Exemplo de integral de linha 2 (parte 1)

RKA22JL - Fala, galera da Khan! Então, neste vídeo, faremos um outro exemplo de integral de linha. Então, digamos que eu tenha a superfície definida por f(x,y) é igual a x mais y ao quadrado, e, primeiramente, vamos ver aqui, através de uma animação, como se dá essa superfície. Então, aqui está, e você pode ver que, na direção x, o seu contorno é feito por parábolas, dado que uma das variáveis aqui está ao quadrado. Nós teremos para este exemplo, também, um caminho que começa aqui no par ordenado (2,0). Ou seja, x igual a 2 e y igual a zero, e esta parte do caminho terá um perfil circular que se envolverá no sentido anti-horário e terminará no par ordenado (0,2). Diferente dos outros exemplos que nós fizemos, esse setor circular aqui terá um raio igual a 2, e não igual a 1. A partir desse ponto, o caminho continuará no sentido -y até o ponto (0,0), e, por fim, o caminho se fechará indo até o ponto (2,0). Então, temos aqui um caminho fechado que chamaremos de c, e o que nós estamos tentando avaliar aqui é a área de superfície formada por essas paredes que vão do plano x,y até a superfície que nós definimos ali em cima. Então, vamos marcar aqui de quais superfícies estamos falando. Aqui no eixo x, teremos uma parede triangular, digamos. Aqui, entre o caminho circular que definimos e a superfície, teremos uma forma geométrica não definida e, através do eixo y, teremos uma parede que tem uma parábola crescente aqui no seu topo. Então, aqui está esboçada a área de superfície que nós iremos calcular, e se quisermos definir esta área aqui de maneira simplificada, ela será a integral ao longo do caminho de c de f(x,y). Então, x mais y ao quadrado, vezes o dS, que é o infinitesimal do comprimento do nosso caminho c. E, como este caminho é fechado, nós chamaremos esta integral de integral de linha fechada, que é representada por essa bolinha aqui no símbolo da integral. E o que isso significa é que o caminho retorna ao seu início. Então, como solucionamos essa integral? Um bom início é achar este caminho e, para simplificar, nós iremos dividir essa integral em três integrais, uma para cada parte do caminho. Vamos começar por este setor circular aqui, que possui um raio 2. Para defini-lo, iremos dizer que x é igual a duas vezes o cosseno de t, e y é igual a duas vezes o seno de t. Para tanto, iremos definir também que t está entre zero e π/2. Essencialmente, este t aqui será o ângulo ao longo do nosso caminho circular. Então, definido o nosso caminho, podemos começar a trabalhar na integral. Como vimos nos vídeos anteriores, nós temos que achar o dx dt e o dy dt para conseguir definir o nosso infinitesimal dS. Então, vamos aqui realizar as derivadas. O dx dt será menos duas vezes o seno de t e dy dt será duas vezes cosseno de t. Agora, teremos a nossa integral definida entre zero e π/2 de x mais y ao quadrado, vezes o nosso dS, que é a raiz quadrada de menos duas vezes o seno de t ao quadrado, mais duas vezes o cosseno de t ao quadrado. E tudo isso vezes o infinitesimal dt. Agora, nós podemos substituir a nossa parametrização aqui na função da superfície que definimos no início do vídeo. Então, novamente, teremos uma integral de linha fechada definida entre os pontos zero e π/2, de duas vezes o cosseno de t, mais duas vezes o seno de t ao quadrado, vezes o nosso dS, que, realizando essas potências aqui, será a raiz quadrada de 4 seno ao quadrado de t, mais 4 vezes o cosseno ao quadrado de t e tudo vezes dt. Agora, sim, nós podemos começar a simplificar a equação e, por fim, retirar as integrais ou antiderivadas, como preferir. Aqui dentro dessa raiz, nós podemos fatorar o número 4, ficando apenas com o seno quadrado de t, mais cosseno quadrado de t, que nós já sabemos, pela relação fundamental da trigonometria, que é igual a 1. Então, no fim, teremos apenas a raiz quadrada de 4, que é igual a 2. Então, vamos aqui embaixo reescrever a integral. A integral definida entre zero e π/2, de 4 vezes o cosseno de t, mais 8 vezes o seno ao quadrado de t por dt. Agora, para conseguirmos simplificar mais ainda essa equação, nós temos que lembrar de uma outra relação trigonométrica, onde seno ao quadrado de t ou de qualquer outra variável é igual a 1/2 vezes cosseno de 2t. E, agora, nós iremos substituir esta relação na nossa equação. Então teremos a integral de 4 vezes o cosseno de t, mais 8 vezes 1/2, que é 4, vezes 1 menos o cosseno de 2t. E, por fim, teremos a integral de 4 vezes o cosseno de t, mais 4, menos 4 vezes o cosseno de 2t. Podemos, agora, finalmente, tirar as integrais. Para este primeiro termo, a integral de 4 cosseno de t é 4 seno de t. A integral do segundo termo aqui é 4 vezes t. E, por fim, a derivada do último termo é menos duas vezes o seno de 2t. E, agora, nós avaliamos este resultado entre zero e π/2, que são os limites inferior e superior da nossa integral. Então, teremos 4 vezes o seno de π/2, mais duas vezes π, menos duas vezes o seno de π, menos zero. 4 vezes o seno de π/2 é 4, 2π é 2π, e duas vezes o seno de π é zero. Então, por fim, teremos que esta primeira área que estamos calculando, referente a ¼ de uma circunferência é igual a 4 mais 2π. E nós podemos terminar este vídeo por aqui e, nos próximos vídeos, iremos realizar as outras duas integrais que faltam para conseguirmos calcular a área que queremos. Então é isso, galera da Khan! Até o próximo vídeo!