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Transcrição de vídeo

O último vídeo foi bem abstrato, e geral e eu usei f de x, e g de t e h de t. Agora o que eu quero é dar um exemplo real Vamos dizer que eu tenha f de xy Vamos dizer que f de xy é igual a xy E que tenhamos um caminho no plano xy, ou a curva no plano xy. E eu vou definir minha curva fazendo x ser igual ao cosseno de t, e y igual ao seno de t E temos que definir quais são os limites de t - e vamos começar com t igual a zero -- ou t será maior ou igual a zero - e menor ou igual a nós vamos usar radianos, π dividido por dois se fosse em graus, isto seria 90 graus Esta é a nossa curva E claro, você já deve saber que tipo de curva ela será. Vou desenhar isto bem rapidinho aqui e vamos tentar visualizar. Eu já tinha até desenhado aqui Para que possamos visualizar Esta curva aqui, se eu fosse desenhar no plano xy -- vou fazer a curva em verde. Vamos dizer que aquele é y e este aqui é x. Assim, quando t é igual a zero, x vai ser igual ao cosseno de zero Cosseno de zero é igual a um, y vai ser igual ao seno de zero, que é zero, assim, t é igual a zero Então se x é igual a um, que é cosseno de zero e y é seno de zero, ou y vai ser zero, nós vamos estar aqui. Isto é t igual a zero. Quando t é igual a π dividido por dois, o que acontece? Cosseno de π dividido por dois - este é o ângulo: cosseno de π dividido por dois é zero. Seno de π dividido por dois é um Nós vamos estar no ponto (0,1) Isto é quando estamos no ponto t igual a π dividido por dois Agora podemos ver que o que desenhamos é o primeiro quadrante do círculo trigonométrico. Quando t é igual a π dividido por quatro, ou 45 graus, nós vamos estar na raiz de dois sobre dois. Você pode tentar, mas o que nós vamos ter é uma curva assim. Será o lado direito superior do círculo unitário Vai ter raio um. E agora vamos nessa direção, começando em t igual a zero. até t igual a π dividido por dois. Esta vai ser a curva Mas nossa intenção não é somente fazer o gráfico de uma equação paramétrica O que nós queremos é erguer este plano para fora deste tipo de base e subir para esta superfície Vamos tentar fazer isto ou, pelo menos, visualizar vamos usar as ferramentas que utilizamos no último vídeo Aqui eu fiz o gráfico desta função, e girei para que você veja de outra forma. Este aqui, deixe-me usar uma cor escura, este aqui é o eixo x, este aqui atrás é o eixo de y, e o eixo vertical é o eixo z E este é na realidade dois, este é um aqui, y igual a um está aqui, esta é a representação gráfica Assim se nós fossemos grafar esta forma no plano xy, seria neste gráfico e seria alguma coisa assim -- deixe-me ver se eu possa desenhar - iria parecer com algo assim. Este seria no plano xy Este é exatamente o mesmo gráfico, f de x igual a xy Este é f de x; f de xy é igual a xy Na realidade, ambos são. Eu só girei aqui Nesta situação, aqui é o eixo de x eu girei para a esquerda, como você pode imaginar. esse aqui é o eixo de x e esse aqui é o eixo de y girado um pouco mais na minha direção e então esta curva, se nós tivéssemos de desenhar neste ângulo vai se parecer isso. quando t é igual a zero, nós temos x igual a um, y igual a zero, e vai formar o círculo trigonométrico, ou metade ou um quarto do círculo trigonométrico como este. E quando t é igual a π dividido por dois, nós vamos chegar lá e o que nós queremos fazer é achar a área da da "cortina" que é definida assim vejamos, vamos levantar uma "cortina" a partir desta curva até f de xy se nós continuarmos criando linhas desde esta base até xy, nós vamos ter uma "parede" que se parece com isto. Eu vou sombrear esta área para que pareça um pouco mais concreta. Uma "parede" que parece como isto Se fizermos isto, a base ficará embaixo deste teto, mas a parede parece com isto aqui. Nós queremos achar esta área Nós queremos achar a área disto aqui, onde a base é definida por esta curva e o teto é definido por esta superfície aqui, xy, que eu desenhei e girei em duas posições diferentes No último vídeo nós sugerimos, bem você pode questionar se é simples, mas, vamos pegar pequenas variações nos comprimentos de arco e multiplicá-las pela altura daquele ponto. Estas variações serão chamadas de ds e a altura é exatamente o f de x,y naquele ponto e nós vamos pegar a soma infinita destes, começando em t igual a zero até t igual a π dividido por dois, o que nos dará esta área aqui. O que dissemos é que para calcular a área daqui nós tínhamos só que pegar a integral de t igual a zero até t igual a π dividido por dois, o que não faz muito sentido quando eu escrevo assim - f de x,y vezes ou melhor, ao invés de escrever f de x,y, eu vou escrever a função real Vamos ser um pouco mais concretos F de xy, para este caso em particular, é xy vezes a pequena variação no comprimento de arco neste ponto Eu não vou ser muito preciso aqui Até aqui é só revisão do último vídeo quando nós calculamos a mudança no comprimento de arco aqui, ds, nós vimos que isto poderia ser reescrito como a raiz quadrada de dx versus -- ou a derivada de x em relação a t elevada ao quadrado -- mais a derivada de y em relação a t elevada ao quadrado e tudo isto multiplicada por dt Eu estou refazendo a fórmula que nós conseguimos no último vídeo. Esta expressão pode ser reescrita com a integral de t igual a zero até π dividido por dois vezes xy Mas adivinha desde o começo nós queríamos que tudo fosse em função de t. Ao invés de escrevermos x vezes y, vamos substituir pela forma paramétrica ao invés de x vamos escrever cosseno de t que é x x é igual ao cosseno de t nesta curva Desta maneira nós definimos x em termos de t e então vezes y, que nós vamos chamar de seno de t. Vezes o seno de t Este é nosso y. Tudo o que eu fiz foi re-escrever xy em termos de t vezes ds Isto é ds; Isto é a raiz quadrada da derivada de x com relação a t ao quadrado mais a derivada de y em relação a t ao quadrado. Tudo isto vezes dt Só temos que calcular estas 2 derivadas Pode parecer difícil, mas é bem fácil calcular a derivada de x em relação a t e a derivada de y em relação a t. Eu vou fazer isto aqui Eu vou esconder os gráficos um pouco qual o valor da derivada de x com relação a t? O que é a derivada do cosseno de t é menos seno de t E a derivada de y em relação a t? Derivada do seno de qualquer x é igual ao cosseno de x. Assim, isto é o cosseno de t Quando substituímos de volta na equação Lembre-se, nós estamos tentando achar a área desta "cortina" que tem a nossa curva aqui como base e tem esta função, esta área aqui como "teto" Vamos voltar aqui e eu vou re-escrever tudo. Então isto vira a integral de t igual a zero até t igual a π dividido por dois do cosseno de t, seno de t, cosseno vezes seno -- isto é xy -- multiplicado por ds, que é esta expressão aqui. E agora vamos escrever isto como a raiz quadrada de --a derivada de x com relação a t é igual a menos seno de t, elevado ao quadrado mais a derivada de y em relação a t, que é o cosseno de t e nós vamos elevar ao quadrado -- eu vou aumentar meu radical e então tudo vezes dt. Ainda assim isto parece uma integral muito difícil até você perceber que isto aqui. Quando você tem um número negativo e eleva ao quadrado, é a mesma coisa. Vou re-escrever, aqui do lado. Menos seno de t elevado ao quadrado mais cosseno de t elevado ao quadrado é equivalente ao seno de t elevado ao quadrado mais cosseno de t elevado ao quadrado. Quando eleva qualquer coisa ao quadrado Sempre vai ser positivo Estas duas coisas são iguais E isto é um dos princípios básicos de trigonometria A definição básica do círculo trigonométrico diz que seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é igual a um. Assim, tirando a raiz quadrada de tudo isto, vai dar um. Extraindo a raiz quadrada de um, você tem um. Ou seja, tudo isto é igual a um. Esta integral toda, difícil simplifica e fica igual a integral de t igual a zero até t igual a π dividido por dois -- eu vou trocar este dois de posição só para ficar mais fácil no próximo passo -- do seno de t vezes cosseno de t, dt O que eu fiz? Isto aqui é igual a um, eliminei e inverti a posição daqui. Isto vai tornar mais fácil meu próximo passo Agora esta integral -- Seno vezes cosseno, Qual é a antiderivada disto? Primeiro você tem que ver que eu tenho aqui uma função ou expressão e sua derivada A derivada de seno é cosseno de t Você pode fazer a substituição de cabeça Fazer de cabeça é uma boa habilidade Mas eu quero fazer bem explicado. Se você tiver alguma coisa para derivar você pode chamar de u. Se você diz u é igual ao seno de t, então du, dt a derivada de u com relação a t é igual ao cosseno de t Ou se você multiplicar os dois lados pela derivada dt, se não formos tão rigorosos, você chega a du igual a cosseno de t, dt E note que aqui eu tenho u e então cosseno de t, dt, esta coisa aqui, esta coisa é igual a d de u E então nós vamos ter que redefinir os limites Quando t é igual a zero -- quero dizer que esta coisa vai se transformar em uma integral -- ao invés de t igual a zero, quando t for igual a zero, o que vai ser igual a u? Seno de zero é zero, então isto vai a partir de u igual a zero Quando t é igual a π dividido por dois, seno de π dividido por dois é um Quando t é igual a π dividido por dois, u é igual a um E a partir de u igual a zero até u igual a um. Eu refiz os limites em termos de u E ao invés de seno de t eu vou escrever u e ao invés de cosseno de t, dt, eu vou escrever du e esta é uma integral super fácil em termos de u Isto vai ser igual a antiderivada de u é 1/2 vezes u ao quadrado -- aumentamos o expoente e dividimos pelo expoente aumentado -- 1/2 u ao quadrado e nós vamos calcular de zero até um Isto vai ser igual a 1/2 vezes um ao quadrado menos 1/2 vezes zero ao quadrado, que é igual a 1/2 vezes um menos zero, que é igual a 1/2. Depois de disso tudo nós chegamos a uma resposta bem simples A área desta "cortina" - nós calculamos a linha integral -- a área desta "cortina" ao longo desta curva aqui é - vou fazer em uma cor mais escura - 1/2 Se isto fosse em centímetros, seria 1/2 centímetros quadrados Esta foi uma clara aplicação de integral de linha. Traduzido por Celeste de Britto Heemskerk [revisado por: Vitor Tocci]