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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 12: Integrais de superfície (artigos)

Integrais de superfície

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Como você soma infinitas quantidades infinitamente pequenas associadas a pontos em uma superfície?

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, mas é útil para o desenvolvimento de raciocínios e analogias:

Integrais de linha

O que estamos construindo

Em princípio, a ideia de uma integral de superfície é a mesma de uma integral dupla, exceto pelo fato de que, em vez de "somar" pontos em uma região plana bidimensional, você estará somando pontos em uma superfície no espaço, que é potencialmente curva. A notação abstrata de integrais de superfície se parece muito com a de uma integral dupla:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ representa uma superfície}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{Pequeno pedaço de área em $S$}} \end{aligned}$

Calcular uma integral de superfície é quase igual a calcular uma área da superfície usando uma integral dupla, exceto pelo fato de que você coloca uma função dentro da integral:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} }_{\text{Pequeno pedaço de área}} \end{aligned}$

Aqui, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis é uma função que parametriza a superfície S da região T do plano start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612

(Isso é análogo a como calcular integrais de linha é basicamente a mesma coisa que calcular integrais do comprimento do arco, exceto pelo fato de que você joga uma função dentro da própria integral).

Você pode encontrar um exemplo de como trabalhar uma dessas integrais no próximo artigo.

A ideia de integrais de superfície

Se você entende integrais duplas e sabe como calcular a área da superfície de uma superfície paramétrica, você praticamente já compreende integrais de superfície. É só uma questão de juntar os dois raciocínios. Logo, logo, eu vou usar um exemplo para mostrar o cálculo de uma integral de superfície, mas, primeiro, acho importante que você tenha uma boa compreensão do que exatamente uma integral de superfície faz.

Lembrete sobre as integrais duplas

Lembre-se do que uma integral dupla faz:

$\begin{aligned} \iint_R f(x, y)\,dA \end{aligned}$

Aqui, R representa uma região do plano x, y, e f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma maneira de associar cada ponto de R a um número.

Talvez R represente uma folha de metal, e f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis represente a densidade em cada ponto.
Ou talvez R represente uma região geográfica, e f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis represente a temperatura em cada ponto.

A integral dupla fornece uma maneira de "somar" os valores de f desta região. No entanto, a ideia de "somar" pontos em uma região contínua é vaga; por isso, eu gosto de imaginar o seguinte processo:

Divida a região R em vários pedaços minúsculos.
Multiplique a área de cada pedaço, representada por d, A, pelo valor de f em um dos pontos dentro desse pedaço.
Some os valores resultantes.

Por exemplo,

Se R representa uma folha de metal e f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma função da densidade, a integral dupla lhe dará a massa da folha. (Por quê?)
Se R representa uma região geográfica, e f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fornece a temperatura em cada local, calcular a integral dupla e então dividir pela área de R resultará na temperatura média daquela região. (Por quê?)

Integrais duplas sobre regiões curvas

Entretanto, por que fica tão plano? Essa ideia de somar valores sobre uma região bidimensional contínua pode ser útil também para superfícies curvas.

E se você estiver considerando a superfície da asa curva de um avião com densidade variável, e quiser encontrar sua massa total?
E se você tiver a temperatura de cada ponto da superfície curva da Terra e quiser descobrir a temperatura média?

Desta vez, a função f, que representa densidade, temperatura etc... deve incluir pontos de três dimensões já que os pontos sobre a superfície vivem em três dimensões. A notação abstrata para integrar uma função de três variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis sobre uma superfície é praticamente igual à notação abstrata para integrais duplas:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ representa uma superfície}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{d\Sigma}^{\text{Pequeno pedaço de área em $S$}} \end{aligned}$

(Autores diferentes podem usar notações diferentes.)

Isto é chamado de integral de superfície. O pequeno S sob o sinal da integral dupla representa a superfície em si, e o termo d, \Sigma representa uma pequena fração de pedaço de área dessa superfície. Você pode pensar em integrais de superfície da mesma maneira que você pensa em integrais duplas:

Divida a superfície S em muitos pedaços pequenos.
Multiplique a área de cada pedaço pequeno pelo valor da função f em um dos pontos desse pedaço.
Some esses valores.

Por que escrever d, \Sigma em vez de d, A? Não há diferença real; cada uma representa uma pequena parte da área daquilo sobre o qual você está integrando. No entanto, quando se trata de calcular algo, o modo como manuseamos as pequenas partes de área em uma superfície curva é fundamentalmente diferente de fazê-la em uma superfície plana, então vale a pena ressaltar essa diferença usando uma variável diferente.

Como calcular uma integral de superfície

Notações abstratas e imagens da divisão de asas de avião são razoáveis, mas como você calcula de fato uma dessas integrais de superfície? O truque é sorrateiramente transformá-la em uma integral dupla comum e plana.

Especificamente, você tende a representar matematicamente uma superfície com uma função paramétrica. Você terá uma função de valor vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, que insere pontos do plano bidimensional t, s (lindo e liso) e retorna pontos no espaço tridimensional. Você também precisa especificar a região T do plano t, s que se projeta sobre a superfície S.

O truque para integrais de superfície, então, é encontrar uma forma de integrar sobre a região plana T que dê o mesmo efeito de integrar sobre a superfície curva S. Isso requer a descrição do "pequeno pedaço de área" de S em função de algo dentro do parâmetro.

Quase todo o trabalho para isso foi feito no artigo sobre área da superfície. Lá, vimos como um pequeno retângulo dentro de T com área start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 é transformado em um paralelogramo em S com área

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}

Para nossos desejos de integrais de superfície, isto quer dizer que você expande d, \Sigma da seguinte forma:

d, \Sigma, equals, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Especificamente, é desta maneira que se escreve a integral de superfície em relação ao espaço paramétrico:

$\displaystyle \iint_S f(x, y, z)\, d\Sigma = \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds}$ \iint, start subscript, S, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, d, \Sigma, equals, \iint, start subscript, T, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Vamos desmembrar um pouco isso:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{Integral sobre superfície}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{Área de um pequeno pedaço de $S$}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! = \underbrace{ \iint_T }_{\substack{ \text{Integral em}\\ \text{espaço paramétrico} }} \!\!\!\! \overbrace{ f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) }^{\substack{ \text{Veja onde cada ponto}\\ \text{$(t, s)$ fica em $S$, e depois}\\ \text{calcule $f$} }} \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| }_{\substack{ \text{Quantidade pela qual um pequeno}\\ \text{pedaço de $T$ é colocado em escala} \\ \text{depois de ele ser projetado em $S$ por $\vec{\textbf{v}}$} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \blueE{dt}\,\redE{ds} }^{\substack{ \text{Área de um pequeno}\\ \text{pedaço de $T$} }} \end{aligned}$

O principal ponto a realçar aqui, e que faz com que os cálculos sejam particularmente trabalhosos, é como expressar d, \Sigma.

No próximo artigo, você pode trabalhar em um exemplo completo de uma dessas integrais de superfície.

Resumo

Integrais de superfície são usadas sempre que se tem a sensação de querer somar um monte de valores associados a pontos em uma superfície. Essa é a analogia bidimensional das integrais de linha. Alternativamente, você pode vê-la como uma forma de generalizar integrais duplas para superfícies curvas.

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ representa uma superfície}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{Pequeno pedaço de área em $S$}} \end{aligned}$

Calcular uma integral de superfície é quase idêntico a calcular uma área da superfície usando uma integral dupla, exceto pelo fato de que você coloca uma função dentro da integral:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Assim como muitas coisas no cálculo multivariável, enquanto a teoria por trás das integrais de superfície é linda, calcular de fato uma delas pode ser dolorosamente trabalhoso.

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