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Transcrição de vídeo

No último vídeo, calculamos a área de superfície das paredes deste prédio esquisito, onde as paredes eram definidas pela função f de xy igual a x mais y ao quadrado; e a base deste prédio, ou o contorno das paredes, era definido pela curva onde temos um círculo de raio dois, e acompanhamos o eixo y, e depois vamos para a esquerda, e pelo eixo x. Isso era o nosso prédio. E no último vídeo, encontramos a área de superfície desta primeira parede. De fato, queríamos calcular a integral de linha ao longo desta curva. Era uma integral de linha em um intervalo fechado c de f de xy. Sempre multiplicamos f de xy por uma distância extremamente pequena ds. Estamos escrevendo isso da maneira mais abstrata possível. E vimos no último vídeo que o jeito mais fácil é quebrar isto em várias curvas, ou em vários problemas. Você pode imaginar que todo este contorno, toda esta curva -podemos chamá-la de c um. Podemos chamar esta parte de c dois, e este ponto de c três. Podemos redefinir, ou dividir, esta integral de linha, em três integrais de linha não fechadas. Isso será igual à integral de linha ao longo da curva c um de f de xy ds, mais a integral de linha ao longo de c dois de f de xy ds, mais a integral de linha ao longo de c três de f de xy ds. No último vídeo conseguimos calcular esta primeira parede curva aqui. Descobrimos que a área de superfície era quatro mais dois pi. Agora precisamos calcular as outras duas partes. Vamos calcular c dois, esta integral de linha. Para fazer isso, precisamos fazer outra parametrização de x e de y. Será diferente do que fizemos em esta parte. Não estamos mais ao longo deste círculo; estamos apenas ao longo do eixo y. Enquanto estivermos lá, x será igual a zero. Essa é a minha parametrização: x é igual a zero. Se vamos ao longo do eixo y, x será definitivamente zero. E podemos dizer que y começa em y igual a dois. Podemos dizer que y é igual a dois menos t pois t é maior que zero e menor que dois. Isso deve funcionar. Quando t é igual a zero, estamos neste ponto, e quando t tende a dois, vamos para baixo no eixo y até t igual a dois, que é este ponto. Essa é a nossa parametrização. Vamos calcular esta curva, e podemos calcular as derivadas também. Qual é a derivada - escreverei aqui. O que é dx dt? É bem direto. A derivada de zero é zero e dy dt é igual à derivada disso. É menos um, certo? Dois menos t; a derivada de menos t é menos um. Vamos dividir isso. Temos isto aqui, então temos a integral ao longo de c dois. Mas, em vez de escrever c dois, vamos dizer que vamos de t igual a zero a dois de f de xy. f de xy é x mais y ao quadrado vezes ds. Sabemos dos últimos vídeos que ds pode ser escrito como a raiz quadrada de dx dt ao quadrado. Zero ao quadrado mais dy dt ao quadrado é menos um ao quadrado, que é um. Tudo isso vezes dt. E, obviamente, isto é bem simples e claro. Isto é a raiz de zero mais um, que é um. E x é igual a que? Se escrevermos x em termos da nossa parametrização, será sempre igual a zero. Y ao quadrado será dois menos t ao quadrado. Isto será dois menos t ao quadrado. Tudo isto simplificou-se a -- vamos de t igual a zero a t igual a dois; x desaparece da nossa parametrização, x é igual a zero independentemente do valor de t, e temos y ao quadrado. Mas y é igual a dois menos t, dois menos t ao quadrado e temos também o dt. Isto é bem direto. Sempre acho mais fácil calcular a antiderivada, mas você pode fazer isso de cabeça. Eu gosto de fatorar este binômio. Isso será igual a antiderivada de t igual a zero a t igual a dois de quatro menos dois menos quatro t mais t ao quadrado vezes dt. E isto é bem direto. A antiderivada disso é quatro t menos dois t ao quadrado, certo? Você obtém dois vezes menos dois t, que é menos quatro t, mais 1/3 t ao cubo, certo? Essas antiderivadas são simples, e precisamos calculá-las de zero a dois. Vamos calcular o valor em t igual a dois. Quatro vezes dois é oito - deixe-me escolher outra cor. Quatro vezes é oito. Menos dois vezes dois ao quadrado, então dois vezes quatro, que é menos oito, mais um terço vezes dois ao cubo. É um terço vezes oito. Esses termos se cancelam. Temos oito menos oito e oito terços. Isso fica oito terços. E temos que calcular isso em zero, mas isso daria apenas zero. Temos quatro vezes zero e dois vezes zero, que será igual a zero. Achamos a área de superfície da nossa segunda parede. Isto aqui é oito terços. E agora temos a última parede, e depois podemos somá-las. Temos a nossa última parede. Farei outra parametrização. Quero ter o gráfico aqui. Talvez possa copiá-lo. Aqui está o gráfico. E agora calcularemos a última parede. A nossa última parede é esta aqui, a c três. Deixe-me trocar as cores. Iremos ao longo do contorno de c três de f de x y ds, que é o mesmo que -- vamos fazer uma parametrização ao longo desta curva. Digamos que x é igual a t, pois t é maior ou igual a zero e menor ou igual a dois. E estamos no eixo x, então y será igual a zero. É uma parametrização bem direta. Isto será igual a -- vamos de t igual a zero a t igual a dois de f de xy, que é - em termos de x - x mais y ao quadrado ds. O que é dx? -- deixe-me escrever ds aqui. Vezes ds. É com isso que estamos lidando. Agora sabemos o que ds é. ds é igual a raiz quadrada de dx dt ao quadrado mais dy dt ao quadrado vezes dt. Provamos isso no primeiro vídeo. Não provamos rigorosamente, mas pensamos porque isso faz sentido. E qual é a derivada de x em relação a t? É um, então isso será um ao quadrado. E a derivada de y em relação a z é zero. Isto é zero. Um mais zero é um e a raiz quadrada de um é um. Isto fica apenas dt. Neste caso, ds será igual a dt. Isto fica dt. E x será igual a t; isso é parte da definição da nossa parametrização, e y é zero, então podemos ignorá-lo. Esta integral foi super simples. Vamos de zero a dois de t dt, que é igual a antiderivada de t. A antiderivada é meio t ao quadrado, e vamos de zero a dois, que é igual a meio vezes dois ao quadrado. Dois ao quadrado é quatro, vezes meio é dois e menos meio vezes zero ao quadrado. A área desta terceira parede é dois. Bem direto. Então esta área é dois. E para responder a nossa pergunta: esta integral de linha foi calculada sobre qual curva de f de xy? Temos apenas que somar esses números Temos quatro mais dois pi, mais oito terços mais dois. 8/3 é o mesmo que dois e 2/3, então temos quatro mais dois e 2/3 que é 6 e 2/3, mais dois é oito e 2/3. Então isso fica oito e 2/3 mais dois pi. E terminamos! Agora podemos começar a calcular integrais de linha de campo vetorial. Legendado por [Pilar Dib] Revisado por [Rodrigo Melges]