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Integrais de superfície

Como você soma infinitas quantidades infinitamente pequenas associadas a pontos em uma superfície?

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, mas é útil para o desenvolvimento de raciocínios e analogias:

O que estamos construindo

  • Em princípio, a ideia de uma integral de superfície é a mesma de uma integral dupla, exceto pelo fato de que, em vez de "somar" pontos em uma região plana bidimensional, você estará somando pontos em uma superfície no espaço, que é potencialmente curva. A notação abstrata de integrais de superfície se parece muito com a de uma integral dupla:
SS representa uma superfícief(x,y,z)dΣPequeno pedaço de área em S
  • Calcular uma integral de superfície é quase igual a calcular uma área da superfície usando uma integral dupla, exceto pelo fato de que você coloca uma função dentro da integral:
Tf(v(t,s))|vt×vs|dtdsPequeno pedaço de área
Aqui, v(t,s) é uma função que parametriza a superfície S da região T do plano ts
(Isso é análogo a como calcular integrais de linha é basicamente a mesma coisa que calcular integrais do comprimento do arco, exceto pelo fato de que você joga uma função dentro da própria integral).
  • Você pode encontrar um exemplo de como trabalhar uma dessas integrais no próximo artigo.

A ideia de integrais de superfície

Se você entende integrais duplas e sabe como calcular a área da superfície de uma superfície paramétrica, você praticamente já compreende integrais de superfície. É só uma questão de juntar os dois raciocínios. Logo, logo, eu vou usar um exemplo para mostrar o cálculo de uma integral de superfície, mas, primeiro, acho importante que você tenha uma boa compreensão do que exatamente uma integral de superfície faz.

Lembrete sobre as integrais duplas

Lembre-se do que uma integral dupla faz:
Rf(x,y)dA
Aqui, R representa uma região do plano xy, e f(x,y) é uma maneira de associar cada ponto de R a um número.
Crédito da imagem: por Jatinsanghvi (trabalho próprio) CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
Crédito da imagem: de Greenlivingpedia sob CC-BY-SA-3.0
  • Talvez R represente uma folha de metal, e f(x,y) represente a densidade em cada ponto.
  • Ou talvez R represente uma região geográfica, e f(x,y) represente a temperatura em cada ponto.
A integral dupla fornece uma maneira de "somar" os valores de f desta região. No entanto, a ideia de "somar" pontos em uma região contínua é vaga; por isso, eu gosto de imaginar o seguinte processo:
  • Divida a região R em vários pedaços minúsculos.
  • Multiplique a área de cada pedaço, representada por dA, pelo valor de f em um dos pontos dentro desse pedaço.
  • Some os valores resultantes.
Por exemplo,
  • Se R representa uma folha de metal e f(x,y) é uma função da densidade, a integral dupla lhe dará a massa da folha. (Por quê?)
  • Se R representa uma região geográfica, e f(x,y) fornece a temperatura em cada local, calcular a integral dupla e então dividir pela área de R resultará na temperatura média daquela região. (Por quê?)

Integrais duplas sobre regiões curvas

Crédito da imagem: por Kormoran (trabalho publicado por Kormoran) GFDL ou CC-BY-SA-3.0, via Wikimedia Commons
Crédito da imagem: "GLAPS Model: Sea Surface and Ground Temperature", pela Administração Nacional Oceânica e Atmosférica (NOAA) dos Estados Unidos.
Entretanto, por que fica tão plano? Essa ideia de somar valores sobre uma região bidimensional contínua pode ser útil também para superfícies curvas.
  • E se você estiver considerando a superfície da asa curva de um avião com densidade variável, e quiser encontrar sua massa total?
  • E se você tiver a temperatura de cada ponto da superfície curva da Terra e quiser descobrir a temperatura média?
Desta vez, a função f, que representa densidade, temperatura etc... deve incluir pontos de três dimensões já que os pontos sobre a superfície vivem em três dimensões. A notação abstrata para integrar uma função de três variáveis f(x,y,z) sobre uma superfície é praticamente igual à notação abstrata para integrais duplas:
SS representa uma superfícief(x,y,z)dΣPequeno pedaço de área em S
(Autores diferentes podem usar notações diferentes.)
Isto é chamado de integral de superfície. O pequeno S sob o sinal da integral dupla representa a superfície em si, e o termo dΣ representa uma pequena fração de pedaço de área dessa superfície. Você pode pensar em integrais de superfície da mesma maneira que você pensa em integrais duplas:
  • Divida a superfície S em muitos pedaços pequenos.
  • Multiplique a área de cada pedaço pequeno pelo valor da função f em um dos pontos desse pedaço.
  • Some esses valores.
Por que escrever dΣ em vez de dA? Não há diferença real; cada uma representa uma pequena parte da área daquilo sobre o qual você está integrando. No entanto, quando se trata de calcular algo, o modo como manuseamos as pequenas partes de área em uma superfície curva é fundamentalmente diferente de fazê-la em uma superfície plana, então vale a pena ressaltar essa diferença usando uma variável diferente.

Como calcular uma integral de superfície

Notações abstratas e imagens da divisão de asas de avião são razoáveis, mas como você calcula de fato uma dessas integrais de superfície? O truque é sorrateiramente transformá-la em uma integral dupla comum e plana.
Especificamente, você tende a representar matematicamente uma superfície com uma função paramétrica. Você terá uma função de valor vetorial v(t,s), que insere pontos do plano bidimensional ts (lindo e liso) e retorna pontos no espaço tridimensional. Você também precisa especificar a região T do plano ts que se projeta sobre a superfície S.
O truque para integrais de superfície, então, é encontrar uma forma de integrar sobre a região plana T que dê o mesmo efeito de integrar sobre a superfície curva S. Isso requer a descrição do "pequeno pedaço de área" de S em função de algo dentro do parâmetro.
Quase todo o trabalho para isso foi feito no artigo sobre área da superfície. Lá, vimos como um pequeno retângulo dentro de T com área dtds é transformado em um paralelogramo em S com área |vt×vs|dtds
Para nossos desejos de integrais de superfície, isto quer dizer que você expande dΣ da seguinte forma:
dΣ=|vt×vs|dtds
Especificamente, é desta maneira que se escreve a integral de superfície em relação ao espaço paramétrico:
Sf(x,y,z)dΣ=Tf(v(t,s))|vt×vs|dtds
Vamos desmembrar um pouco isso:
SIntegral sobre superfícief(x,y,z)dΣÁrea de um pequeno pedaço de S=TIntegral emespaço paramétricof(v(t,s))Veja onde cada ponto(t,s) fica em S, e depoiscalcule f|vt×vs|Quantidade pela qual um pequenopedaço de T é colocado em escaladepois de ele ser projetado em S por vdtdsÁrea de um pequenopedaço de T
O principal ponto a realçar aqui, e que faz com que os cálculos sejam particularmente trabalhosos, é como expressar dΣ.
No próximo artigo, você pode trabalhar em um exemplo completo de uma dessas integrais de superfície.

Resumo

  • Integrais de superfície são usadas sempre que se tem a sensação de querer somar um monte de valores associados a pontos em uma superfície. Essa é a analogia bidimensional das integrais de linha. Alternativamente, você pode vê-la como uma forma de generalizar integrais duplas para superfícies curvas.
SS representa uma superfícief(x,y,z)dΣPequeno pedaço de área em S
  • Calcular uma integral de superfície é quase idêntico a calcular uma área da superfície usando uma integral dupla, exceto pelo fato de que você coloca uma função dentro da integral:
Tf(v(t,s))|vt×vs|dtds
Assim como muitas coisas no cálculo multivariável, enquanto a teoria por trás das integrais de superfície é linda, calcular de fato uma delas pode ser dolorosamente trabalhoso.

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