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Exemplo de integral de superfície

Pratique como calcular uma integral de superfície sobre uma esfera.

Conhecimentos prévios

A tarefa à frente: integrais de superfície em uma esfera.

No último artigo, falei sobre o que integrais de superfície fazem e como você pode interpretá-las. Aqui, você pode seguir todos os detalhes de um exemplo. Se você preferir vídeos, também pode assistir Sal fazendo um exemplo diferente.
Considere a esfera de raio 2, centrada na origem.
Sua tarefa será integrar a seguinte função sobre a superfície dessa esfera:
f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2

Etapa 1: tire proveito da simetria da esfera

A esfera com raio 2 é, por definição, todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem a seguinte propriedade:
x2+y2+z2=22
Essa expressão é muito similar à função:
f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2
Inclusive, podemos tirar vantagem disso...
Teste de conceito: quando você resolve f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2 nos pontos que, por acaso, estão na esfera de raio 2, qual é a expressão simplificada que você obtém?

Tenha em mente que f(x,y,z) não é igual a essa expressão simplificada em todos os pontos, mas apenas naqueles em que x2+y2+z2=4. No entanto, como vamos integrar apenas sobre pontos nessa esfera, podemos substituir a função f na integral com esse valor de maneira justificada.
Esfera((x1)2+y2+z2)dΣ=Esfera(2x+5)dΣ
Claro, isso não é algo que você possa fazer para toda integral de superfície, mas é uma boa lição aproveitar a simetria quando você pode deixar essas integrais mais simples.

Etapa 2: parametrize a esfera

Para relacionar essa integral de superfície com uma integral dupla em um plano, nós precisamos primeiro encontrar a função que parametriza as esferas.
Teste de conceito: quais das seguintes funções parametriza a esfera de raio 2?
Escolha 1 resposta:

Ótimo! Agora temos uma fórmula para a parametrização v(t,s) da esfera, junto com uma região correspondente no plano ts. Nós podemos começar expandindo integrais de superfície assim:
Esfera(2x+5)dΣ=0π02π(2(2cos(t)sen(s))Valor de x da parametrização+5)|vt×vs|Nós precisamos resolver issodtds

Etapa 3: cálculo das duas derivadas parciais

Seu principal desafio em qualquer integral de superfície é esse carinha aqui:
|vt×vs|
Verificação de conceito: para começar, calcule as duas derivadas parciais de nossa função paramétrica:
v(t,s)=[2cos(t)sen(s)2sen(t)sen(s)2cos(s)]
vt(t,s)=
i^+
j^+
k^

vs(t,s)=
i^+
j^+
k^

Etapa 4: calcule o produto vetorial

Calcule o produto vetorial dos dois vetores de derivadas parciais que você acabou de encontrar.
vt×vs=
i^+
j^+
k^

Etapa 5: calcule a magnitude do produto vetorial.

Calcule a magnitude do produto vetorial que você acabou de encontrar.
|vt×vs|=

Observe que, tecnicamente, a resposta deveria ter um sinal indicando que se trata de um valor absoluto. No entanto, devido ao fato de nossa parametrização aplicar-se somente à região em que 0sπ, o valor de sen(s) será sempre positivo, o que nos permite não colocar o sinal.

Etapa 6: calcule a integral

Considerando tudo o que fizemos até agora, isso é o que a integral de superfície se tornou:
Esferaf(x,y,z)dΣ=Esfera(2x+5)dΣEtapa 1=0π02π(2(2cos(t)sen(s))+5)|vt×vs|dtdsEtapa 2=0π02π(2(2cos(t)sen(s))+5)(4sen(s))dtdsEtapas 3, 4, 5=0π02π(16cos(t)sen2(s)+20sen(s))dtds
Finalmente, calcule essa integral dupla.
0π02π(16cos(t)sen2(s)+20sen(s))dtds=

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