Integral de linha - exemplo 1

RKA2JV - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir, agora, a mais uma aula de Matemática. Nesta aula, vamos resolver um exemplo sobre integral de linha. Para começar a pensar nesse exemplo, vamos dizer que eu tenha uma função f(x, y) que seja igual a "x" vezes "y", e que, além disso, a gente tenha um caminho, uma curva no plano XY. Eu vou definir minha curva fazendo "x" ser igual ao cosseno de "t" e "y" sendo igual ao seno de "t". A gente precisa agora definir quais são os limites de "t". Eu vou começar em "t" sendo igual a zero, ou seja, vou colocar aqui que "t" é maior ou igual a zero. E aí eu vou com o "t" até π/2, ou seja, vou fazer com que o "t" seja menor ou igual a π/2. Se fosse em graus, isto seria 90 graus. Enfim, esta é a nossa curva. E claro, você já deve saber que tipo de curva ela será, não é? Vamos desenhá-la aqui para a gente ter uma visualização um pouco melhor. Para isso, eu vou desenhar aqui o plano XY. Aqui é o eixo "y" e aqui é o eixo "x". Assim, quando "t" é igual a zero, "x" vai ser igual ao cosseno de zero, e cosseno de zero é igual a 1. Já "y" vai ser igual ao seno de zero, que é zero. Assim, quando t = 0, temos "x" sendo igual a 1, que é o cosseno de zero, e "y" sendo igual a zero, que é o seno de zero. Sendo assim, estamos aqui. Como eu disse, isto é quando t = 0. Agora quando t = π/2, teremos o quê? O cosseno de π/2 é zero. Já o seno de π/2 é igual a 1. Sendo assim, estaremos no ponto (0, 1). Ou seja, estaremos neste ponto quando t = π/2. Agora podemos ver que o que desenhamos é o primeiro quadrante do circulo trigonométrico. Com isso, quando t = π/4, ou 45 graus, nós vamos ter tanto "x" quanto "y" sendo a raiz quadrada de 2/2. Você pode tentar fazer isso com outros valores de "t", mas o que nós vamos acabar tendo é uma curva que se parece com isto aqui. Teremos o lado direito superior do círculo unitário em que o raio é igual a 1. Nós vamos nos movimentar nesta curva começando em t = 0 e indo até t = π/2. Enfim, esta será nossa curva. Mas a nossa intenção aqui não é somente fazer o gráfico de uma equação paramétrica. O que nós queremos é erguer este plano aqui para fora desse tipo de base e subir para esta superfície. Vamos tentar fazer isso aqui, ou pelo menos tentar visualizar. Vamos utilizar esta representação tridimensional que eu coloquei aqui para que a gente visualize o que eu estou querendo fazer. Aqui eu fiz o gráfico desta função e estou mostrando duas visualizações diferentes. Nesta primeira nós temos o eixo "x" aqui. Aqui atrás nós temos o eixo "y", e o eixo vertical é o eixo "z". Aqui temos um valor igual a 2 e aqui no meio temos um valor igual a 1. Esta é a representação gráfica. Assim, se a gente fosse demarcar a forma no plano XY, teríamos algo mais ou menos assim. Isto é o que teríamos no plano XY. Agora, olhe aqui ao lado: temos exatamente o mesmo gráfico, f(x, y) = x vezes y. Esta figura representa f(x, y) sendo igual a x vezes y. Na realidade, ambas as figuras representam essa função. Eu só girei um pouco aqui Nesta situação, aqui é o eixo "x" e aqui é o eixo "y". Para ter esta visualização, eu girei no sentido horário. Se a gente fosse desenhar essa curva aqui nesta representação, quando t = 0 nós temos "x" sendo igual a 1 e aí, alterando o "t", a gente forma o circulo trigonométrico. Ou, pelo menos, 1/4 do circulo trigonométrico, como a representação que a gente fez abaixo. Assim, quando t = π/2, nós vamos estar aqui. O que a gente quer fazer aqui é determinar a área da figura que é formada entre a base no plano XY e esta superfície. Por exemplo, a gente pode levantar uma região a partir desta curva até f(x, y), se a gente criar linhas desde a base até f(x, y). Assim, teremos uma espécie de parede, por assim dizer, que vai se parecer com isto aqui. Eu vou sombrear esta área para que pareça um pouco mais concreta. Uma espécie de parede, que se parece com isto aqui. Fazendo isso, a base vai ficar abaixo do teto, mas esta parede aqui vai se parecer com isto, sem sombra de dúvidas. O que a gente quer aqui é determinar a área desta figura, onde a base é definida por esta curva e o teto, a parte superior, é definida por esta superfície aqui, que eu desenhei eu coloquei em duas posições diferentes. Para isso, a gente vai pegar aqui pequenas variações dos comprimentos de arco e aí multiplicar pela altura em cada ponto. Essas variações serão chamadas de ds e a altura vai ser exatamente o f(x, y) naquele ponto. Aí, nós vamos pegar a soma infinita dessas pequenas áreas, começando em t = 0 e indo até t = π/2. Fazendo isso, nós vamos ter a área disto aqui. Mas como nós podemos fazer o cálculo para obter essa área? Para determinar essa área, é preciso calcular a integral indo de t = 0 até t = π/2 de f(x, y). Ao invés de escrever dessa forma, eu vou escrever a função real f(x, y), que, para este caso em particular, é x vezes y. Isto vezes a pequena variação no comprimento de arco neste ponto, que neste caso é o ds. Eu não quero ser muito preciso aqui, mas nós temos uma forma de reescrever esse ds. A gente pode dizer que ds é igual à raiz quadrada de: dx/dt, ou seja, a derivada de "x" em relação a "t", elevada ao quadrado, mais a derivada de "y" em relação a "t" elevada ao quadrado. E tudo isso multiplicado por dt. Sabendo disso, esta expressão pode ser reescrita como: a integral indo de t = 0 até t = π/2, de: x vezes y. Mas olha só que legal: desde o começo, a gente tem como objetivo que tudo isto aqui seja uma função de "t", certo? Então, ao invés de escrever x vezes y, vamos substituir pela forma paramétrica. Ou seja, ao invés de "x", vamos escrever cos t, já que "x" é igual ao cosseno de "t" nesta curva. Desta maneira, nós definimos "x" em termos de "t". Aí, isto vezes "y", e nós vamos colocar, aqui no lugar, o seno de "t", já que y = sen t. Tudo que eu fiz até agora foi reescrever "x vezes y" em termos de "t", nada mais do que isso. Agora, a gente pode multiplicar isto com o ds. Porém, podemos reescrever o ds como: a raiz quadrada da derivada de "x" em relação a "t", ao quadrado, mais a derivada de "y" em relação a "t", ao quadrado, e isto aqui vezes dt. Agora, precisamos calcular estas duas derivadas, o que pode parecer difícil, mas na verdade é bem fácil. Vamos calcular, inicialmente, a derivada de "x" em relação a "t", e depois, a derivada de "y" em relação a "t". Qual é a derivada de "x" em relação a "t"? Ou seja, qual é a derivada de cos t? É -sen t, certo? E qual é a derivada de "y" em relação a "t", ou seja, qual é a derivada de sen t? É cos t, não é? Então, temos que isto é igual ao cosseno de "t". Agora podemos colocar isto na equação que está na integral. Lembre-se: nós estamos tentando achar a área desta região, que tem esta curva aqui como base e tem esta função, esta superfície aqui, como teto. Vamos voltar aqui que eu vou reescrever tudo novamente. Sendo assim, teremos que isto é a integral indo de t = 0 até t = π/2 do cos t vezes sen t, ou seja, x vezes y, vezes ds, que é esta expressão aqui. Agora, vamos escrever isto como sendo a raiz quadrada de: a derivada de "x" em relação a "t" que é igual a -sen t, elevado ao quadrado, mais a derivada de "y" em relação a "t", que é cos t, e nós vamos elevar isto ao quadrado. Aí, tudo isto vezes dt. Isto parece ser uma integral muito difícil, não é? Até que você percebe isto aqui: quando você tem um número negativo e eleva ao quadrado, temos algo igual a esse número elevado ao quadrado. Eu vou reescrever aqui do lado para a gente conseguir visualizar isso melhor. Temos (-sen t)² + (cos t)². Isto é equivalente a (sen t)² + (cos t)². Não se esqueça: quando elevamos qualquer coisa ao quadrado, sempre teremos o resultado sendo positivo. Então, estas duas coisas aqui são iguais. E olha só que legal, isto é um dos princípios básicos da trigonometria. É a definição básica do círculo trigonométrico, que diz que sen² + cos² = 1. Assim, tirando a raiz quadrada de tudo isto aqui, teremos apenas 1. Afinal, a raiz quadrada de 1 é igual a 1. Ou seja, tudo isto aqui é igual a 1. Desta forma, toda esta integral difícil fica simplificada. Fica igual à integral indo de t = 0 até t = π/2 de, eu vou trocar estes dois de posição só para ficar mais fácil no próximo passo. Então, temos aqui a integral de sen t vezes cos t, dt. O que eu fiz aqui? Isto aqui é igual a 1. Então, eu tirei isto da brincadeira. E aí troquei as posições entre o cosseno e o seno. Foi só isso que eu fiz. Isso vai tornar o próximo passo mais fácil. Feito isso, a pergunta a se fazer agora é: qual é a primitiva deste seno vezes o cosseno? Repare que temos aqui uma função, ou uma expressão, e sua derivada. A derivada do seno é o cosseno de "t". Então, podemos fazer uma substituição aqui. Inclusive, podemos fazer isso de cabeça, mas eu acho legal a gente fazer as anotações aqui para compreender isto muito bem. Se a gente tiver alguma coisa para derivar, podemos chamar essa coisa de "u". Por exemplo, podemos dizer que u = sen t. Sendo assim, du/dt, ou seja, a derivada de "u" em relação a "t", vai ser igual a cos t. Multiplicando os dois lados da igualdade pela derivada dt, sem ser muito rigoroso aqui, tudo bem?, teremos aqui que du = cos t dt. Note que aqui eu tenho "u", que é o seno de "t", e também tenho du, que é o cosseno de "t" dt. Sendo assim, podemos fazer essa substituição. Ao fazer isso, a gente precisa redefinir os limites de integração. Assim, vamos colocar novamente a integral aqui. Qual vai ser o limite de integração inferior? Ao invés de t = 0, quando "t" for igual a zero, qual vai ser o nosso "u"? Seno de zero é zero. Então, isto vai partir de "u" sendo igual a zero também. Agora, quando t = π/2, teremos o seno de π/2 sendo igual a 1. Então, quando t = π/2, temos que u = 1. Ou seja, vamos de u = 0 até u = 1. Eu refiz os limites em termos de "u" e, ao invés de sen t, eu vou escrever "u". E, ao invés de cos t dt, eu vou escrever du. E esta integral, em termos de "u", fica muito fácil de resolver. Isto vai ser igual à primitiva de "u", que é (1/2 vezes u²). A gente acrescenta 1 ao expoente e divide pelo novo expoente, ou seja, por 2, e com isso temos aqui (1/2 vezes u²). E nós vamos calcular de zero até 1. Isto, então, vai ser igual a 1/2 vezes (1)² menos 1/2 vezes (0)², que é igual a 1/2 vezes 1 menos zero, que é igual a 1/2. Depois disso tudo, nós chegamos a uma resposta bem simples. A área desta região aqui é igual à integral de linha que calculamos. Ou seja, é igual a 1/2. Se a gente estivesse usando o centímetro aqui como unidade de medida, isto aqui seria 0,5 cm². Enfim, tudo isso que fizemos foi uma aplicação da integral de linha. Eu espero que você tenha compreendido tudo certinho e, mais uma vez, eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima!