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Exemplo de integral de linha 2 (parte 2)

Parte 2 de um exemplo da obtenção de uma integral de linha ao longo de um caminho fechado. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA22JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vocês já devem ter visto esse formato meio estranho em alguma de nossas aulas. Nós o utilizamos para descobrir a área da superfície das paredes, onde o teto das paredes eram definidos pela função f(x,y) igual a x mais y ao quadrado. As fronteiras dessa estrutura eram definidas pelo caminho em que temos um círculo de raio 2 e, depois, seguimos conforme o eixo y, depois, conforme o eixo x. E, originalmente, nesta estrutura, o problema era descobrir a integral curvilínea ao longo do caminho fechado c de f(x,y), que era multiplicado sempre por uma pequena distância do caminho dS. Eu quero reforçar que isso tudo é uma forma bem abstrata de se descrever a situação, mas descobrimos que a forma mais fácil de resolver esse problema era quebrar essa estrutura em múltiplos caminhos ou múltiplos problemas, por assim dizer. Com essa base, podemos imaginar toda essa fronteira, todo esse caminho que chamamos de c como c1, e essa outra parte, podemos chamar de c2, e essa outra, c3. Ou seja, podemos quebrar essa integral de linha entre três ângulos de linhas abertas, e isso, na direita superior, será igual a integral de linha ao longo do caminho c1 de f(x,y) vezes dS, mais a integral curvilínea ao longo de c2 de f(x,y) vezes dS, mais a integral curvilínea c3 de f(x,y) vezes dS. Utilizamos essas informações para descobrir a primeira parte, que tem como resultado 4 mais 2π. Para a segunda, vamos usar uma parametrização diferente, já que não estamos mais ao longo do círculo. Agora, estamos ao longo do eixo y e, pela posição que temos, x vai ser igual a zero. Para o y, podemos dizer que ele é igual a 2 menos t, que é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2. Ou seja, no momento em que t for igual a zero, vamos estar nesse ponto e, ao aumentar para 2, descemos o eixo y até o ponto em que t é igual a 2. E essa é a nossa parametrização. Nossa derivada vai ser dx sobre dt, igual a zero e, depois, dy sobre dt será igual a 1, já que no nosso y, à esquerda, a derivada de 2 menos t é igual a 1 negativo. Agora, se separar isso um pouco mais, vamos ter a integral de linha de c2. Vamos deixar o c2 ali, mas, em vez de ser somente ele, vamos também dizer que t é igual a zero a 2 de f(x,y). E pela parte da esquerda superior, temos noção que é x mais y ao quadrado, vezes dS. Pelo conhecimento que já temos, sabemos que dS pode ser reescrito como a raiz quadrada dx sobre dt ao quadrado. Então, zero ao quadrado, mais 1 ao quadrado, e tudo isso vezes dt. E é bem legal que isso tudo aqui fica bem limpo. Eu, pelo menos, acho bem legal. Mas, enfim, nessa situação, o zero ao quadrado se torna 1, mas, depois, surge uma pergunta: e o x? O x, caso formos escrever nos termos de nossa parametrização, sempre será igual a zero, e y ao quadrado vai ser 2 menos t ao quadrado. E toda essa mistureba maluca, de forma simplificada, fica t igual a zero a t igual a 2. Como o t sempre será igual a zero, vamos direto para y ao quadrado, que, em nossa parametrização, fica 2 menos t ao quadrado. Depois, como sempre, colocamos o dt. Com isso, temos uma expressão que é bem direta e simplifica toda a maluquice que fizemos anteriormente. E eu particularmente acho bem mais fácil usar a primitiva dessa parte 2 menos t ao quadrado. E, mesmo que, na verdade, seja fácil você pegar a primitiva de cabeça, eu quero multiplicar isso de forma binomial. Então, isso vai ser igual à primitiva de t igual a zero a 2, de 4 menos 4t, mais t ao quadrado, vezes dt. E a primitiva disso será 4t menos 2t ao quadrado mais 1 sobre 3t ao cubo, e calculamos isso de zero a 2. Agora, vamos calcular isso em 4 vezes 2, que, no caso, é 8. 8 menos 2, vezes t ao quadrado. Então, temos um outro 8 aqui, mais um sobre 3 elevado ao cubo, potência esta que se torna 8 por fazermos o cálculo em 2. Os 8 se cancelam, já que é 8 menos 8. Depois, temos 1 sobre 3, que se torna, então, 8 sobre 3. Agora, precisamos calcular isso pro zero, que, no fim, tudo vai se tornar zero. Então, 8 sobre 3 menos zero. E com todo esse trabalhinho, ou trabalhão, conseguimos a área da superfície de nossa segunda parede. E, nessa situação, é 8 sobre 3. Porém, não acabamos ainda. Temos nossa última parede e, com ela, temos uma outra parametrização. E, novamente, vamos precisar do nosso gráfico. Nossa última parede é essa parte de baixo, que é o c3. E temos nossa parte quebrada, que é c3 de f(x,y) vezes dS, que é igual a algo que vamos ver agora. Ao longo dessa curva, podemos dizer que x é igual a t, e t é maior ou igual a zero, ou menor ou igual a 2. E por seguirmos somente pelo eixo x, y vai ser igual a zero. Então, colocamos na parte de baixo t igual a zero a t igual a 2 de f(x,y). E, em termos de x, x mais y ao quadrado, vezes dS. E, como já pegamos o jeito da coisa, dS é igual à raiz quadrada de dx sobre dt ao quadrado mais dy sobre dt ao quadrado. E a derivada de x em relação a t vai ser 1, a de y em relação a t vai ser zero. E, agora, essa parte na esquerda inferior se torna dt. Nosso x vai se tornar t, conforme nossa parametrização, e y é zero. Então, podemos ignorar. E, no fim, essa integral ficou bem simples. De forma simplificada, agora, vamos de zero a 2 de t, dt, que é igual à primitiva t, que é 1 sobre 2t ao quadrado. E vamos de zero a 2. Aqui dentro, t ao quadrado é 4. 4 vezes 1 sobre 2 nos dá 2. Depois, fazemos essa multiplicação por zero. Então, temos, no fim, 2 menos zero. Conseguimos! O resultado da área dessa terceira parede é 2. E, após ter feito tudo isso, temos a resposta de nossa questão inicial, que era qual área dessa integral de linha calculada sobre esse caminho fechado de f(x,y). E, agora, é só somar todos esses números. Temos 4 mais 2π, mais 8 sobre 3, mais 2. Da esquerda para a direita, 8 sobre 3 é o mesmo que 2, ⅔, que, somado com 4, fica 6. Depois, para o 2 sobre 3 mais 2, que, no fim, com a soma, fica 8 sobre 3. Nosso resultado final, então, fica 8, ⅔, mais 2π. E é isso, pessoal. Eu espero que vocês tenham aprendido, e até a próxima!