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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 12: Integrais de superfície (artigos)

Exemplo de integral de superfície

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Pratique como calcular uma integral de superfície sobre uma esfera.

Conhecimentos prévios

Integrais de superfície

A tarefa à frente: integrais de superfície em uma esfera.

No último artigo, falei sobre o que integrais de superfície fazem e como você pode interpretá-las. Aqui, você pode seguir todos os detalhes de um exemplo. Se você preferir vídeos, também pode assistir Sal fazendo um exemplo diferente.

Considere a esfera de raio 2, centrada na origem.

Sua tarefa será integrar a seguinte função sobre a superfície dessa esfera:

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

Etapa 1: tire proveito da simetria da esfera

A esfera com raio 2 é, por definição, todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem a seguinte propriedade:

x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 2, squared

Essa expressão é muito similar à função:

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

Inclusive, podemos tirar vantagem disso...

Teste de conceito: quando você resolve f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared nos pontos que, por acaso, estão na esfera de raio 2, qual é a expressão simplificada que você obtém?

[Resposta]

Tenha em mente que f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis não é igual a essa expressão simplificada em todos os pontos, mas apenas naqueles em que x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 4. No entanto, como vamos integrar apenas sobre pontos nessa esfera, podemos substituir a função f na integral com esse valor de maneira justificada.

$\begin{aligned} \iint_{\text{Esfera}} \Big((x-1)^2 + y^2 + z^2 \Big) \,d\Sigma = \iint_{\text{Esfera}} (-2x+5)\,d\Sigma \end{aligned}$

Claro, isso não é algo que você possa fazer para toda integral de superfície, mas é uma boa lição aproveitar a simetria quando você pode deixar essas integrais mais simples.

Etapa 2: parametrize a esfera

Para relacionar essa integral de superfície com uma integral dupla em um plano, nós precisamos primeiro encontrar a função que parametriza as esferas.

Teste de conceito: quais das seguintes funções parametriza a esfera de raio 2?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\operatorname{sen}(s) \\ 2\operatorname{sen}(t)\operatorname{sen}(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
na região onde 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi e 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi.
(Escolha B)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\cos(s) \\ 2\operatorname{sen}(t)\operatorname{sen}(s) \\ 2\operatorname{sen}(t)\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
na região onde 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi e 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi.

[Resposta]

Ótimo! Agora temos uma fórmula para a parametrização start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis da esfera, junto com uma região correspondente no plano t, s. Nós podemos começar expandindo integrais de superfície assim:

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{Esfera}} (-2x+5)\,d\Sigma \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left( -2 \underbrace{ (2\cos(t)\operatorname{sen}(s)) }_{\text{Valor de $x$ da parametrização}} +5 \right)\, \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| }_{\text{Nós precisamos resolver isso}} \!\!\!\!\!\! \,dt \,ds \end{aligned}$

Etapa 3: cálculo das duas derivadas parciais

Seu principal desafio em qualquer integral de superfície é esse carinha aqui:

$\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \end{aligned}$

Verificação de conceito: para começar, calcule as duas derivadas parciais de nossa função paramétrica:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\operatorname{sen}(s) \\ 2\operatorname{sen}(t)\operatorname{sen}(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Etapa 4: calcule o produto vetorial

Calcule o produto vetorial dos dois vetores de derivadas parciais que você acabou de encontrar.

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Resposta]

Etapa 5: calcule a magnitude do produto vetorial.

Calcule a magnitude do produto vetorial que você acabou de encontrar.

open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, close vertical bar, equals

[Resposta]

Observe que, tecnicamente, a resposta deveria ter um sinal indicando que se trata de um valor absoluto. No entanto, devido ao fato de nossa parametrização aplicar-se somente à região em que 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi, o valor de s, e, n, left parenthesis, s, right parenthesis será sempre positivo, o que nos permite não colocar o sinal.

Etapa 6: calcule a integral

Considerando tudo o que fizemos até agora, isso é o que a integral de superfície se tornou:

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{Esfera}} f(x, y, z)\,d\Sigma \\\\ &= \iint_{\text{Esfera}} (-2x+5)\,d\Sigma \quad \leftarrow \text{Etapa 1} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\operatorname{sen}(s))+5\Big)\, \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Etapa 2} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\operatorname{sen}(s))+5\Big)\, (4\operatorname{sen}(s)) \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Etapas 3, 4, 5} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\operatorname{sen}^2(s)+20\operatorname{sen}(s) \Big) \,dt \,ds \end{aligned}$

Finalmente, calcule essa integral dupla.

$\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\operatorname{sen}^2(s)+20\operatorname{sen}(s) \Big) \,dt \,ds = \end{aligned}$

[Resposta]

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