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Integrais de área de superfície

Como se calcula a área da superfície de uma superfície paramétrica? Isso vai levar a uma ideia mais geral de integral de superfície.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Vamos definir:
  • S é uma superfície no espaço tridimensional.
  • v(t,s) é uma função vetorial que parametriza S.
    • T é a região do plano ts (também conhecida como o espaço paramétrico) que corresponde a S
A área de superfície de S pode ser calculada com a integral dupla a seguir:
T|vt×vs|dtds
Essas integrais podem ser muito trabalhosas de se calcular.

Área da superfície

Da geometria, você pode estar familiarizado com a área da superfície de algumas formas específicas. Por exemplo, a área da superfície de uma esfera de raio r é 4πr2.
Mas e se alguém lhe dá uma superfície arbitrária, definida usando alguma função paramétrica que mapeia uma região de parâmetro bidimensional no espaço tridimensional? Como você encontra a área dessa superfície?
A resposta é usar uma certa integral, ou melhor, uma certa integral dupla, que você está prestes a aprender. Isso é análogo a como você pode encontrar o comprimento do arco de uma curva arbitrária usando uma certa integral simples, ou o volume de um sólido de forma estranha usando a integral tripla apropriada.

Exemplo: quebrando a área da superfície

Defina uma superfície parametrizada com a seguinte função:
v(t,s)=[t2sts]
Vamos chamar essa superfície de S
Invólucro do vídeo da Khan Academy
É claro, para as superfícies parametrizadas, não é suficiente apenas especificar as funções que as parametrizam. Nós também precisamos saber a região do espaço paramétrico que é mapeada na superfície. "Espaço paramétrico" é uma palavra bonita para onde o ponto (t,s) fica, também conhecido como "domínio". Nesse caso, vamos dizer que é o retângulo definido por
1t10s3
Vamos chamar esse retângulo de T. É assim que v transforma o retângulo T no espaço paramétrico na superfície S no espaço tridimensional.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Nossa estratégia para calcular essa área de superfície envolve três passos gerais:
  • Etapa 1: dividir a superfície em pequenos pedaços.
  • Etapa 2: calcular a área de cada pedaço.
  • Etapa 3: somar essas áreas.
Depois de estudar as integrais de linha, as integrais duplas e as integrais triplas, você pode reconhecer essa ideia de picar algo e somar todas as suas partes como um padrão mais geral de como a integração pode ser usada para resolver problemas. Como nesses exemplos, nosso cálculo final não irá envolver de verdade a divisão da superfície em um número específico de pedaços e somá-los; nós deixaremos uma integral tomar conta disso por nós.

Etapa 1: divisão da superfície

Para começar, imagine dividir o retângulo T no espaço paramétrico em muitos pequenos retângulos. No desenho, eu vou só dividi-lo em alguns retângulos, de forma que possamos ver e referenciar cada um deles, mas a ideia é que você pense em milhares de retângulos muito pequeninos.
Você pode pensar na largura de um desses pequenos retângulos, como sendo dt, uma pequena variação no parâmetro t. Da mesma forma, você pode pensar na altura como sendo ds, uma pequena varição no parâmetro s.
Agora considere como a função v(t,s) mapeia um destes pequenos retângulos na superfície S. Na animação a seguir, vou deixar a maior parte da superfície em cinza, e apenas um dos pequenos retângulos colorido, para vermos como T se transforma em S.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Estritamente falando, o retângulo se tornará levemente curvado quando é colado em S. Entretanto, quando você considera retângulos ainda menores, essa curvatura se torna cada vez mais desprezível, e podemos praticamente tratar este pequenino pedaço como se fosse plano.
Na verdade, quando consideramos retângulos cada vez menores no espaço paramétrico, as porções da superfície S que esses retângulos mapeiam se parecerão mais e mais com paralelogramos.
Nossa primeira tarefa será, então, encontrar a fórmula que dá a área desses paralelogramos.

Etapa 2: busca da área de um paralelogramo.

Para um desses pequenos retângulos em que cortamos T, seja (tA,sA) o canto esquerdo inferior, e (tB,sB) o canto direito inferior.
Agora considere o vetor que aponta de v(tA,sA) a v(tB,sB) na superfície. Vamos chamar esse vetor de a.
Verificação de conceito: se descrevermos a distância entre (tA,sA) e (tB,sB) como sendo dt, qual das seguintes expressões representa uma boa aproximação de a?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: vamos pegar a mesma configuração do problema anterior, mas com (tC,sC) sendo o canto esquerdo superior do pequeno retângulo. Vamos chamar o vetor que aponta de v(tA,sA) a v(tC,sC) de b.
Se descrevermos a distância entre (tA,sA) e (tC,sC) como ds, qual das opções a seguir melhor aproxima b?
Escolha 1 resposta:

Tudo bem, foi até aqui que chegamos: nós estamos pensando sobre um retângulo muito pequeno no espaço paramétrico com as seguintes propriedades:
  • Canto inferior esquerdo: (tA,sA)
  • Largura: dt
  • Altura: ds
Quando você aplica a função v nesse retângulo, termina com o que é basicamente um paralelogramo sobre a superfície S. Baseado nas duas perguntas anteriores, os lados desse paralelogramo são determinados pelos vetores
vt(tA,sA)dt
e
vs(tA,sA)ds
Verificação de conceito: se os comprimentos dos lados de um paralelogramo no espaço tridimensional são descritos pelos vetores a e b, como mostrado à direita, qual das seguintes opções representa a área do paralelogramo?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: juntando tudo isso, quando v(t,s) mapeia o pequeno retângulo dt por ds com canto inferior esquerdo (tA,sA) em algum paralelogramo sobre a superfície S, qual a área desse paralelogramo?
Escolha 1 resposta:

Onde isso se torna trabalhoso

Rapaz, essa é uma expressão complicada. Ela envolve duas derivadas parciais de uma função vetorial, calcular o produto vetorial delas, e depois calcular a magnitude. É como se alguém estivesse tentando criar a expressão mais complicada que pudesse imaginar.
Agora, temos uma expressão puramente teórica para a área de um desses pequenos paralelogramos:
|(vt(tA,sA)dt)×(vs(tA,sA)ds)|
Entretanto, se você quiser ter uma ideia de o que isso realmente significa, eu o encorajo a trabalhar nela.
Exercício: dada a definição de v(t,s) com a qual começamos,
v(t,s)=[t2sts]
calcule a expressão encontrada no exercício anterior para obter uma função em termos de t, s, dt e ds.
Área do paralelogramo:
dtds

Etapa 3: integrando tudo

É aqui que estamos agora. Depois de dividir o retângulo T do espaço paramétrico em vários pequenos retângulos, eu disse para você que esses retângulos se tornam paralelogramos sobre superfície S. Bem, mais precisamente, cada um deles se torna um pedaço levemente curvado de S, que pode ser bem aproximado por um paralelogramo. Quanto menor o seu retângulo inicial, mais precisa a aproximação.
Então, com muitos cálculos, você encontrou uma expressão para a área de cada um desses paralelogramos:
(s2+4t2+4t4)dtds
Em que
  • (t,s) descreve a posição do pequeno retângulo inicial.
  • dt é sua largura.
  • ds é sua altura.
Para somar as áreas de todos esses pequenos paralelogramos, nós devemos calcular a integral dupla dessa grandeza sobre a região T. Como lembrete, T foi definida como a região onde
1t10s3
Usando esses limites, essa é a integral dupla que representa a área da superfície S:
0311(s2+4t2+4t4)dtds
Resolver isso à mão parece complicado, dado que encontrar a primitiva de s2+4t2+4t4 será difícil. Mas usando uma calculadora (ou o Wolfram Alpha), podemos encontrar a resposta:
0311(s2+4t2+4t4)dtds12,6153
O importante de lembrar aqui é como construir a integral dupla apropriada, e pensar em como somar muitos pequenos pedaços de área na superfície em si.

Resumo: não é fácil

Generalizando tudo o que fizemos no exemplo anterior, a área da superfície da nossa superfície paramétrica S é expressa usando a integral
T|vt×vs|dtds
em que S é descrita usando a função paramétrica v(t,s) aplicada à região T do plano ts
Você já teve um vislumbre disso, mas vale a pena frisar que isso pode ser algo realmente complicado de se calcular.
  • Primeiro, você tem que calcular duas derivadas parciais de funções vetoriais, que, se você contar cada componente, incluem 6 derivadas parciais no total.
  • Então, você tem que calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais vetoriais, o que por sua vez requer o cálculo de um determinante cujos componentes são vetores e funções.
  • Então, você tem que calcular a norma desse produto vetorial.
  • Depois disso tudo, ainda há uma integral dupla à frente. E lembre-se, só preparar uma integral dupla nem sempre é fácil, especialmente se a região que você está integrando não for retangular.
  • E tudo isso assumindo que você conhece a função v(t,s) e a região T. Algumas vezes você só tem uma superfície definida implicitamente, como uma esfera definida por x2+y2+z2=1. Nesse caso, você vai precisar encontrar a função que parametriza essa superfície, e também qual a região específica do espaço paramétrico que corresponde à superfície.
A chave para passar por tudo isso é manter-se organizado e ser paciente. Uma forma de pensar nisso é que ajustar e calcular apenas uma dessas integrais de área de superfície é equivalente a fazer 10 problemas práticos de cálculo de uma variável.
O processo mental que entra nisso tudo é, na verdade, muito útil para pensar em superfícies e geometria tridimensional em geral, além do caso específico de calcular a área da superfície. Por exemplo, como você acha que os gráficos de computador funcionam? Frequentemente, mostrar uma figura tridimensional envolve subdividir esses polígonos. Mesmo que isso nunca envolva calcular uma integral de área de superfície, por si só, o raciocínio associado a como fazer isso é notavelmente similar, usando produtos vetoriais de derivadas parciais e etc.
Se você quiser praticar mais, o próximo artigo segue com outro exemplo completo. Se você escolher trabalhar com ele, prepare-se para gastar muito papel

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