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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 12: Integrais de superfície (artigos)

Exemplo de integral de superfície

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Pratique como calcular uma integral de superfície sobre uma esfera.

Conhecimentos prévios

Integrais de superfície

A tarefa à frente: integrais de superfície em uma esfera.

No último artigo, falei sobre o que integrais de superfície fazem e como você pode interpretá-las. Aqui, você pode seguir todos os detalhes de um exemplo. Se você preferir vídeos, também pode assistir Sal fazendo um exemplo diferente.

Considere a esfera de raio

2

, centrada na origem.

Sua tarefa será integrar a seguinte função sobre a superfície dessa esfera:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

Etapa 1: tire proveito da simetria da esfera

A esfera com raio

2

é, por definição, todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem a seguinte propriedade:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2}$ ‍

Essa expressão é muito similar à função:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

Inclusive, podemos tirar vantagem disso...

Teste de conceito: quando você resolve

f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}

nos pontos que, por acaso, estão na esfera de raio

2

, qual é a expressão simplificada que você obtém?

[Resposta]

Tenha em mente que

f (x, y, z)

não é igual a essa expressão simplificada em todos os pontos, mas apenas naqueles em que

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

. No entanto, como vamos integrar apenas sobre pontos nessa esfera, podemos substituir a função

f

na integral com esse valor de maneira justificada.

$\begin{array}{r} \iint_{Esfera} ((x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}) d Σ = \iint_{Esfera} (- 2 x + 5) d Σ \end{array}$ ‍

Claro, isso não é algo que você possa fazer para toda integral de superfície, mas é uma boa lição aproveitar a simetria quando você pode deixar essas integrais mais simples.

Etapa 2: parametrize a esfera

Para relacionar essa integral de superfície com uma integral dupla em um plano, nós precisamos primeiro encontrar a função que parametriza as esferas.

Teste de conceito: quais das seguintes funções parametriza a esfera de raio

2

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) sen (s) \\ 2 sen (t) sen (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
na região onde $0 \leq t \leq 2 π$ ‍ e $0 \leq s \leq π$ ‍.
(Escolha B)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \cos (s) \\ 2 sen (t) sen (s) \\ 2 sen (t) \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
na região onde $0 \leq t \leq 2 π$ ‍ e $0 \leq s \leq 2 π$ ‍.

[Resposta]

Ótimo! Agora temos uma fórmula para a parametrização

\vec{v} (t, s)

da esfera, junto com uma região correspondente no plano

t s

. Nós podemos começar expandindo integrais de superfície assim:

$\begin{aligned} \iint_{Esfera} (- 2 x + 5) d Σ \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 \underset{Valor de x da parametrização}{\underset{⏟}{(2 \cos (t) sen (s))}} + 5) \underset{Nós precisamos resolver isso}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} d t d s \end{aligned}$ ‍

Etapa 3: cálculo das duas derivadas parciais

Seu principal desafio em qualquer integral de superfície é esse carinha aqui:

$\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | \end{array}$ ‍

Verificação de conceito: para começar, calcule as duas derivadas parciais de nossa função paramétrica:

$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) sen (s) \\ 2 sen (t) sen (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

Etapa 4: calcule o produto vetorial

Calcule o produto vetorial dos dois vetores de derivadas parciais que você acabou de encontrar.

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[Resposta]

Etapa 5: calcule a magnitude do produto vetorial.

Calcule a magnitude do produto vetorial que você acabou de encontrar.

$| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | =$ ‍

[Resposta]

Observe que, tecnicamente, a resposta deveria ter um sinal indicando que se trata de um valor absoluto. No entanto, devido ao fato de nossa parametrização aplicar-se somente à região em que

0 \leq s \leq π

, o valor de

sen (s)

será sempre positivo, o que nos permite não colocar o sinal.

Etapa 6: calcule a integral

Considerando tudo o que fizemos até agora, isso é o que a integral de superfície se tornou:

$\begin{aligned} \iint_{Esfera} f (x, y, z) d Σ \\ = \iint_{Esfera} (- 2 x + 5) d Σ \leftarrow Etapa 1 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) sen (s)) + 5) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \leftarrow Etapa 2 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) sen (s)) + 5) (4 sen (s)) d t d s \leftarrow Etapas 3, 4, 5 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) {sen}^{2} (s) + 20 sen (s)) d t d s \end{aligned}$ ‍

Finalmente, calcule essa integral dupla.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) {sen}^{2} (s) + 20 sen (s)) d t d s = \end{array}$ ‍

[Resposta]

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