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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 12: Integrais de superfície (artigos)Exemplo de integral de superfície
Pratique como calcular uma integral de superfície sobre uma esfera.
Conhecimentos prévios
A tarefa à frente: integrais de superfície em uma esfera.
No último artigo, falei sobre o que integrais de superfície fazem e como você pode interpretá-las. Aqui, você pode seguir todos os detalhes de um exemplo. Se você preferir vídeos, também pode assistir Sal fazendo um exemplo diferente.
Considere a esfera de raio , centrada na origem.
Sua tarefa será integrar a seguinte função sobre a superfície dessa esfera:
Etapa 1: tire proveito da simetria da esfera
A esfera com raio é, por definição, todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem a seguinte propriedade:
Essa expressão é muito similar à função:
Inclusive, podemos tirar vantagem disso...
Teste de conceito: quando você resolve nos pontos que, por acaso, estão na esfera de raio , qual é a expressão simplificada que você obtém?
Tenha em mente que não é igual a essa expressão simplificada em todos os pontos, mas apenas naqueles em que . No entanto, como vamos integrar apenas sobre pontos nessa esfera, podemos substituir a função na integral com esse valor de maneira justificada.
Claro, isso não é algo que você possa fazer para toda integral de superfície, mas é uma boa lição aproveitar a simetria quando você pode deixar essas integrais mais simples.
Etapa 2: parametrize a esfera
Para relacionar essa integral de superfície com uma integral dupla em um plano, nós precisamos primeiro encontrar a função que parametriza as esferas.
Teste de conceito: quais das seguintes funções parametriza a esfera de raio ?
Ótimo! Agora temos uma fórmula para a parametrização da esfera, junto com uma região correspondente no plano . Nós podemos começar expandindo integrais de superfície assim:
Etapa 3: cálculo das duas derivadas parciais
Seu principal desafio em qualquer integral de superfície é esse carinha aqui:
Verificação de conceito: para começar, calcule as duas derivadas parciais de nossa função paramétrica:
Etapa 4: calcule o produto vetorial
Calcule o produto vetorial dos dois vetores de derivadas parciais que você acabou de encontrar.
Etapa 5: calcule a magnitude do produto vetorial.
Calcule a magnitude do produto vetorial que você acabou de encontrar.
Observe que, tecnicamente, a resposta deveria ter um sinal indicando que se trata de um valor absoluto. No entanto, devido ao fato de nossa parametrização aplicar-se somente à região em que , o valor de será sempre positivo, o que nos permite não colocar o sinal.
Etapa 6: calcule a integral
Considerando tudo o que fizemos até agora, isso é o que a integral de superfície se tornou:
Finalmente, calcule essa integral dupla.
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