso vem. Uma coisa que podemos fazer é -- se nos permitirmos manipular os diferenciais algebricamente -- o que podemos fazer é multiplicar e dividir por dt. Uma maneira de pensar nisso é reescrever -- vou fazer essa parte em laranja logo aqui. Façamos um lado aqui. Se você usar essa parte em laranja, e escrevê-la em rosa, e você tem dx ao quadrado e mais dy ao quadrado e digamos que multiplicamos isso vezes dt sobre dt, certo? E essa é uma pequena mudança em t dividida por uma pequena mudança em t. Isso é um, então é claro que você pode multiplicá-lo por isso. Se vamos trazer essa parte para dentro da raiz quadrada -- vou reescrever isso. Isso é mesmo que um sobre dt vezes a raiz quadrada de dx ao quadrado mais dy ao quadrado, e então vezes aquele dt. Certo? Eu só queria escrever isso desta maneira para mostrar para você que eu estou somente multiplicando por um. E aqui eu estou somente pegando esse dt, escrevendo ele aqui, e deixando esse logo aqui. E agora se eu quisesse trazer isso para dentro da raiz quadrada, isso é a mesma coisa, isso é igual a -- e faremos isso muito lentamente para ter certeza -- eu vou deixar você acreditar que eu não estou fazendo nada de suspeito com a álgebra. Isso é o mesmo que a raiz quadrada de um sobre dt ao quadrado -- vou fazer esse radical um pouco maior -- vezes dx ao quadrado mais dy ao quadrado e tudo aquilo vezes dt, certo? Eu não fiz nada, você poderia usar a raiz quadrada disso e você obteria um sobre dt. E se eu só distribuir isso, isso é igual à raiz quadrada, e nós temos o nosso dt no final -- de dx ao quadrado -- ou poderíamos até escrever dx sobre dt ao quadrado mais dy sobre dt ao quadrado. Certo? dx ao quadrado sobre dt ao quadrado é somente dx sobre dt ao quadrado, o mesmo com os y's. E agora de repente isso parece um pouco mais interessante. Vamos substituir essa expressão com essa. Nós dissemos que esses era equivalentes. E vou mudar de cores, só para melhorar isso. Nós temos a integral. De t igual a a. Vou voltar para o meu desenho, se eu -- de t igual a a até t igual a b de f de x de t vezes ou f de x de t e f de -- ou y de t, elas são ambas funções de t, e agora ao invés dessa expressão, podemos escrever a raiz quadrada de -- bom, o que é dx, o que é a mudança em x com respeito a esse parâmetro qualquer? O que é dx dt? dx dt é a mesma coisa que a derivada de g de t. Certo? x é uma função de t. A função que eu escrevi é a derivada de g de t. E então dy dt é o mesmo que a derivada de h de t. Poderíamos dizer que, você sabe, essa função de t. Eu só queria deixar isso claro. Conhecemos essas duas funções, então podemos somente usar as suas derivadas com respeito a t. Mas vou deixar isso dessa forma. Então a raiz quadrada -- e nós usamos a derivada de x com respeito a t ao quadrado mais a derivada de y com respeito a t ao quadrado, e tudo aquilo vezes dt. E isso pode parecer uma fórmula estranha mas na realidade é algo com o qual sabemos lidar. Nós agora simplificamos esse problema de comprimento de arco, ou integral de linha, certo? Isso é essencialmente o que estamos fazendo. Estamos calculando a integral sobre uma curva, ou sobre uma linha, ao invés de somente sobre um intervalo no eixo x. Nós calculamos a estranha integral de linha que está em termos do comprimento de arco da linha, e x's e y's, e pusemos tudo em termos de t. E vou lhe mostrar isso no próximo vídeo, certo? Tudo será expressado em termos de t, e isso se tornará uma simples integral definida. Espero não ter te confundido tanto. Eu acho que você verá no próximo vídeo, logo aqui, que é algo muito fácil de se implementar. E só para lembrar-lhe de onde tudo isso saiu, acho que tenho os parênteses corretamente. Isso aqui foi só uma mudança no nosso comprimento de arco. Aquilo tudo era somente uma mudança no comprimento de arco. E isso é somente a altura da nossa função naquele ponto. E estamos só somando isso, fazendo uma soma infinita de comprimentos infinitamente pequenos. Essa foi a mudança no nosso comprimento de arco vezes a altura. Isso terá uma largura infinitamente estreita e vamos usar um número infinito desses retângulos para ter a área de toda a cerca, ou da cortina inteira. Isso é o que a integral definida nos dá e vamos aplicá-la no próximo vídeo. [Legendado por Musa Morena Marcusso Manhães] [Revisado por Soraia Novaes]