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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 1: Integrais de linha para funções escalaresExemplo de integral de linha 2 (parte 1)
Integral de linha ao longo de um caminho fechado (parte 1). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Fala,
galera da Khan! Então, neste vídeo, faremos um outro
exemplo de integral de linha. Então, digamos que eu tenha a superfície
definida por f(x,y) é igual a x mais y ao quadrado, e, primeiramente, vamos ver aqui,
através de uma animação, como se dá essa superfície. Então, aqui está, e você pode ver
que, na direção x, o seu contorno é feito por parábolas, dado que uma das variáveis
aqui está ao quadrado. Nós teremos para este exemplo, também,
um caminho que começa aqui no par ordenado (2,0). Ou seja, x igual a 2
e y igual a zero, e esta parte do caminho terá um perfil circular
que se envolverá no sentido anti-horário e terminará no
par ordenado (0,2). Diferente dos outros
exemplos que nós fizemos, esse setor circular aqui terá um
raio igual a 2, e não igual a 1. A partir desse ponto,
o caminho continuará no sentido -y até o ponto (0,0), e, por fim,
o caminho se fechará indo até o ponto (2,0). Então, temos aqui um caminho fechado
que chamaremos de c, e o que nós estamos tentando avaliar aqui
é a área de superfície formada por essas paredes que vão do plano x,y até a superfície
que nós definimos ali em cima. Então, vamos marcar aqui de
quais superfícies estamos falando. Aqui no eixo x, teremos uma
parede triangular, digamos. Aqui, entre o caminho
circular que definimos e a superfície, teremos uma
forma geométrica não definida e, através do eixo y, teremos uma parede
que tem uma parábola crescente aqui no seu topo. Então, aqui está esboçada a área de superfície
que nós iremos calcular, e se quisermos definir esta área aqui
de maneira simplificada, ela será a integral ao longo
do caminho de c de f(x,y). Então, x mais y ao quadrado, vezes o dS,
que é o infinitesimal do comprimento do nosso caminho c. E, como este caminho é fechado, nós chamaremos
esta integral de integral de linha fechada, que é representada por essa bolinha aqui
no símbolo da integral. E o que isso significa é que o
caminho retorna ao seu início. Então, como
solucionamos essa integral? Um bom início é achar este caminho
e, para simplificar, nós iremos dividir essa integral em três integrais, uma para
cada parte do caminho. Vamos começar por este setor circular aqui,
que possui um raio 2. Para defini-lo, iremos dizer
que x é igual a duas vezes o cosseno de t, e y é igual a duas
vezes o seno de t. Para tanto, iremos definir também
que t está entre zero e π/2. Essencialmente, este t aqui
será o ângulo ao longo do nosso caminho circular. Então, definido o nosso caminho,
podemos começar a trabalhar na integral. Como vimos nos vídeos anteriores,
nós temos que achar o dx dt e o dy dt para conseguir definir
o nosso infinitesimal dS. Então, vamos aqui
realizar as derivadas. O dx dt será menos duas vezes o seno de t
e dy dt será duas vezes cosseno de t. Agora, teremos a nossa integral
definida entre zero e π/2 de x mais y ao quadrado,
vezes o nosso dS, que é a raiz quadrada de menos duas vezes
o seno de t ao quadrado, mais duas vezes o
cosseno de t ao quadrado. E tudo isso vezes
o infinitesimal dt. Agora, nós podemos substituir
a nossa parametrização aqui na função da superfície que
definimos no início do vídeo. Então, novamente, teremos
uma integral de linha fechada definida entre os pontos zero e π/2,
de duas vezes o cosseno de t, mais duas vezes o seno de t ao quadrado,
vezes o nosso dS, que, realizando essas potências aqui,
será a raiz quadrada de 4 seno ao quadrado de t, mais 4 vezes o cosseno ao
quadrado de t e tudo vezes dt. Agora, sim, nós podemos
começar a simplificar a equação e, por fim, retirar as integrais
ou antiderivadas, como preferir. Aqui dentro dessa raiz, nós
podemos fatorar o número 4, ficando apenas com o seno quadrado de t,
mais cosseno quadrado de t, que nós já sabemos, pela relação fundamental
da trigonometria, que é igual a 1. Então, no fim, teremos apenas a
raiz quadrada de 4, que é igual a 2. Então, vamos aqui embaixo
reescrever a integral. A integral definida entre zero
e π/2, de 4 vezes o cosseno de t, mais 8 vezes o
seno ao quadrado de t por dt. Agora, para conseguirmos
simplificar mais ainda essa equação, nós temos que lembrar de uma
outra relação trigonométrica, onde seno ao quadrado de t ou de qualquer outra
variável é igual a 1/2 vezes cosseno de 2t. E, agora, nós iremos substituir
esta relação na nossa equação. Então teremos a integral de 4 vezes o cosseno de t,
mais 8 vezes 1/2, que é 4, vezes 1 menos o cosseno de 2t. E, por fim, teremos a integral de 4 vezes o cosseno de t,
mais 4, menos 4 vezes o cosseno de 2t. Podemos, agora, finalmente,
tirar as integrais. Para este primeiro termo, a integral
de 4 cosseno de t é 4 seno de t. A integral do segundo
termo aqui é 4 vezes t. E, por fim, a derivada do último termo
é menos duas vezes o seno de 2t. E, agora, nós avaliamos este
resultado entre zero e π/2, que são os limites inferior
e superior da nossa integral. Então, teremos
4 vezes o seno de π/2, mais duas vezes π,
menos duas vezes o seno de π, menos zero. 4 vezes o seno de π/2 é 4, 2π é 2π,
e duas vezes o seno de π é zero. Então, por fim, teremos que esta primeira área
que estamos calculando, referente a ¼ de uma circunferência
é igual a 4 mais 2π. E nós podemos terminar
este vídeo por aqui e, nos próximos vídeos, iremos realizar
as outras duas integrais que faltam para conseguirmos calcular
a área que queremos. Então é isso, galera da Khan!
Até o próximo vídeo!