Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre a integral de linha de um campo vetorial conservativo. Para começar, vamos dizer que estamos calculando a integral de linha sobre alguma curva "C". Eu vou definir a curva "C" daqui a pouco, ok? (x² + y²) dx + 2xy dy. Bem, isso aqui parece ser bem familiar, não é? Isto é muito parecido com o outro exemplo em que calculamos uma integral de linha sobre uma curva fechada. Porém, aqui não estamos diante de uma integral sobre uma curva fechada. E nesta nossa curva "C", a parametrização é x = cos(t) e y = sen(t). Aqui o nosso "t" vai variar de zero a π. Então, colocamos aqui "t" sendo o maior ou igual a zero e menor ou igual a π. Que tal, agora, a gente desenhar a curva no plano (x, y)? Aqui eu vou desenhar o eixo "y" e aqui o meu eixo "x". O interessante é que o nosso caminho não é todo o percurso ao longo da circunferência unitária. O nosso caminho, a nossa curva "C" vai começar em "t" igual a zero. Aqui você pode imaginar o "t" como sendo um ângulo. Então, vamos partir de t = 0. E nós faremos todo o percurso até π. Sendo assim, este é o nosso caminho neste exemplo. Repare que não temos um caminho fechado. Sendo assim, não podemos dizer que caso "f" seja um campo vetorial conservativo, o resultado desta integral é igual a zero. Algo que faríamos se tivesse um caminho fechado. Como isso não é um caminho fechado, não podemos falar isso. Sabendo disso, vamos ver o que acontece se pudermos aplicar algumas das ferramentas que já temos. Que tal se a gente falar que "f" é igual a isso vezes "i", mais isso vezes "j"? Isso vai ficar um pouco melhor para a gente resolver, não é? Então, vamos dizer aqui que f(x, y), o campo vetorial "f", é igual a (x² + y²) vezes î mais (2xy) vezes j^. Também podemos escrever o "dr" aqui. Você sempre pode escrever o "dr" como sendo o "dx" vezes î, mais "dy" vezes j^. O que acontece se a gente calcular o produto escalar entre "f" e "dr"? Como "f" e "dr" são vetores, afinal, temos aqui uma função vetorial, ou campo vetorial, e um vetor diferencial. Ao calcular o produto escalar entre essas duas coisas, vamos obter o que temos dentro de nossa integral. Isso aqui em cima! Repare que ao multiplicar as componentes de "i" e depois somar com a multiplicação entre as componentes de "j", teremos exatamente isto aqui em cima (x² + y²) dx, mais (2xy) dy. Sendo assim, podemos escrever a nossa integral como o produto escalar entre "f" e "dr". E esta essa integral vai ser ao longo da nossa curva "C". Agora, eu quero te fazer uma pergunta em relação ao nosso "f". Nós temos aqui um campo conservativo? E será que este campo tem um potencial associado a ele? Será que "f" é o gradiente de alguma função "F"? Eu vou escrever o gradiente assim, porque aí ele vai criar um vetor. O interessante é que ao fazer esta integral nós podemos dizer que o resultado da integral é independente do caminho. Então, vamos escrever isso aqui. Se esta igualdade é verdadeira, então, a integral é independente do caminho. Assim, poderemos dizer que esta integral entre o escalar de "f" e "dr" é igual a "F" maiúsculo, nós precisamos dos limites de integração aqui, nós sabemos que neste caso "t" vai de zero até π. Então, nós podemos dizer que isso vai ser igual a F(π) - F(0). Ou se quisermos escrever isso em termos de "x" e "y", porque "F" vai ser uma função de "x" e "y", podemos dizer que estes dois aqui são "t", Então, podemos reescrever isso aqui dizendo que isso é igual a F(x(π), y(π)) - F(x(0), y(0)). Isso é o que eu quero dizer quando eu falo F(π). Se fôssemos escrever "F" puramente como uma função de "t". Mas nós sabemos que este "F" é uma função e que é uma função escalar definida em (x, y). Então, por isso, eu posso dizer que F(π) = F(x(π), y(π)). E, assim, estas coordenadas, por assim dizer, serão os nossos "t" agora. Enfim, tudo isso é equivalente, porque a integral não depende do caminho, não depende da curva. Como a integral não é dependente do caminho, nós podemos encontrar o nosso "F". Nós podemos calcular o nosso "F" nestes dois pontos. Neste ponto e neste ponto bem aqui, porque isso dever ser independente do caminho, independente de nossa curva. Se isso for conservativo e se isso tiver uma função potencial associada. Se isso é o gradiente de um outro campo escalar, então, isso é um campo vetorial conservativo. E sua integral de linha é independente do caminho. Esta integral vai depender apenas deste ponto e deste ponto. Então, vamos ver se podemos descobrir o nosso "F". A nossa derivada parcial de "F" em relação a "x" será igual a quê? A derivada parcial de "F" em relação a "x" é isso aqui. Ou seja, x² + y². Então, se a gente quiser obter a primitiva desta derivada em relação a "x", teremos que F(x, y) vai ser igual a x³/3 + xy², não podemos esquecer que y² é simplesmente uma constante em relação a "x", isso aqui mais F(y). Já que poderia haver alguma função de "y" que quando você tomasse a derivada parcial em relação a "x", esta função simplesmente desaparecesse. A gente também já sabe qual é a derivada parcial de "F" em relação a "y", já que tem que ser igual a isso aqui. Estamos dizendo que isso é o gradiente de "F". Então, isso tem que ser a derivada parcial em relação a "y". Ou seja, isto é igual a 2xy. Sendo assim, a antiderivada disso em relação a "y" é igual a, temos F(x, y) sendo igual a xy² mais alguma função de "x". Agora, estas duas coisas precisam ser a mesma coisa para que o gradiente de "F" seja igual ao "f". Repare que nós temos xy² aqui e xy² aqui também. Nós temos uma função de "x" aqui e nós temos uma função puramente de "x". E observe que também nós temos uma função puramente de "y" aqui, mas não temos na outra primitiva. Então, esta função puramente de "y" deve ser igual a zero. Então, nós resolvemos! O nosso F(x, y) deve ser igual a x³/3 + xy². Com isso, nós sabemos que "f" é definitivamente conservativo. Ele é independente do caminho, da curva, ele tem seu potencial associado. Ele é o gradiente disso aqui. E, assim, para resolver a nossa integral, nós temos que simplesmente descobrir x(π), y(π), x(0), y(0), e aí, calcular nos pontos marcados, e, então, subtrair um do outro. Bem, vamos fazer isso aqui? Como vimos inicialmente, "x" é o cosseno de "t" e "y" é o seno de "t". Eu vou reescrever isso bem aqui. Sendo assim, x = cos(t) e y = sen(t). Então, x(0) = cos(0) que é igual a 1. x(π) = cos(π) que é igual a -1. y(0) = sen(0) que é zero. E y(π) = sen(π) que é igual a zero. Então, F(x(π), y(π)) é igual a, deixe-me reescrever isso aqui, a nossa integral a simplificada para a integral ao longo da curva de "F" escalar "dr". E isto é igual a F(x(π), y(π)). x(π) é -1, y(π) é igual a zero. menos F(x(0), y(0)), que é 1 e zero. Então, isso é igual a quê? Bem, lembre-se, isto bem aqui é a mesma coisa que x(π). E isto é a mesma coisa que y(π). Como vimos, isso tudo aqui é a mesma coisa que F(π), se você pensar apenas em termos de "t". Vamos tentar descomplicar isso aqui um pouco. Nós podemos calcular isso aqui apenas substituindo as coordenadas "x" e "y" obtidas aqui em F(x, y) que temos aqui em cima. Assim, podemos dizer, que o resultado desta integral é igual a, qual é o resultado de F(-1, 0)? x= -1 e y = 0. Então, teremos -1³. Este é o nosso "x", certo? Sobre 3, isto é igual a -1/3. Teremos aqui, -1/3, mais, -1 vezes (0)² que é apenas zero. Em ambos os casos, o "y" é zero. Então, este termo vai desaparecer. Sendo assim, podemos ignorá-lo. Aí, isto menos F(1, 0). Nós colocamos o 1 aqui, então teremos 1³/3. Ou seja, 1/3 mais 1 vezes (0)². Isto é simplesmente zero, então, isso vai ser igual a -1/3. Teremos aqui, então, -1/3 - 1/3 que é igual a -2/3. E, pronto, terminamos! Falando outra vez, pelo fato de que isso é um campo vetorial conservativo e, portanto, independe do caminho, nós realmente não precisamos nos preocupar com o cos(t) e o sen(t) quando estamos tomando as nossas antiderivadas. Nós temos apenas que encontrar a função potencial e calculá-la nos dois pontos das extremidades para obter a resposta da nossa integral. E aí, conseguimos chegar ao resultado da nossa integral de linha que, neste caso, é -2/3. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!