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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 12: Integrais de superfície (artigos)

Exemplo de área de superfície

Aqui você tem a oportunidade de praticar o cálculo de área de superfície usando o exemplo de um toro.

Para quem isso se destina?

Este artigo se destina a qualquer pessoa que tenha lido o último artigo sobre cálculo da área da superfície de superfícies paramétricas usando uma determinada integral dupla e queira praticar este conceito. Você vai calcular a área da superfície de um toroide (formato de rosquinha) usando este método, que requer uma quantidade significativa de cálculos.

Se você não quer ou não precisa praticar este tipo de cálculo, e sente-se seguro com o conceito geral de como estas integrais de área da superfície funcionam, fique à vontade para passar para o próximo artigo.

Rápida recapitulação sobre a integral da área da superfície.

Antes de nos aprofundarmos no exemplo, vamos fazer uma rápida revisão do método descrito para encontrar a área de uma superfície trabalhada no último artigo.

Parametrizar a superfície. Em outras palavras, encontrar uma função vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis que projeta uma região T do plano bidimensional start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612 sobre sua superfície em três dimensões. Às vezes, esta parametrização será dada a você, se assim ela for definida. Outras vezes, a superfície é definida de alguma outra forma, e você mesmo terá que encontrá-la.

Imagine-se dividindo o espaço paramétrico com linhas verticais e horizontais, ou seja, dividindo a região T em pequenos retângulos. Cada um desses retângulos fica projetado sobre um pequeno pedaço da superfície que tem a forma aproximada de um paralelogramo. Se seu pequeno retângulo se localiza no ponto left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, e tem start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 de largura e start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 de altura, você pode calcular o valor aproximado de sua área com a seguinte expressão:
$\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
Quanto menor forem os retângulos originais, mais o pedaço correspondente de sua superfície se assemelhará a um paralelogramo plano real, e mais próxima esta expressão estará de dar a área verdadeira desse pedaço.

Somar as áreas desses pedaços com uma integral dupla:
$\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Área da superfície de um toroide

O objetivo deste artigo é encontrar a área da superfície de um toroide:

É difícil descrever as medidas deste toroide, mas vou tentar com o uso da terminologia da rosquinha. Imagine que o toroide é a camada de cobertura em torno de uma rosquinha.

Vamos supor que a distância da origem até a parte mais interna deste recheio de geleia seja 3. Vamos chamar isso de "raio externo".
Vamos supor também que a distância entre a parte mais interna do recheio de geleia e a cobertura em si seja 1. Vamos chama isso de "raio interno".

Com estas dimensões, o toroide (isto é, a cobertura) pode ser parametrizado com a seguinte função:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s}) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\blueE{t})+\cos(\redE{s})\cos(\blueE{t}) \\\\ 3\operatorname{sen}(\blueE{t})+\cos(\redE{s})\operatorname{sen}(\blueE{t}) \\\\ \operatorname{sen}(\redE{s}) \end{array} \right] \end{aligned}

Para esta parametrização cobrir o toroide uma vez, e apenas uma vez, aplique-a para a região do plano t, s em que

\begin{aligned} 0 \le &\blueE{t} \le 2\pi \\ 0 \le &\redE{s} \le 2\pi \end{aligned}

Para uma descrição de onde vem esta parametrização, confira o último exemplo deste artigo.

Etapa 1: calcular cada derivada parcial

\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) = \end{aligned}

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) = \end{aligned}

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Lembre-se, você deve pensar nesses vetores como representando as bordas de pequenos paralelogramos, que juntos formam o toroide completo. Mais precisamente, você deve multiplicar o primeiro por start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 e o segundo por start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 para dimensioná-los até o tamanho infinitesimal de um desses paralelogramos.

Coincidentemente, estes vetores são perpendiculares entre si (você pode verificar isso calculando seu produto escalar). Isto implica que todos os pequenos paralelogramos que compõem o toroide acabam por ser retângulos, pelo menos quando usamos esta parametrização em particular. Você pode ver isto na figura do toroide acima.

[Como explorar este fato]

Etapa 2: calcular o produto vetorial

Para calcular a área de um paralelogramo gerado pelos dois vetores que você acabou de encontrar, a primeira etapa é calcular seu produto vetorial. (Atenção: isso é um tanto complicado)

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, equals

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Etapa 3: encontrar a magnitude desse produto vetorial

O produto vetorial que você acabou de calcular é um vetor. A fim de encontrar a área de um paralelogramo gerado pelos dois vetores das derivadas parciais, devemos encontrar sua magnitude. (Atenção: isso é ainda mais complicado)

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| = \end{aligned}

Depois de reduzir isso em escala por start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, ele informa a área de cada um dos pequenos paralelogramos que compõem o toroide, como uma função de start color #bc2612, s, end color #bc2612 e start color #0c7f99, t, end color #0c7f99. Neste caso, a resposta é apenas uma função de start color #bc2612, s, end color #bc2612, o que significa que a área destes paralelogramos não varia conforme start color #0c7f99, t, end color #0c7f99 varia.

Etapa 4: definir a integral dupla apropriada

Qual das alternativas a seguir representa as fronteiras corretas para a integral dupla que representa a área da superfície deste toroide?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{6\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^{6\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}, \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Etapa 5: calcular a integral dupla

Área da superfície deste toroide:

Parabéns

Estas integrais são muito trabalhosas, então parabenize-se por todo o trabalho feito até aqui!

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